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第 14-4 章。似然比检验和威尔克斯现象的证明

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1. 摘要

2. 证明

3. 示例

1.总结

⑴ 似然比检验：给定原假设 H₀：θ = θ₀，备择假设 H₁：θ ≠ θ₀，拒绝原假设 H₀ 的拒绝区域可设置如下（其中 ℒ 为似然函数）

⑵ 广义似然比检验：在似然比检验中，原假设H0只能定义为θ = θ₀这样的简单假设，这是一个限制。给定原假设 H₀：θ ∈ θ₀，备择假设 H₁：θ ∉ θ₀，拒绝原假设 H₀ 的拒绝区域可以设置如下（其中 ℒ 是似然函数）

⑶ 威尔克斯现象：当n足够大时，对于θ = (θ₁, ···, θ_k)，原假设H₀：θ ∈ θ₀，备择假设H₁：θ ∉ θ₀，-2 log λ(X₁， ···, X_n) 遵循自由度为 ν 的卡方分布

⑷ 简化威尔克斯现象：当n足够大时，对于原假设H₀：θ = θ₀，备择假设H₁：θ ≠ θ₀，θ ∈ ℝ，-2 log λ(X₁，…，X_n)遵循卡方分布 具有 1 个自由度

2.证明

⑴ 简化威尔克斯现象的证明

⑵ 使用泰勒展开式

3。示例

⑴ 示例 1. 给定 X₁、···、X_n ~ Poisson(λ) 和原假设 H₀： λ = λ₀、H₁： λ ≠ λ₀，求显着性水平 α 的拒绝区域。

⑵ 示例 2. 给定 y₁, ···, y₅ 服从多项式分布 θ = (p₁, ···, p₅)，其中 L(θ) = p₁^y₁ ··· p₅^y₅，对于原假设 H₀：p₁ = p₂ = p₃、p₄ = p₅ 和备择假设 H₁，找到显着性水平 α 的拒绝区域。

⑶ 例3.卡方拟合优度检验：对于S个不同的bin(s = 1,…,S)，每个bin的频率Ns，零概率p_s⁰，总样本量n，除了【卡方检验】(https://jb243.github.io/pages/1727)外，还可以进行似然比检验。然而，当 n → ∞ 时，卡方检验统计量和似然比检验统计量是相同的。

输入：2024.09.24 22:10