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第 2 章。案例数量

高级类别：【统计】【统计概述】(https://jb243.github.io/pages/1641)

1. 概述  

2. 排列  

3. 组合  

4. 加泰罗尼亚数字

a. 数量问题示例案例

1.概述

⑴ 取样

① with-replacement: 重新注入并提取已经提取的东西

② without-replacement：提取时无需重新注入已提取的内容。

⑵ 案件数量类型

图1.案例数量类型

2.排列

⑴ 概述

① 定义：考虑顺序，从 n 个不同的球中排列 k 个球的方式数。这是一个没有替换的选择的情况。

② 换句话说，从n个不同的元素中选择r个不重复的项并将它们排列成一行。

③ 公式：_nP_r = n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1) （注：n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1）

④ 示例：排成一排（例如，人们站成一排）、选择不同角色的代表

⑵ 种类

① 重复排列：顺序很重要；选择与替换

② 多重集的排列：包含相同元素的排列

③ 圆形排列：围绕圆形排列元素的方式数量（例如，围绕圆桌就座）

3。组合

⑴ 概述

①定义：n个球中k个球组合的情况数。不考虑顺序。无需更换

② 即从n个不同的项目中选择r个项目，不考虑顺序，不重复。

③ 示例：选拔案例、选拔代表（相同角色）。

⑵ 二元系数可以用帕斯卡三角形表示

图 2. Pascal 的二进制系数和三角形

⑶ 结合重复

①定义：对顺序的考虑。替换

_nH_k

②等价表达

a₁ + ··· + a_n = k, = k, a_i ≥ 0

⇔ A₁ + ··· + A_n = k+n, A_i ≥1

<跨度> ⇔ □ | □ | ··· | □,    □ = (k+n) 的# 和| 的# = (k+n-1)</span>

⇔ _nH_k = _n+k-1C_n-1 = _n+k-1C_k

⑷ 公式1. 从n个项目中选择r个项目的方式数量始终与未选择的n-r个项目的选择方式数量相同。

⑸ 公式2.

⑹ 公式3.

⑺ 正式 4.

① 组合解释

○ 第一个方程：将n块石头分配到2n个位置的方式数，分为左边n个位置和右边n个位置。

○ 第二个方程：将K个石子分配到N+M个位置的方式数，分为左边N个位置，右边M个位置。⑻ 公式5。

① 代数解释

② 组合解释

○ _nC_k：从n个数字中选出k个数字的情况数

○ _n-1C_k：除了特定数字之外，选择k个数字的情况数。

○ _n-1C_k-1：选择k个数字的情况数，包括特定数字 

⑼ 公式6

① 代数解释：将式5，_nC_k = _n-1C_k + _n-1C_k-1，恰当地标记在帕斯卡三角形上，我们就可以很容易地证明它。

⑽ 公式7

① 代数解释

② 组合解释 

○情况：从1到n+m+1个号码中选出n+1个号码的情况数量 

○ _nC_n：n+1为组合中最大数的情况数

○ _n+1C_n：n+2为组合中最大数的情况数 

○ _n+mC_n：n+m+1为组合中最大数的情况数 

⑾ 公式8

① 代数解释

② 组合解释

○ 抛硬币直到正面或反面出现 n+1 次 = 1

○ _nC_n × (½)ⁿ⁺¹ × 2：与最后一条边相同的边出现n次，不同的边出现0次的概率 

○ _n+1C_n × (½)ⁿ⁺² × 2：与最后一条边相同的边出现n次，不同的边出现1次的概率 

○ _2nC_n × (½)²ⁿ⁺¹ × 2：与最后一条边相同的边出现n次，不同的边出现n次的概率

⑿ 公式9

① 【代数解释】(https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_hypergeometric_distribution)

② 组合解释

○ 假设n颗棋子中有k颗黑子和(n-k)颗白子。现在，添加一颗特殊黑子，并假设这颗特殊黑子一定是第（m+1）颗黑子。

○ 对于每个j ∈ {0, ⋯, k}：这块黑子前面有(j+m)块棋子，其中必须放置m块黑子。因此，我们考虑_j+mC_j。并且，这块黑子后面还有(n-m-j)块棋子，其中必须放置(k-j)块黑子。因此，我们考虑_n-m-jC_k-j。

○ 由于事例总数就是（k+1）黑子和（n-k）白子的分配方式数，因此总数为_n+1C_k。

这是清晰忠实的英文翻译：

—## 4. 加泰罗尼亚数字

⑴ 加泰罗尼亚号码

① 含义 1. Dyck 路径数

图 3. Dyck 路径

○ (Dyck 路径数) = (路径总数) − (坏路径数)

○ (路径总数) = 从 2n 步中选择 n 步的方法数 = _2nC_n

○ 坏路径是指在某个时刻达到级别 –1 的路径；如果我们在第一次达到 –1 后反映路径的剩余部分，则每条坏路径都与最终达到 –2 级的路径一一对应 → (坏路径数) = _2nC_n+1

○（戴克路径数）= 加泰罗尼亚语数字 C_k

② 含义 2. 排列 π 满足的个数：

○ π(i) ≠ i

○ 对于每个 1 ≤ i ≤ 2n 的整数 i： (π○π)(i) = i

○ 不存在满足 π(a) > π(b) > π(c) > π(d) 的整数 1 ≤ a < b < c < d ≤ 2n。

③ 含义3. 正确匹配n对括号的不同方式的数量

④ 性质 1. 4^k ≥ C_k ≥ 2^2k+1 / (4k² + 6_k + 2)

⑵ 莫茨金数

① 含义 1. 满足以下条件的排列数：

○ 对于每个 1 ≤ i ≤ 2n 的整数 i： (π○π)(i) = i

○ 不存在满足 π(a) > π(b) > π(c) > π(d) 的整数 1 ≤ a < b < c < d ≤ 2n。

○ 即可以表示如下，其中C_k是加泰罗尼亚数：

② 性质 1. lim_n→∞ a_n ^1/n = 3 (证明)

输入：2019.06.27 09:48