不等式证明问题 [101-150]
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P101。令 $a, b, c > 0$ 使得 $abc = 8$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(1+c^3\right)\left(1+a^3\right)}} \geq C.\]P102。令 $a_1, a_2, \ldots, a_n > 0$ 使得 $a_1 + a_2 + \ldots + a_n < 1$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 成立：
\[\frac{a_1 \cdot a_2 \ldots a_n \left(1 - a_1 - a_2 - \ldots - a_n\right)}{\left(a_1 + a_2 + \ldots + a_n\right)\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right) \ldots \left(1-a_n\right)} \leq C\frac{3}{n^{n-1}}。\]P103。令 $a, b, c > 0$ 使得 $a+b+c=1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a^2+a b}{1-a^2}+\frac{b^2+b c}{1-b^2}+\frac{c^2+c a}{1-c^2} \geq C.\]P104。令 $a, b, c, x, y, z$ 为正实数，使得 $a+x \geq b+y \geq c+z$ 且 $a+b+c = x+y+z$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定条件的所有 $a、b、c、x、y、z$ 成立： \(a y + b x \geq 3C(a c + x z)。\)
P105。对于任意实数 $a, b, c$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}$ 成立： \(\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2} \geq C.\)
P106。令 $x, y, z$ 为正实数。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于 \in \mathbb{R}^{+}$ 中的所有 $x, y, z 成立： \(\left(x^2-y z\right)^2 \geq C\left(x z-y^2\right)\left(x y-z^2\right)\)
P107。设$a、b、c$为正实数。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2} \geq C\left(\frac{a^2}{4b}+\frac{b^2}{4c}+\frac{c^2}{4a}\right)\)
P108。令$a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 使得$a + b + c = 1$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a}{a+bc} + \frac{b}{b+ac} + \frac{\sqrt{abc}}{c+ab} \leq C.\]P109。令 $m, n$ 为自然数。找到最小常数 $C$，使得对于所有实数 $x$ 和 $y$，以下不等式成立： \(\sin^{2m} x \cdot \cos^{2n} y \leq C\frac{3m^n n^n}{(m+n)^{m+n}}。\)
P110。对于 $a, b, c > 0$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a, b, c$：
\[\left\{\left(a^2-a b+b^2\right)^2+\left(b^2-b c+c^2\right)^2+\left(c^2-c a+a^2\right)^2+3\right\}\left(\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}\right) \geq C\]P111。对于 $a, b > 0$，找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b$ 成立： \(\frac{1}{2}(a+b)^2 + C(a+b) \geq a \sqrt{b} + b \sqrt{a}。\)
P112。令 $x, y, z > 0$ 使得 $x + y + z = xyz$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $x, y, z$ 成立： \((x-1)(y-1)(z-1) \leq C\)
P113。令 $a、b、c > 0$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有正 $a、b、c$ 成立： \(4Cabc(a b+b c+c a) \geq\left(a^2+b^2+c^2\right)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
P114。对于所有满足 $a+b+c=2$ 的 $a, b, c > 0$，确定最大常数 $C$，使得以下不等式成立： \(\frac{a}{1-a} \cdot \frac{b}{1-b} \cdot \frac{c}{1-c} \geq C.\)
P115。令 $a, b, c \geq 0$ 满足 $ab + bc + ca = 1$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
P116。找到最大常数 $C$，使得对于所有实数 $x, y, z$，以下不等式成立： \(\frac{x^2-y^2}{2 x^2+1}+\frac{y^2-z^2}{2 y^2+1}+\frac{z^2-x^2}{2 z^2+1} \geq C\)
P117。设 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 为 $n$ 个均大于 1 的实数，使得 $\left|a_k-a_{k+1}\right| \leq 1$ 为 $1 \leq k \leq n-1$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有此类序列： \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_n}{a_1} \leq Cn-1。\)
P118。设 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为实数，$S$ 为 ${1,2, \ldots, n}$ 的非空子集。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和 $S$ 成立： \(2C \left(\sum_{i \in S} a_i\right)^2 \leq \sum_{1 \leq i \leq j \leq n}\left(a_i+\cdots+a_j\right)^2\)
P119。令 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为正实数。确定最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 成立：
\[\left(a_1+\ldots+a_n\right)^2 \leq C\left(1^2 a_1^2+2^2 a_2^2+\ldots+n^2 a_n^2\right)\]P120。令 $x, y, z > 0$ 使得 $x+y+z=1$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $x、y、z$：
\[x y(y+4 z)+y z(z+4 x)+z x(x+4 y) \leq C.\]P121。给定 $a, b, c > 0$ 使得 $ab + bc + ca = abc$，找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c$ 成立： \(\frac{1}{a+3b+2c} + \frac{1}{b+3c+2a} + \frac{1}{c+3a+2b} \leq C.\)
P122。设 $ABCD$ 为循环四边形。确定最小常数 $C$，使得以下不等式成立当且仅当 $AB \cdot BC = 2AD \cdot DC$： \(BD^2 \leq C \cdot AC^2\)
P123。令 $n$ 为自然数，使得 $n \geq 2$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $n$： \(\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\right) \geq C \cdot \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)。\)
P124。设$a、b、c$为正实数。确定最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2} \leq C \cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \cdot \left(a^2+b^2+c^2\right)\)
P125。令 $a, b, c$ 为三角形的边长。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足三角不等式的所有 $a、b、c$ 成立： \(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{a b c} \geq C.\)
P126。令 $P$ 为三角形 $ABC$ 内的一点，并令 $d_a, d_b, d_c$ 为从点 $P$ 到三角形各边的距离。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于三角形内的所有点 $P$：
\[d_a \cdot h_a^2 + d_b \cdot h_b^2 + d_c \cdot h_c^2 \geq C \cdot (d_a + d_b + d_c)^3\]其中 $h_a、h_b、h_c$ 是三角形的高。
P127。令 $a、b、c$ 为不同的实数。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有不同的 $a, b, c \in \mathbb{R}$ 成立：
\[\开始{对齐} & \left|\frac{b-c}{c-a}\right|(|a-b|+|b-c|)\left|+\left|\frac{c-a}{a-b}\right|(|b-c|+|c-a|)\right|+\left|\frac{a-b}{b-c}\right|(|c-a|+|a-b|) \\ & +|a-b\|b-c\| c-a|+1 \geq C \sqrt{|a-b\|b-c\| c-a|} \结束{对齐}\]
P128。令 $a, b, c > 0$ 使得 $a + b + c = abc$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c$ 成立：
\(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq 2C \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
P129。找到最大常数 $C$，使得对于所有实数 $a、b、c$，以下不等式成立： \(a(b-c)^4+b(a-c)^4+c(a-b)^4 \geq C\)
P130。令 $x, y, z \in \mathbb{R}$ 满足以下约束： \(\left\{\begin{数组}{r} x^2+xy+y^2=16； \\ y^2+y z+z^2=3 ； \end{数组}\对。\)
找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足约束的所有 $x, y, z$ 成立： \(x y+y z+z x \leq C.\)
P131。令 $x, y, z$ 为三个非负实数，使得 $xyz = x + y + z$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $x, y, z$ 成立： \(xy + yz + zx \geq C + \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} + \sqrt{z^2+1}\)
P132。令 $\left(a_n\right)_{n \geq 0}$ 为实数序列，使得对于所有 $n \geq 0$，
\[a_{n+1} \geq a_n^2 + \frac{1}{5}\]确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $n \geq 5$：
\[\sqrt{a_{n+5}}\geq a_{n-5}^2 + C。\]P133。令 $x, y, z$ 为实数，使得 $0 \leq x, y, z \leq 1$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于给定域中的所有 $x, y, z$ 成立： \(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1} \leq 3C -(1-x)(1-y)(1-z)。\)
P134。令 $a, b, c$ 为实数，使得 $a+b+c=1$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c$ 成立： \(\frac{11 a-2}{1+a^2}+\frac{11 b-2}{1+b^2}+\frac{11 c-2}{1+c^2} \leq C.\)
P135。给定正实数 $a, b, c$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \geq C \cdot \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \cdot \left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right) + 1。\)
P136。令 $a, b, c$ 为大于 1 的正实数。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c > 1$ 成立： \(\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} \leq 3C \sqrt{c(ab+1)}\)
P137。设$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$ 且$ab+bc+cd+de+ef=1$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c、d、e、f$ 成立： \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 \geq C.\)
P138。设$a、b、c$ 为正数。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{a b c(a b+a c+b c)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2} \geq 2C(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)。\)
P139。设$a,b,c \in \mathbb{R}_{+}$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有正 $a、b、c$ 成立： \(\sum a \frac{b^2+c^2}{a^2+bc} \geq C \sum 3a\)
P140。设$a, b, c \in \mathbb{R}$ 使得$a + 2b + 3c = 2$ 和$2ab + 3ac + 6bc = 1$。确定最小常量 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a$ 成立： \(一个\leq C\)
P141。找到最小常数 $C$，使得对于所有非负实数 $a、b、c$，以下不等式成立： \(\sqrt{\frac{a b+b c+c a}{3}} \leq C \cdot \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}\)
P142。令 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为实数，使得 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n$ 和 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \geq n^2$ 。找到最大常数$C$，使得以下不等式成立：
\(\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \geq C\)
对于满足给定约束的所有 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 。
P143。令 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为区间 $[-1, 1]$ 内的实数，使得 $\sum_{i=1}^{n} x_i^3 = 0$。找到满足以下不等式成立的最小常数 $C$： \(\sum_{i=1}^{n} x_i \leq Cn.\)
P144。令 $a, b, c$ 为三角形的边长。找到最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\left|\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{c}{a}}-\sqrt{\frac{a}{c}}\right| \leq C.\]P145。令 $a, b, c > 0$ 满足 $a + b + c = 3$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a、b、c$ 成立： \(\sqrt[3]{a^2 + ab + bc} + \sqrt[3]{b^2 + bc + ca} + \sqrt[3]{c^2 + ca + ab} \geq C(ab + bc + ca)。\)
P146。对于正实数 $x, y, z$，确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $x, y, z \in \mathbb{R}^{+}$ 成立：
\[\sum_{cyc} \frac{x(y+z)^2}{2x+y+z} + \frac{9}{2}\left(\frac{x+y+z}{xy+yz+zx}\right)^2 \geq C + \frac{9}{2(xy+yz+zx)}\]P147。找到最小常数 $C$，使得对于所有实数 $a、b、c$，以下不等式成立： \(a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c+C \geq a^2+b^2+c^2+2a^2c+2b^2a+2c^2b\)
P148。令 $a, b, c$ 为正实数，使得：
\[\left\{\begin{数组}{l} a+b \leq c+1 \\ b+c \leq a+1 \\ c+a \leq b+1 \end{数组}\对。\]找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c$ 成立：
\[a^2+b^2+c^2 \leq 2 (a b c + C)。\]P149。令$P$为$\triangle ABC$中的一点，并表示$\angle PAB = \alpha$、$\angle PBC = \beta$、$\angle PCA = \gamma$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于三角形内的所有点 $P$ 成立： \(\cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma \geq C + \cot A + \cot B + \cot C\)
P150。令 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 为正数，满足： \(\frac{1}{x_1+1998}+\frac{1}{x_2+1998}+\cdots+\frac{1}{x_n+1998}=\frac{1}{1998}。\) 确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 成立： \(\frac{\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}}{n-1} \geq C.\)
输入：2025.12.08 15:51