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第 4 章。特征值和特征形

推荐文章：【线性代数】【线性代数内容】(https://jb243.github.io/pages/1014)

1. 特征值和特征向量

2. 矩阵对角化

3. 二次形式

4. 微分方程和特征值

1.特征值和特征向量

⑴ 特征值和特征向量

①概述：用于对角化、谱聚类等。

② 定理1. A - λI 在 (A - λI)x = 0 中具有非零核的充要条件是 det(A - λI) = 0。

○ 证明：【秩无效定理】(https://jb243.github.io/pages/513)

③ 定理2. 当A ε ℝ^2×2的特征值为λ₁、λ₂时，A² - (λ₁ + λ₂)A + λ₁λ₂I = O成立。

○ 证明

根据特征值的定义，以下成立。

由此可知，λ₁ + λ₂ = a + d，λ₁λ₂ = ad - bc。

因此，根据凯利-汉密尔顿定理，上述命题成立。

应用此方法将 Aⁿ 计算为 (A - λ₁I)(A - λ₂I) Q(A) + kA + sE，对于 Aⁿ（n ≥ 2）。

④ 定理 3. 大小为 n × n 的实数矩阵 A 的行列式 det(A) 等于其特征值的乘积。

○ 例如，对于 3 × 3 矩阵，以下成立。

○ 如果 A 具有三个线性独立的特征向量，则 det(A) 可以表示为：

○ 如果特征值为 λ₁、λ₂，重数分别为 1 和 2，则 det(A) 可表示为：

○ 这里，w₂是对应于λ₂和v₂的广义特征向量。

○ 这样，通过考虑每种情况，可以很容易地证明特征值的乘积等于 det(A)。

⑤ 定理4. 通过对矩阵进行对角化，A = PDP^-1，我们可以得到 Aⁿ = PDⁿP^-1

⑥ 定理 5. 对于大小为 n × n 的实矩阵 A 和 B，矩阵 AB 的特征值与矩阵 BA 的特征值相同 (ref)

○ 证明：假设λ是AB的特征值

⇔ ABv = λv, v ≠ 0

⇔ BABv = BA (Bv) = B · λv = λ (Bv)

⇔ 考虑如下所有可能的情况，BA 的特征值与 AB 的特征值相同

○ 当 Bv ≠ 0 时： λ 是 BA 的特征值

○ 当 Bv = 0 时

⇔ ABv = A0 = 0 = λv

⇔ λ = 0 是 AB 的特征值

⇔ 0 = det(AB) = det(A) × det(B) = det(BA)

⇔ 因此，存在 v’ ≠ 0 使得 BAv’ = 0

⇔ λ = 0 是 BA 的特征值

⑦ 定理 6. 对于大小为 m × n 的实数矩阵 A，矩阵 AA^T 和 A^TA 的非零特征值是相同的。

○ 与定理 5 相关。

⑧ 定理 7. 克罗内克积» ○ 例如，给定矩阵 J ε ℝ^n×n，A ε ℝ^m×m，M = J ⊗ A ε ℝ^nm×nm 可以定义如下：

○ 定理7-1. 基本运算规则

○ 定理7-2. (A ⊗ B)^T = A^{T ⊗ BT：这个可以直观地理解。}

○ 定理 7-3. 克罗内克积的乘法规则：(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)

○ 例如，令 J = u·v^T 导致 (u ⊗ I)(v^T ⊗ A) = (u·v^T) ⊗ (I · A) = J ⊗ A = M。

○ 定理7-4. 等级(M) = 等级(J ⊗ A) = 等级(J) × 等级(A)

○ 记忆技巧。由于克罗内克积乘以分量，因此其属性也往往以乘法形式出现。

○ 证明。

○ 设 J ε ℝ^n×n，A ε ℝ^m×m，且 r =rank(J)，s =rank(A)。然后我们得到以下结果（通过定理7-1和7-3）。

○ 由于M 可以写为r·s 秩一向量的和，因此rank(M) 的最大可能值为r·s。

○ 事实上，这些向量是线性无关的，因此(M) 的秩正是r·s。

○ 定理7-5. M = J ⊗ A 的特征值都是 J 特征值和 A 特征值的两两乘积。

○ 定理 7-6. 如果 x 是 J 的特征向量，y 是 A 的特征向量，则 x ⊗ y 是 M = J ⊗ A 的特征向量。

○ 证明。

⑨ 定理 8. 稳定

○ 如果方阵 A 的所有特征值的绝对值都小于 1，则方阵 A 被定义为稳定的，因为在这种情况下 A^∞ = 0。

○ 在这种情况下，存在 K < ∞, 0 < α < 1 使得

(Aj)pq

≤ Kαj ∀p, q。

⑩ 应用1. 休克尔近似 和哈密顿量

⑪ Python 代码（参见WolframAlpha)

○ 使用 numpy

受保护_0

○ 使用 sympy

受保护_1

⑵ 广义特征向量

① 概述

○ 定义：当非对称矩阵的几何重数小于代数重数时，用向量代替缺失的特征向量

○ 阶为 m 的矩阵 A 的广义特征向量如下

○ (A - λI)^mx^m = 0 & (A - λI)^m-1x^m ≠ 0

○ 当m=1时，与特征向量的定义相同。

○ 用于约旦规范形式。

② 例1. 下面矩阵A的特征值为1，对应的特征向量为v₁ = (1, 0)^T

○ 特征值 1 的代数重数为 2，几何重数为 1。» ○ (A - λI)² v₂ = (A - λI) {(A - λI) v₂} = 0 ⇔ (A - λI) v₂ = v₁

○ v₂ = (*, 1)^T （例如，(0, 1)^T）满足 (A - I)v₂ = (1, 0)^T 称为广义特征向量。

③ 示例2. 参考

⑶ 特征函数

① Sturm-Liouville 定理：不同的本征函数彼此正交

2.矩阵的对角化

⑴ 对角矩阵

① n × n 矩阵，其中除对角线之外的所有元素均为零

② 性能

○ 性质1. 行列式是对角线元素的乘积

○ 性质2. 逆矩阵具有给定对角矩阵的每个对角元素的倒数

⑵ 分块对角矩阵

① 定义：当 A_i ∈ ℳ_ni,ni (F) 且 n₁ + ··· + n_k = n 时，矩阵 A 为以下形式

② 性质：当 A_i, B_i ∈ ℳ_ni,ni (F)时，

○ 属性 1. diag(A₁, ···, A_k)·diag(B₁, ···, B_k) = diag(A₁B₁, ···, A_kB_k)

○ 性质 2. 如果 A_i 可逆， (diag(A₁, ···, A_k))^-1 = diag(A₁^-1, ···, A_k^-1)

⑶ 对角化性

① 定义：若存在对角矩阵 D 和可逆矩阵 P 且满足以下条件，则矩阵 A 是可对角化的

② 正交对角化：对于由正交基向量组成的矩阵P。

③ 定理1. n×n矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

④ 定理2. 如果一个 n × n 矩阵 A 有 n 个不同的特征值 λ₁, λ₂, ···, λ_n，则可以对角化

○ 如果 P 是以 A 的线性无关特征向量为列的矩阵，则 D 如下

⑤ 定理3. 谱定理：n × n 矩阵 A 可以正交对角化当且仅当 A 是对称矩阵

⑥ 定理 4. n × n 矩阵 A 的广义特征向量总是跨越 ℝn，因此这样的矩阵 A 可以对角化

○ 示例：n × n 矩阵 A_n 满足 A² = A，其特征值 λ = 0, 1，可以对角化。

⑦ 定理 5. 与具有三个不同对角元素的对角矩阵 D 交换的矩阵也是对角矩阵。

⑷ 乔丹规范形式

① 当矩阵无法对角化，但仍存在特征值对应的广义特征向量时，可以将其转化为Jordan规范形式> ② Jordan规范形式：A = PJP^-1（其中J不是完全对角矩阵，而是由Jordan块组成的矩阵）

③ 定理1. 如果A^k = 0（幂零），考虑矩阵A的Jordan形式，A成为由合适的A_k矩阵组成的分块对角矩阵。

⑸ 示例

① 给定矩阵A

② 计算特征值和特征向量

③计算P和D

3。二次形式

⑴ 定义：4x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂² 是二次形式，但 4x₁² + 2x₁ 不是二次形式。

⑵ 使用对称矩阵表示

⑶ 二次型符号定义：对于对称矩阵 A ∈ ℳ_n 且 ℝⁿ 上任意向量 x ≠ 0

① 正定矩阵：A 的所有特征值均大于 0 ⇔ Q(x) > 0 ∀x ≠ 0 ⇔ xtAx = xt(λx) = λ

x

2 > 0

② 半正定矩阵：A 的所有特征值均大于等于 0 ⇔ Q(x) ≥ 0 ∀x ≠ 0 ⇔ xtAx = xt(λx) = λ

x

2 ≥ 0

③ 负定矩阵：A 的所有特征值均小于 0 ⇔ Q(x) < 0 ∀x ≠ 0 ⇔ xtAx = xt(λx) = λ

x

2 < 0

④ 负半定矩阵：A 的所有特征值均小于等于 0 ⇔ Q(x) ≤ 0 ∀x ≠ 0 ⇔ xtAx = xt(λx) = λ

x

2 ≤ 0

⑤ 不定矩阵

○ 与①～④不同，特征值的符号不统一时

⑥ 定理1.

○ 证明：由于对称矩阵 A 可以正交对角化（∵谱定理）

⑷ 二次型符号的确定：对于对称矩阵 A ε ℳ_n 和 ｛1, 2, ···, n｝ 的子集 S =｛i₁, i₂, ···, i_k｝

① 主子矩阵：选择A对应S的行和列形成的k×k矩阵

② 前导主子矩阵：省略A的最后n-k行列向量得到的k×k矩阵

③ 定理1. 正定对称矩阵 A ∈ ℳ_n 等价于 sgn(det(A_k)) = 1, k = 1, 2, ···, n

④ 定理 2. 负定对称矩阵 A ∈ ℳ_n 等价于 sgn(det(A_k)) = (-1)^k, k = 1, 2, ···, n

⑤ 定理 3. 对称矩阵 A ∈ ℳ_n 为半正定，等价于所有主子矩阵行列式均为非负

○ 如果在尝试 定理 1 或 2 时任何前导主子矩阵行列式为 0，请尝试 定理 3

○ 显然，如果任何主子矩阵行列式的符号发生变化，则无需尝试定理 3 或 4，因为它表示不定矩阵

⑥ 定理 4. 对称矩阵 A ∈ ℳ_n 为负半定等价于 -A 的所有主子矩阵行列式均为非负

○ 如果在尝试 定理 3 时任何主子矩阵行列式的符号不统一，请尝试 定理 4

⑦ 直接计算行列式时，sgn 表示正值为 1，负值为 -1

⑸ 对于定义在区域 Ω ⊂ ℝⁿ 上的 C² 函数 f: Ω → ℝ，如果在点 p ∈ Ω，∇f(p) = 0，则以下成立

① 如果 H_f(p) 是正定矩阵，则 f 在 x = p 点有局部最小值

② 如果 H_f(p) 是负定矩阵，则 f 在 x = p 点有局部极大值

③ 如果H_f(p)是不定矩阵，则点x = p是f的鞍点

④ 如果 H_f(p) 是半正定矩阵，则 f 在 x = p 点有相对最小值

⑤ 若 H_f(p) 为负半定矩阵，则 f 在 x = p 点有相对最大值

① 定理1. 如果 sgn(

Hm+i

) = (-1)m, i = m+1, m+2, ···, n，则 QA(x) ＞ 0 成立

○ 请记住，这不是充分必要条件

② 定理2. 如果 sgn(

Hm+i

) = (-1)i, i = m+1, m+2, ···, n，则 QA(x) ＜ 0 成立

○ 请记住，这不是充分必要条件

③ 示例：下面的示例观察负定对称矩阵 A

> ④ 即使没有符号的二次型在一定的约束下也可能有符号

输入：2020.05.19 23:48

修改: 2024.11.12 09:45