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第 1 章动力学：向量和标量

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1. 物理量的表示 : 标量

2. 物理量的表示：向量

3. 物理量的表示 : 张量

4. 牛顿力学的两种方法

1.物理量的表示： 标量

⑴ 定义： 仅具有大小的物理量

① 词源 ： 拉丁词“scalae”，意思是“步骤”或“梯子” → scalaris → scala

② 示例 : 时间、长度、面积、体积、速度、质量、温度、功、能量

⑵ 自由算术运算

2.物理量的表示：向量

⑴ 定义：既有方向又有大小的物理量

① 词源 ： 拉丁词“vehere”，意思是“携带”→ vectus → 矢量

② 示例 ： 力、位移、速度、动量、冲量、电场、磁场

⑵ 向量的表示法

① 用箭头表示时： 箭头长度表示矢量大小。箭头方向表示矢量方向。

② 用符号表示时

③ 绝对值表示法

⑶ 操作1：向量加法

①方法：平行四边形定律、三角形定律

② 性质1： 交换律

③ 性质2：结合律

⑷ 运算2：向量减法

⑸ 运算3：向量的标量乘法

⑹ 操作4：矢量分辨率

①定义：将每个向量分解为沿正交坐标方向的分量向量

② 配方

⑺ 操作5： 标量积 (点积)

⑻ 运算6：向量积（叉积）

① 叉积的定义： v, w ∈ ℝn 满足三个条件的运算：

○ v × w 是 (v, w) 对的连续函数

○ v × w 垂直于 v 和 w : (v × w) · v = (v × w) · w = 0

○ 如果 v 和 w 线性无关，则 v × w ≠ 0

② 在 3D 向量中

○ 单位向量的叉积 : （注）按 i → j → k 的顺序运算时，不出现负号

○ 基本公式 : 可以用单位向量的叉积来证明

○ 十字产品方向 ： 从 A 向 B 卷曲时右手大拇指的方向

○ 不可交换性质

○ 平行六面体的体积 : 由向量 a, b, c 构成的平行六面体的体积如下

○ BAC-CAB规则

○ 证明与标量积证明类似 : 从简单的情况开始，稍后进行概括

③ 多维向量

○ 仅当 n = 3 或 n = 7 时才可能满足叉积的定义

○ 参考论文 : Massey, W. S. (1983)。高维欧几里得空间中向量的叉积。美国数学月刊，90(10)，697-701。

3.物理量的表示： 张量

4.牛顿力学的两种方法

⑴ 牛顿分析

① 使用力、加速度等矢量进行力学分析

拉格朗日分析

① 使用能量等标量进行力学分析

② L（拉格朗日）=T（动能）-U（势能）

⑶ 哈密顿分析

① 哈密顿量 H = Σ p_i q_i′ - L

○ p_i: 广义动量» ○ q_i: 广义坐标

② 在单粒子、单系统情况下，哈密顿量可以表示为 H = T（动能）+U（势能）

③ 量子力学中的哈密顿量

⑷ 埃尔米特分析

① 量子力学中的厄米特

② 哈密顿算子总是对应于厄米算子

⑸ 拉普拉斯-贝尔特拉米分析

① 拉普拉斯-贝尔特拉米算子

输入： 2016.06.26 21:05