第 11 章. 样本组和样本分布
更高类别： 【统计】【统计概览】(https://jb243.github.io/pages/1641)
1. 术语
2. 样本组特征
3. 卡方分布
4. 学生的 t 分布
1.期限
⑴ 人口：整个感兴趣的群体
⑵调查
①完全普查：对整个人群进行调查。很贵
②抽样调查：对部分人群进行调查
⑶抽样调查
①代表性样本：能够很好地反映总体特征的样本
② 目的抽样： 研究者主观干预以代表总体的样本
③随机抽样：不具有研究者主观性的样本
○ 如果每个样本的概率相同，
○ 特性 1.同分布
○ 特征2.独立分布：样本之间存在独立性
○ 这两个特征称为独立同分布（i.i.d），是随机抽样的重要优点
2.样本组的特征
⑴随机样本：当随机抽取X1、···、Xn的n个样本时，
① 每个样本都是独立的
② 每个样本具有相同的概率分布
③ E(Xi) = E(X) = m
④ VAR(Xi) = VAR(X) = σ2
⑵ 样本组与总体的关系
①关于总体均值μ、总体方差σ2，
② 样本均值
③【样本方差】(https://jb243.github.io/pages/1595)
④样本相关性：类似于【皮尔逊相关系数】的定义(https://jb243.github.io/pages/1625) ρ(x, y)
○ <跨度>| r<子>XY | ≤ 1 </span>
○ rXY = 1 ⇔ Yi = aXi + b, a ＞ 0
○ rXY = -1 ⇔ Yi = aXi + b, a ＜ 0
⑶引入新的随机变量：样本均值
①样本均值的平均值
②样本均值的方差
⑷【中心极限定理】(https://jb243.github.io/pages/1594)
①定义：二项式分布的正态分布近似
② 泛化：对于任意概率分布的X，如果n足够大，X的样本均值可以逼近正态分布
3。卡方分布
⑴ 概述> ① 当样本统计量为样本方差时的样本分布
② 将n个独立标准正态随机变量分别平方，然后求和得到的分布
③ [伽玛分布]的特殊形式(https://jb243.github.io/pages/1627#3-gamma-distribution)，其中 λ = 1/2, r = n/2
⑵ 表示1。与样本方差相关的随机变量的分布
① 引理 1. 如果 Z ~ N(0, 1), Y = Z2 ~ χ2(1)
② 引理 2. 由于 (Xi - μ) / σ ~ N(0, 1)，其平方遵循 χ2(1)
③ 引理 3. 如果 Zi ~ N(0, 1), W = ΣZi2 ~ χ2(n)
④ 引理 4. 总体均值已知时 ⑵ 的概率分布
⑤ 引理 5. ⑵ 随机变量的展开
⑥ 引理 6. A 和 C 独立： 由于 A 和 C 服从正态分布，因此是 COV(A, C) = 0 的充要条件
○ COV(Xi - -Xavg, Xavg) = 0 : 直观上来说，Xi 中无法用 Xavg 解释的余数与 Xavg 本身无关
⑦ 引理 7. 因为 ψA(t) × ψC(t) = ψB(t) （∵ A 和 C 独立），A ~ χ2(n-1)
⑶意思是2。指数分布和卡方分布
⑷ 自由度
① 首次用于卡方分布
② χ2(n) 是 n 个自由度的卡方分布
③ 随着自由度n变小，形状向左倾斜的非对称形状> ④ 自由度从n≥3开始为单杆形式，值越大越接近正态分布
⑸ 特点
① χ2(1) = Z(0, 1)2
② 期望值：E(X) = n（但自由度为n）
③ 方差：V(X) = 2n（其中自由度为n）
④ χ2(n) / n 收敛至 1，且 n → ∞
⑹ 应用
① 卡方分布表
②概率密度函数： 约0＜x＜∞且自由度n，
○ 实际上，用手使用概率密度函数是很困难的
○ 图
○ Python编程 : Bokeh 用于网页可视化
# see https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ generated/scipy.stats.chi2.html <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>numpy</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>as</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>np</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>来自</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>scipy.stats</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span> chi2 <span style =“color：#008800; font-weight：bold”>来自</span> <span style =“color：#0e84b5; font-weight：bold”>bokeh.plotting</span> <span style =“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span>图，output_file，显示 输出文件("chi_squared_distribution.html") df = 55 x = np.linspace(0, 100, 300) y = chi2.pdf(x, df)p = 图（宽度 = 400，高度 = 400，标题= “卡方分布”， 工具提示=[("x", "$x"), ("y", "$y")]) p.line(x, y, line_width = 2) 显示（页） </前></div>
> ③ R studio代码qchisq(0.95，1) # [1] 3.841459 qchisq（<span style =“color：#6600EE; font-weight：bold”>0.99</span>，<span style =“color：#0000DD; font-weight：bold”>1</span>） # [1] 6.634897 chi_square <- seq(0, 10) dchisq(chi_square, 1) #密度函数 # [1] 信息 0.2419707245 0.1037768744 0.0513934433 0.0269954833 # [6] 0.0146449826 0.0081086956 0.0045533429 0.0025833732 0.0014772828 # [11] 0.0008500367 df <- 矩阵(c(38, 14, 11, 51），ncol = 2，dimnames = 列表（头发= c("白皙"、"深色")、眼睛 = c(“蓝色”，“棕色”))) df_chisq <- chisq.测试(df) 附加（df_chisq） p.值 # [1] 8.700134e-09 </前></div>
## **4。学生的t****\-分布** ⑴定义**：**当Z ~ N(0, 1), Y ~ χ2(n)时，下列随机变量的概率分布
<中心>
⑵含义
<中心>
> ①正态分布需要知道总体的方差> ② 实际上，我们不知道总体的方差，所以我们使用样本方差 > ③当我们使用样本方差进行区间估计时，样本均值的分布恰好是t分布 ⑶ 特点 > ① 对称性 > ② T 分布比标准正态分布更胖
| **自由度** | **置信区间** | | --- | --- | | 4 | ± 3.182 | | 60| ± 2.001 | | 200 | 200 ± 1.972 | | 1000 | 1000 ± 1.962 | |无穷大| ± 1.96 |表。 2. t 分布的 95% 置信区间
⑷ 应用 > ① t分布表
<中心>
表。 3.t分布表
> ②概率密度函数**：** 关于-∞＜x＜∞和自由度n，
<中心>
>> ○ 实际上，手工使用概率密度函数是很困难的 >> ○ 图
<中心>
图。 2.自由度为2.74的t分布
>> ○ Python编程 **:** [Bokeh](https://jb243.github.io/pages/2186)用于网页可视化
# see https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ generated/scipy.stats.t.html <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>numpy</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>as</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>np</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>来自</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>scipy.stats</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span> t <span style =“color：#008800; font-weight：bold”>来自</span> <span style =“color：#0e84b5; font-weight：bold”>bokeh.plotting</span> <span style =“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span>图，output_file，显示 输出文件("t_distribution.html") df = 2.74 x = np.linspace(-7, 7，300) y = t.pdf(x, df)p = 图（宽度 = 400，高度 = 400，标题= “学生的t分布”， 工具提示=[("x", "$x"), ("y", "$y")]) p.line(x, y, line_width = 2) 显示（页） </前></div>
## **5。 Snedecor 的 F 分布** ⑴定义**：**当U ~ χ2(n)、V ~ χ2(m)时，下列随机变量的概率分布
<中心>
⑵含义
<中心>
⑶ 特点 > ① **特性1.** 若X ~ F(n, m), 1 / X ~ F(m, n)成立 > ② **特性** **2.** 若 X ~ F(n, m), E(X) = m / (m - 2) （假设，m ＞ 2）成立 > ③ **特征** **3.** 若 X ~ F(n, m), VAR(X) = 2m2(n + m - 2) ÷ n(m - 2)2(m - 4) (假设 m ＞ 4) 成立 > ④ **特征** **4.** F(1, n) = T2(n) > ⑤ **特征** **5.** F(n, ∞) = χ2(m) / m >> ○ 原因**:** χ2(n) / n 如果 n → ∞ 则收敛为 1 ⑷ 应用 > ① F-分布表
<中心>
表。 4.F分布表（α：0.01）
<中心>
表。 5.F分布表(α:0.025)
<中心>
表。 6.F分布表(α:0.05)
> ② 概率密度函数**：** 约 0 ＜ x ＜ ∞ 以及 n、m 的自由度（假设 F(n, m)），
<中心>
>> ○ 实际上，用手使用概率密度函数是很困难的 >> ○ 图
<中心>
图。 3.F分布（自由度：分子=29，分母=18）
>> ○ Python编程 **:** [Bokeh](https://jb243.github.io/pages/2186)用于网页可视化# see https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ generated/scipy.stats.f.html <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>numpy</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>as</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>np</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>来自</span> <span style=“color：#0e84b5; font-weight：bold”>scipy.stats</span> <span style=“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span> f <span style =“color：#008800; font-weight：bold”>来自</span> <span style =“color：#0e84b5; font-weight：bold”>bokeh.plotting</span> <span style =“color：#008800; font-weight：bold”>导入</span>图，output_file，显示 输出文件("f_distribution.html") dfn, dfd = 29, 18 x = np.linspace(0, 6, 300) rv = f(dfn, dfd) y = rv.pdf(x) p = 图（宽度 = 400，高度 = 400，标题= “F分布”， 工具提示=[("x", "$x"), ("y", "$y")]) p.line(x, y, line_width = 2) 显示（页） </前></div>
--- *输入时间：2019.06.19 13:42*