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费马大定理的证明

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1. 概述

2. 步骤 1. Kummer 的尝试

3. 步骤 2.Ribet 定理（Serre 的 \(\varepsilon\)-猜想）

4. 第3步.Wiles证明

5. 后续研究

1.概述

⑴ 无限下降

① 问题：证明\(\sqrt{2}\)是无理数。

② 证明： 由毕达哥拉斯学派证明

让 \(\sqrt{2} = \frac{b}{a}\) 与 \(a,b \in \mathbb{Z}\) 一起。

∴ \(2a^2 = b^2 \Rightarrow 2 \mid b \Rightarrow 2 \mid a \Rightarrow 2^2 \mid b \Rightarrow 2^2 \mid a \Rightarrow \cdots\)

∴ \(2^\infty \mid a, b \Rightarrow\) 不可能

∴ \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)

⑵ 费马无限下降

① 问题：证明\(x, y, z\)到\(x^4 + y^4 = z^2\)不存在整数解。

② 证明： 由费马证明

即使给定任意\((x, y, z)\)，适当减少后我们可以假设\(\gcd(x, y) = 1\)。如果 \(\gcd(x, y) = 1\)，则 \((x^2, y^2, z)\) 成对互质，因此它们形成毕达哥拉斯三元组。我们可以不失一般性地假设 \(x^2 = m^2 - n^2, y^2 = 2mn, z = m^2 + n^2\)。由此我们可以看出\(y\) 是偶数，因此我们可以不失一般性地假设\(m = 2a, n = 2b+1\)。看看 \(x^2 = m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)\)，我们有 \(\gcd(m+n, m-n) = \gcd(m+n, 2n) = 1\) (∵ \(\gcd(x, y) = 1\))。因此我们可以设置\(m+n = v^2，m-n = w^2\)，并且由于\(v，w\)是奇数，所以\((m+n)\)和\((m-n)\)除以\(4\)后的余数是\(1\)。我们有 \(2m = (m+n) + (m-n) \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{4}\)，但是 \(2m = 4a \equiv 0 \pmod{4}\)，这是一个矛盾。值得注意的是，该解法并没有使用无限下降的方法。

⑶ 费马直角三角形问题：在给迪格比和卡尔卡维的信中提出

① 问题： 证明边长有理的直角三角形中，没有一个具有 \(1\) 的面积。

⑷ 费马大定理（Fermat’s Last Theorem，FLT；1637）

① 问题：设费马方程为\(x^n + y^n = z^n\) (\(n \ge 3\))。证明\(x, y, z \in \mathbb{Z}\) 中不存在\(xyz \ne 0\) 的整数解。

② 证明： 为了解决困难的 FLT，证明一个更困难的椭圆曲线问题（见下文）。

③ 对于\(n = 4\)，费马有单独的证明，对于\(n = 3\) 欧拉也证明了这一点。

④ “页边太小，无法包含证明”：费马在丢番图算术中的一个特定问题旁边留下的著名注释

2.步骤 1. Kummer 的尝试（1840 年代）

⑴ 总结：FLT，一个纯整数丢番图问题，相当于一个关于某些代数对象（环/曲线/群）的问题。

⑵ 群论概念

① 单位：您必须知道单位是什么，以区分 \(p\) 次方和单位乘以 \(p\) 次方

② 理想：整数环内乘法封闭的加法子集 \(\mathbb{Z}[\zeta]\)

○ 数学表达式：\(M\cdot\mathbb{Z}[\zeta] \subset \Omega \subset \mathbb{Z}[\zeta]\) (some \(M \in \mathbb{Z}\)) s.t. \(\alpha\Omega \子集 \Omega\) 如果 \(\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta]\)

○ 类型1. 主理想：\(\Omega = \beta\cdot\mathbb{Z}[\zeta]\) 等。

○ 类型 2. 非主理想：唯一分解 (UFD) 破裂的情况

③ 理想班级群：\(\mathrm{Cl}_{\mathbb{Z}[\zeta]} = {\text{所有理想}}/{\text{主要理想}}\)

○ 即理想群对主理想的子群求模。⑶ 1-1. 如果FLT存在反例，则\(z^p = x^p + y^p = (x + \zeta^0 y) \times \cdots \times (x + \zeta^{p-1} y)\)，其中\(\zeta = \exp\left(\frac{2\pi i}{p}\right)\)。

① 例如，从复平面上的向量和为\(0\)可以看出\(\sum_{k=0}^{p-1}\zeta^k = 0\)。

⑷ 1-2. 每个因子 \((x + \zeta^i y)\) 和 \((x + \zeta^j y)\) 之间，它们“几乎互质”。

① 例如，通过欧氏算法计算\(x + \zeta y\)和\(x + \zeta^2 y\)的gcd，得到\((x + \zeta y)(1 + \zeta) - (x + \zeta^2 y) = \zeta(x + y)\)。

② 即\((x + \zeta y)\)和\((x + \zeta^2 y)\)有一个公约数，该约数也必须出现在\((x+y)\)一侧，对\((x+y)\)施加了很多约束。

③ 因此，\((x + \zeta y)\) 和 \((x + \zeta^2 y)\) 很可能互质（这就是“几乎互质”的含义）。

⑸ 1-3. 从“几乎互质”条件和 FLT 左侧为 \(z^p\) 的事实来看，每个因子必须是某个数字的 \(p\) 次幂。

⑹ 1-4. 如果 \(p \nmid\) ＃\(\mathrm{Cl}(\mathbb{Z}[\zeta])\)，则可以将理想的 \(p\) 次方提升到元素 \(p\) 次方或其单位倍数，产生矛盾 → 通过矛盾证明 FLT

① \((a) = \mathfrak{I}^p\) 表示班级组中的\([\mathfrak{I}]^p = 1\)。

② 由于 \(p \nmid\) ＃\(\mathrm{Cl}\)，\(\mathrm{Cl}\) 中不存在 \(p\) 扭转，因此 \([\mathfrak{I}] = 1\)，即 \(\mathfrak{I}\) 为主。

③ 因此\(\mathfrak{I} = (b)\)且\((a) = (b^p)\)，所以\(a = u b^p\)（单位：\(u\)）。

④【康拉德证明】(https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/fltreg.pdf) ：在这种情况下，我们得到 \(x + y \equiv 0 \pmod{p}\) 或 \(x \equiv y \equiv -z \pmod{p}\)，并且在每种具体情况下都可以很容易地找到矛盾。

⑺ 1-5. \(p \mid\) ＃\(\mathrm{Cl}_\mathbb{Z}[\zeta] \Leftrightarrow p \mid B_2 \times \cdots \times B_{p-3}\) （其中 \(B_i\) 是伯努利数）超出了 Kummer 的尝试适用的范围。

① 这里 \(\frac{t}{\exp(t) - 1} = 1 + \frac{B_0 t^0}{0!} + \cdots + \frac{B_n t^n}{n!} + \cdots\) 成立。

② Mazur–Wiles：分析整个结构，与\(p\)相关的部分是如何增长的，以及哪个函数准确地生成了该结构。

3。步骤 2. Ribet 定理（Serre 的 \(\varepsilon\) 猜想）

⑴ 总结：如果弗雷曲线（在假设下）是“模”的，那么不存在 FLT 的反例。

⑵ 群论概念

① \(\mathrm{Frob}_\ell\)：读取每个素数信息的句柄

○ \(\zeta_p\)：原初 \(p\) 单位根。它满足 \(\frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p-1} + \cdots + 1 = 0\)。例如\(e^{2\pi i/p}\)

○ \(\mathbb{Q}(\zeta_p)\)：包含 \(\zeta_p\) 的数字字段（分圆字段，分圆字符）

○ \(\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})\)：固定 \(\mathbb{Q}\) 并将 \(\mathbb{Q}(\zeta_p)\) 发送给自身的映射。特别是，\(\sigma(\zeta_p)\) 满足作为另一个原始\(p\) 单位根的条件。

○ \((\cdot)^\times\): 集合中具有乘法逆元的元素（单位）

○ \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)：残差类 mod \(p\)，即 \(\{0, 1, 2, \cdots, p-1\}\)

○ \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = \{a \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\mid \exists b \text{ s.t. } ab \equiv 1 \pmod{p}\}\)，即具有逆 mod \(p\) 的元素集合

○ \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}) \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)：描述了，正如 Kummer 的尝试一样，数字字段与残差类的对应关系为 1:1。» ○ 具体来说，我们可以将上面的同构写为 \({\sigma_\ell : \zeta_p \mapsto \zeta_p^\ell} \leftrightarrow \ell \bmod p\)

○ 如果 \(\ell\) 与 \(p\) 互质（特别是素数 \(\ell \ne p\)），则 \(\ell \bmod p \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)

○ 如果 \(\ell \equiv 1 \pmod{p}\) 则 \(\sigma_\ell(\zeta_p) = \zeta_p\)，因此该元素变得接近恒等式。

○ 如果 \(\ell \equiv -1 \pmod{p}\) 则 \(\zeta_p \mapsto \zeta_p^{-1}\) （在复数上，这与复共轭相关）。

○ 我们将 \(\sigma_\ell\) 称为 \(\ell\) 处的 Frobenius（即 \(\mathrm{Frob}_\ell\)）

○ 为什么称为 Frobenius：质数 \(\ell \ne p\) 在 \(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}\) 中是未分枝的（分枝仅发生在 \(p\) 处）。

② 克罗内克-韦伯定理

○ \(\mathbb{Q}\) 的每个阿贝尔扩张都是由单位根生成的。最简单的成功案例。

③ 类场论（希尔伯特、高木、阿廷、哈塞等）

○ 将克罗内克-韦伯定理扩展到一般数域\(F\)：阿贝尔扩张的完整分类（一维表示）

○ 示例：\(F = \mathbb{Q}(2^{1/3})\)

○ \(\存在 F_{\mathfrak{p}} \text{ s.t. } \mathrm{Gal}(F_{\mathfrak{p}}/F) \simeq (\mathcal{O}_F/\mathfrak{p}\mathcal{O}_F)^\times / (\text{图像 } \mathcal{O}_{F,+}^\times)\) 其中 \(\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[2^{1/3}]\), 和 \(\mathcal{O}_{F,+}^\times =\) 单位 \(\mathcal{O}_F\)

○ \(F_{\mathfrak{p}}\)：光线类场，仅在 \(\mathfrak{p}\)（或 \(\mathfrak{p}\mathcal{O}_F\) 的素因子）处分支，并且在其他地方未分支（mod \(\mathfrak{p}\) 或 \(\mathfrak{p}\cdot\infty\)）。

○ \((\mathcal{O}_F/\mathfrak{p}\mathcal{O}_F)^\times\) 或 \((\mathcal{O}_F/\mathfrak{p})^\times\)： \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\) 从 \(\mathbb{Q}\) 的推广

○ \(\mathcal{O}_F^\times\) 的图像：减少每个单位 \(u \in \mathcal{O}_F^\times\) 模 \(\mathfrak{p}\) 得到 \(u \mapsto \bar{u} \in (\mathcal{O}_F/\mathfrak{p})^\times\)。 \((\mathcal{O}_F/\mathfrak{p})^\times\) 内的此类简化单位的集合称为 \(\mathcal{O}_F^\times\) 的图像。

○ 一般来说，射线类群\(\mathrm{Cl}_{\mathfrak{p}}\) = 残差单元信息 mod \(\mathfrak{p}\) + 原始理想类群信息

○ 由于残差单位信息，\(\mathrm{Gal}(F_{\mathfrak{p}}/F)\) 仅当\(\mathrm{Cl}(\mathcal{O}_F)=1\)（=理想班级组）。

○ 即 \(1 \to (\mathcal{O}_F/\mathfrak{p})^\times/\mathrm{im}(\mathcal{O}_F^\times) \to \mathrm{Cl}_{\mathfrak{p}} \to \mathrm{Cl}(\mathcal{O}_F) \to 1\)

④ 椭圆曲线

○ \(E/\mathbb{Q}\)：由系数为 \(\mathbb{Q}\) 的方程给出的椭圆曲线 \(E\)

○ 维尔斯特拉斯形式： \(y^2 = x^3 + Ax + B \quad (A, B \in \mathbb{Q})\)

○ \(E(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}/\Lambda, \Lambda = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}_{\tau}\) （其中 \(\mathrm{Im}(\tau) > 0\)）

○ 含义：复数上的椭圆曲线在分析上与通过格子折叠复平面获得的环面相同。

○ \(E(\mathbb{C})[p^n] \simeq (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) \oplus (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) = (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^2\)

○ 在\(\mathbb{C}/\Lambda\)中，\(n\)扭点是加上\(n\)次后变为\(0\)的扭点，因此\(E(\mathbb{C})[n] = (\mathbb{C}/\Lambda)[n] = (1/n)\Lambda/\Lambda\)

○ 由于在两个晶格生成器方向上都有 \(n\) 细分，因此 \(E(\mathbb{C})[n] = (1/n)\Lambda/\Lambda \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \oplus (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\)» ○ \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\): \(\mathbb{Q}\) 的绝对伽罗瓦群 = \(\overline{\mathbb{Q}}\) 固定 \(\mathbb{Q}\) 的所有域自同构的群

○ \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})\): \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\) (= \(\mathbb{F}_\ell\)) 上的可逆 \(2\times 2\) 矩阵群，即所有非零的 \(2\times 2\) 矩阵行列式（乘法是矩阵乘法）

○ \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(E[p^n])/\mathbb{Q}) \hookrightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\)

○ \(E[n] = \{P \in E(\overline{\mathbb{Q}})\mid nP = O\}\) （\(\ell\)-扭转点）

○ \(\rho_{E,n} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{Aut}(E[n]) \simeq \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) （二维伽罗瓦表示）

○ \(\ker(\rho_{E,n}) = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}(E[n]))\)

○ \(\hookrightarrow\) 的含义：将扭转作用记录为矩阵

○ 平滑平面三次曲线在代数闭包上恰好有 9 个拐点（包括无穷远点（恒等式））

○ 数学表达式：\(\left\|E[3]\right\|\) \(= 9, E[3] \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2\)

○ 注: In \(y^2 = x^3 + Ax + B\)，8个拐点为\(\{(x, y)\mid \psi_3(x) = 3x^4 + 6Ax^2 + 12Bx - A^2 = 0, y = \pm\sqrt{x^3 + Ax + B}\}\)

⑤ 朗兰兹/模块化

○ 模形式的定义：\(f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^2 f(z)\) （包括水平条件）

○ 其中 \(f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n e^{2\pi i n z}\)

○ 其中 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\), \(c \equiv 0 \pmod{N}\)

○ 朗兰兹的想法

○ 模形式是由 \(\mathrm{GL}_2\) 中的二维伽罗瓦表示产生的特殊函数/形式。

○ Langlands 将其推广到所有 \(\mathrm{GL}_n(\mathcal{O}_F)\) 并以自同构表示的语言对待它。

○ 利用子群下不变的函数，收集对称函数并提取隐藏在其中的表示。

○ \(\mathrm{GL}_n\) 一侧的自同构表示对应于伽罗瓦群 \(\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\) 的 \(n\) 维表示。

○ Adeles（Adelic 表示）比 Langlands 表示更受推荐，因为它是一种一次性捆绑所有有限素数和无限位的工具。

⑶ 2-1. 假设FLT有一个反例。

① 假设存在 \(a^p + b^p = c^p\) （其中 \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) 和 \(p\) 是素数 \(\ge 3\)）。

⑷ 2-2. 然后出现 Frey-Hellegouarch 曲线（1985 年提出）\(E\)。

① 弗雷曲线 \(E_{a,b,p}\): \(y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)\) 有不同的根，因此是椭圆曲线。

② 通过坐标变换（即用 \(x - (b^p - a^p)/2\) 代替 Frey 曲线中的 \(x\)），可以写成 Weierstrass 形式 \(y^2 = x^3 + Ax + B\) （与 \(A, B \in \mathbb{Q}\)）。

③ 三次判别式 = 平方根差的乘积 \(= (a^p - 0)^2(0 - (-b^p))^2(a^p - (-b^p))^2 = (a^p b^p c^p)^2 \ne 0\)。

④ 椭圆曲线判别式 \(\Delta(E) = 16(abc)^{2p}\) 意味着（如果存在）弗雷曲线具有非常特殊的分支/导体属性 （连接到 2-5）。

⑸ 2-3. 从 \(E\) 中提取 mod \(p\) 残差表示 \(\bar{\rho} = \rho_{E,p}\)。> ① 如果 \(E/\mathbb{Q}\) 是椭圆曲线且 \(p\) 是素数，则 \(E[p]\) 上的伽罗瓦作用给出 mod \(p\) 表示

\(\rho_{E,p} : \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \到 \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)\)。

② 示例：\(p = 3\) 的情况

○ \(\rho : \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(E[3])/\mathbb{Q}) \hookrightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \to \mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \simeq S_4\)

○ Langlands–Tunnell：当 \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3) \simeq S_4\) （可解）时，它保证（在某些条件下）mod \(3\) 二维伽罗瓦表示 \(\bar{\rho}\) 是模的。

○ 因此，如果椭圆曲线 \(E\) 的 \(\rho_{E,3}\) 处于这种情况，则它与 mod \(3\) 级别的模块化相关。

③ 由于 Weil 配对，\(\det \bar{\rho}\) 是固定的。

○ 与以下事实相关：当平面上的点通过线性变换移动时，移动点的新区域会缩放 \(\det\) 倍。

○ Weil 对意味着面积尺度 \(\det \bar{\rho}\) 是恒定的。

⑹ 2-4. 椭圆曲线的模块化假设：如果我们假设\(E\)是模块化的，那么\(\bar{\rho}\)必须来自某个级别\(N\)的权重\(2\)新形式 （= \(\bar{\rho}\) 等于附加到该级别 \(N\) 的模形式的伽罗瓦表示）。

① 这个假设被称为志村-谷山-韦尔猜想或布勒伊-康拉德-戴蒙德-泰勒模块化理论。

② 数学表达式

○ \(\{\text{椭圆曲线}/\mathbb{Q}\} \mapsto \{\text{权重的模形式}2,\ \text{某个级别}\}\)

○ \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(E[p^n])/\mathbb{Q}) \hookrightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\)

○ \(\mathrm{Frob}_\ell \mapsto \text{有迹线的元素 } a_\ell\)

⑺ 2-5. 级别降低：因为弗雷曲线具有特殊的判别/约简属性，\(\bar{\rho}\) 实际上在许多素数 \(\ell\) 处变得不那么扭曲（未分支/弱分支）→ 重复应用 Ribet 级别降低使得奇数素数不断从级别中掉出。

① 特殊性：素数 \(\ell \ne p\) 在 \(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}\) 中是无分支的（分支仅发生在 \(p\) 处）（有限素数）。

② 证明

在某个阶段，根据“模块化假设”，假设 \(\rho\) 来自权重 \(2\) 新形式的 level

现在，如果 \(\rho\) 在 \(7\) 处未分支，则可以从关卡中删除 \(7\)。也就是说，

接下来，如果它在 \(5\) 处也是未分支的，则可以从关卡中删除 \(5\)。也就是说，

接下来，如果它在 \(3\) 处也是未分支的，则可以从关卡中删除 \(3\)。也就是说，

⑻ 2-6. 最后必然存在一个级别为\(2\)的权重\(2\)新形式，但又不存在，矛盾。

① 证明

受保护_0

○ 权重 \(2\) 尖点形状空间 \(S_2(\Gamma_0(N))\) 的维数等于模曲线 \(X_0(N)\) 的亏格： \(= 1 + \mu/12 - e_2/4 - e_3/3 - c/2 = 0\)

○ 对于 \(N = 2\)，\(\dim S_2(\Gamma_0(2)) = 0\) (∵ \(e_2 = 1,\ e_3 = 0,\ c = 2,\ \mu = 3\))

○ 值得注意的是，第一个非零情况是 \(N = 11\) 且 \(g = 1\)。

⑼ 2-7. 由于2-1中的假设不成立，因此FLT成立（反证法）。

4。步骤 3. 怀尔斯的证明

⑴ 总结：（在一定范围内）椭圆曲线是模的。

⑵ 群论概念

①（在表示方面）对某些伽罗瓦表示进行分类的变形环\(R\)> ②（在模形式方面）包含满足相同条件的模形式的赫克代数\(T\)

③ 目标：\(R \simeq T\)（如果相等，则表明“表示来自模形式”）

④ 一般来说，\(R\) 和 \(T\) 并不相同：全局条件（伽罗瓦侧）产生的自由度（变量）与模形式侧的关系（约束）必须完美匹配；否则，要么“自由”仍然存在，要么约束不足，从而很难确定\(R = T\)。

⑶ 3-1. 对于每一个\(n\)，附加一个辅助素数集\(Q_n\)，形成\(R_{Q_n}\)（伽罗瓦变形环）和\(T_{Q_n}\)（赫克代数）。

⑷ 3-2. 添加辅助素数引入了额外的局部条件，描述了事物在这些素数处的行为方式。

① 也就是说，提升水平的问题实际上是带有额外条件的问题：这些条件用于精确控制剩余的全局自由度。

② 级 \(Q_n\): (基本条件) + (辅助素数 \(Q_n\) 处的条件)

③ 级\(Q_{n+1}\)：（基本条件）+（辅助素数\(Q_n\)处的条件）+（新素数处的附加条件）

⑸ 3-3. 由于\(Q_{n+1} \supset Q_n\)，存在一个“忘记”条件的向下映射。

⑹ 3-4. 安排兼容性，以便这些向下映射在伽罗瓦侧和模形式侧之间交换。

①伽罗瓦表示方面的兼容性：满足更多条件的解集→投影到需要更少条件的解集。

② 模形式/Hecke 代数方面的兼容性：较高级别的 Hecke 特征值必须下降并与 \(Q_n\) 处看到的特征值一致，没有矛盾。