第 7 章。量子力学第 4 部分 - 带隙理论
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1. 带隙理论
2. 布洛赫定理
4. 能量带和布里渊区
5. E-k 图
6. k 的含义
7. 有效质量概念简介
8. 运营商和当前
9. 应用程序
a. 量子力学第 1 部分
b. 量子力学第 2 部分
c. 量子力学第 3 部分
d. 量子力学第 4 部分
1.带隙理论
⑴ 概述
① 定义：分析束缚原子而非自由粒子势能的理论。
② 用于解释【半导体】的理论(https://jb243.github.io/pages/1092#1-semiconductor)
○ 法拉第是第一个观察半导体的人。
○ 半导体具有介于导体和绝缘体之间的导电性，其导电性可以根据温度、纯度等进行控制。
⑵ 费米-狄拉克统计
① 费米-狄拉克分布
○ 定义：在任意温度T下，粒子占据能级E的概率。
○ 晶格中的价电子遵循费米-狄拉克分布。
② 费米能级
○ 定义：固体中电子在 0 K 时所能达到的最高能级。
○ 以这种方式定义的费米能级对应于在任意温度下电子占据概率为二分之一 (50%) 的能量。
○ 能量高于费米能级的一定比例的电子忽略原子核的势并成为自由电子。
○ 导体：费米能级位于导带和价带之间的边界。
○ 绝缘体：费米能级存在于导带和价带之间。
○ 半导体：费米能级存在于导带和价带之间。
③ 费米气体
○ 费米气体（自由电子气体）：非相互作用费米子的集合。
○ 由于泡利不相容原理，在绝对零温度下，费米气体的平均能量大于基态单个粒子的平均能量。
○ 简并压力：由于泡利不相容原理，费米气体在绝对零时的压力不为零。
⑶ 连接电路理论
①能隙的大小决定电导率和电阻率
○ 导体：价带和导带重叠。
○ 在室温下，许多电子可以在原子之间自由移动。
○ 示例 1： 银的电阻率 ρ = 1.59 × 10-6 Ω·cm
○ 示例 2： 铜的电阻率 ρ = 1.67 × 10-6 Ω·cm
○ 半导体：带隙小。
○ 示例 1： 锗的电阻率 ρ = 50 Ω·cm
○ 实施例2： 硅的电阻率ρ = 250,000 Ω·cm；能隙为1.12 eV。
○ 绝缘体：带隙大。
○ 示例 1： 金刚石的电阻率 ρ = 1012 Ω·cm
○ 示例 2： 云母的电阻率 ρ = 9 × 1012 Ω·cm
② 电阻随温度变化
○ 导体：温度升高→原子振动增强→电阻增大。» ○ 半导体：温度升高→自由电子和空穴增加→电阻降低。
○ 绝缘体：温度升高→电子脱离原子→电阻减小。
○ 在半导体和绝缘体中，电阻减小效应大于原子振动增加引起的电阻增大效应。
○ 基于半导体的设备（例如计算机组件）可能会经历温度升高而导致过流，因此需要冷却系统。
2.布洛赫定理
⑴ 定义：势能 U(x) 是周期性的且 U(x+a) = U(x)
⑵ 公式
3.克罗尼-彭尼模型
⑴ 定义
图 1. Kronig-Penney 模型
⑵ 假设
① 假设晶体无限大
② 假设晶体结构具有阶梯势
⑶ 公式
4.能带和布里渊区
⑴ 解释1：数学解释
① 势能 f(xi) 振荡
② cos k(a+b) 取-1到1之间的值
③ 随着 ψ 的增大，无解→有解→无解→···
④ 结论：能级表现为带状。
⑵ 解释2：泡利不相容原理
① 泡利不相容原理：单个轨道中不能存在多个具有相同量子数的电子
② 许多原子聚集在一起导致能级重叠并轻微移动，形成能带
图 2. 由于轨道重叠而导致的能级分裂
图 3. 由于轨道重叠而形成能带
⑶ 解释3：库仑定律
① 电子相互排斥，导致能级轻微分裂
② 许多原子聚集在一起导致能级轻微移动，形成能带
⑷ 能带的分类
① 能带： 存在解的连续范围。
② 禁止带隙： 无解的连续范围（初始范围除外）
③ 带隙：电子从价带跃迁到导带所需的能量
④ 能带进一步分为价带和导带
⑤（注）单个原子的价带和导带
○ 镁原子的价带包括1s、2s、2p、3s轨道
○ 镁原子的导带包括3s以上的3p、4s、3d轨道
5. E-k 图
图 4. E-k 图
⑴ k ∈ [-π/(a+b), π/(a+b)]
⑵ 当 k = 0, ± π / (a + b) 时，E-k 图的斜率为零：这不仅在 Kronig-Penney 模型中观察到，而且在实际材料中也观察到。
⑶ 周期选择范围外的E-k解与选择范围内的解重叠⑷ 每个允许的能量仅可能有两个 k 值（由于原点的双边对称性）
⑸ 展开E-k图时，类似抛物线，随着能量的增加而收敛
图 5. 扩展 E-k 图
⑹ 实际的E-k图非常复杂，但在带边缘附近，通常在带的顶部和底部都呈现抛物线形状。
⑺ 自由粒子也有抛物线 E-k 图（因为 E ∝ p2, p ∝ k）
6. k 的含义
⑴ 对于自由粒子，k=波数，hk=动量p
⑵ 对于周期势，k = 波数，hk = 晶体动量
⑶ 表示与晶体内的相互作用和动量相关的常数，而不是实际的电子动量
7.有效质量概念简介
⑴【有效质量】(https://jb243.github.io/pages/1329)
⑵ E-k图中所有能带底部附近，曲率向下 : meff 0 (电子)
⑶ E-k图中所有能带顶部附近，曲率向上 : meff < 0 (孔)
⑷ 在能带边缘附近，色散一般呈抛物线→二阶导数给出常数→因此有效质量是常数。
图 6. 带端近似为抛物线
8.运营商和电流
⑴ 每能带 N 原子，每个原子 2 个电子，室温
图 7. 每个能带 N 原子，每个原子 2 个电子，室温
⑵ Band 4：全空
⑶ 第 3 段：大部分是空的
⑷ 第 2 级：大部分已满
⑸ 第 1 段：全部满
⑹ 能带4没有电子，净电流=0
⑺ 能带1完全被电子占据，净电流=0
⑻ 带 2 和带 3 必须打破对称性才能存在净电流
9.应用
⑴ 石墨为何导电：电子可以很容易地从 HOMO 移动到 LUMO，类似于 Na
⑵ Na比Mg具有更高的电导率：在金属键合中，轨道形成单能带。
输入： 2019.09.08 21:15