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第 3 章行列式和逆元

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1. 行列式

2. 逆矩阵

3. 克莱默规则

1.行列式

⑴ 排列的定义

① 排列：S = {1, 2, ···, n}的排列是指从S到S的一一对应函数σ。

○ 该函数可简单地写为(f(1),…,f(n))。

○ 恒等排列：(1, 2, ···, n)。即，当 f(i) = i 时。

② 转置：将 (f(1), ···, f(i), ···, f(j), ···, f(n)) 变为 (f(1), ···, f(j), ···, f(i), ···, f(n)) 的变换

○ 换句话说，转置交换排列域中两个元素的图像。

○ 任何排列都可以通过将(1,…,n)的有限多个转置相乘来形成。

③ 排列的符号

○ 奇数排列：奇数个转置相乘即可形成恒等排列的排列。

○ 偶数排列：偶数个转置相乘即可形成恒等排列的排列。

○ 如果排列 σ 为奇数，则定义 sgn(σ) = -1；如果偶数，sgn(σ) = +1。

④ 对称群的奇偶性：一个排列不能同时是偶数和奇数。

○ 首先假设 f(0) = 0。

○ 反转

○ 对于 α ≤ x ≤ β，定义 M(k)_{α, β} 为 x 的个数，使得 f(x) ＞ f(y)，称为逆。

○ 反转之和

○ 定义

○ n₁：满足 f(n) > f(a) 且 0 < n < i 的 n 数。

○ n₂：满足 f(a) > f(n) > f(b) 且 0 < n < i 的 n 数。

○ n₃：满足 f(b) > f(n) 且 0 < n < i 的 n 数。

○ n₄：满足 f(n) > f(a) 且 i < n < j 的 n 数。

○ n₅：满足 f(a) > f(n) > f(b) 且 i < n < j 的 n 数。

○ n₆：满足 f(b) > f(n) 且 0 < n < i 的 n 数。

○ 情况 1. 当 f(i) = a 且 f(j) = b 时（假设 f(a) ＞ f(b)）

图 1. 第一种排列情况

○ 情况 2. 当 f(i) = b 且 f(j) = a 时（假设 f(a) ＞ f(b)）

图 2. 第二种排列情况

○ 结论：排列具有奇偶性。

⑵ 行列式定义：当[A]^j为矩阵A的第j列向量时，

① 性质 1. det[I] = 1

② 性质2. 与排列符号相关的性质

○ 2-1. 如果 A = ([A]¹, ···, [A]ⁿ), [A]^h = [A]^k (1 ≤ h ≠ k ≤ n)，则 det(A) = 0> ③ 性质 3. det(A) = det([A]¹, ···, [A]ⁿ) 是列向量中的多线性函数。

○ 3-1. 如果 A = ([A]¹, ···, [A]ⁿ) 中的 [A]ⁱ = 0，则 det(A) = 0 (∵ 0 + 0 = 0)

○ 3-2. 对列的有用操作：由于转置矩阵的行列式保持不变，因此也允许对行进行操作。

④ 满足性质1、性质2、性质3的唯一函数如下。

⑶ 计算决定因素

① 2 × 2 矩阵的行列式

② 3 × 3 矩阵的行列式

③ 辅因子扩展：使用次要因子计算行列式

⑷ 行列式的应用

① 定理 1. 如果 n × n 矩阵 A 的秩小于 n，则 det(A) = 0。

○ 原因：行列式意味着通过逆矩阵存在唯一解。

② 定理2.转置的行列式：如果A是n × n矩阵，则det(A^t) = det(A)

③ 定理3. 如果A和B是n×n矩阵，则det(AB) = det(A)det(B)

④ 定理 4. 对于 X ε ℳ_n、A ε ℳ_r、D ε ℳ_n-r、B ε ℳ_{r, n-r}，有：

○ 定理 4-1.

○ 定理 4-2. 对于 n × n 矩阵 A、B、C、D，如果ㅣDㅣ ≠ 0 且 CD = DC

○ 定理 4-3. 对于 A ε ℳ_r、B ε ℳ_{r, n-r}、C ε ℳ_{n-r, r}、D ε ℳ_n-r，以下恒等式成立。

⑤ 定理5. 当x和y都是n维列向量时，以下恒等式成立。

⑥ 定理 6. 范德蒙德矩阵

○ 定义：矩阵，其列由某些数字的幂组成。

○ 行列式

○ 给定的行列式可以表示为多项式：例如，对于 x_n，该多项式的 x_n 中的次数 ≤ n-1。

○ 请注意，从一个行向量中减去另一个行向量不会改变行列式。

○ 从第 n 行和第 1 行之间的差异，行列式以 (x_n - x₁) 作为因子；类似地 (x_n - x₂), …, (x_n - x_n-1)。

○ 则多项式可表示为 (x_n - x₁) ··· (x_n - x_n-1): 确认 x_n^n-1 的系数为 1。

○ 不失一般性，同样的模式也适用于 x_n-1、x_n-2、···、x₁，证明了公式。

⑦ 定理7. 格拉米安（Gram）矩阵

○ 定义：向量内积形成的对称矩阵。

⑧ 定理 8. Hankel 矩阵

○ 定义：沿反对角线（左下↗右上）的所有值都相等的矩阵。

⑸ 行列式的用途

① 使用1. 行列式表示面积、体积等，通过线性变换进行变换。

图 3. 二维线性变换的行列式和面积

② 使用2。 如果给定的行向量或列向量是相关的，则行列式为0；如果独立，则行列式非零（反之亦然）。

○ 情况 1. 从属：根据 性质 2，行列式变为 0。

○ 案例2. 独立

○ 使用高斯消元法构成上三角矩阵，对角线元素都不为0。

○ 这样的上三角矩阵显然具有非零行列式。

○ 高斯消元法中行列式不变。

○ 因此，具有独立列向量或行向量的矩阵具有非零行列式。

③ 使用3. 逆矩阵的存在性：行列式为0是矩阵无逆的充要条件。

○ 因为高斯消元法保留了行列式，可以自动求逆元。

④ 利用4.在x-y平面上经过(x₁, y₁)’, (x₂, y₂)’的直线方程

⑤ 使用 5. v = (v₁, v₂, v₃) 和 w = (w₁, w₂, w₃) 的叉积

⑥ 使用6. 朗斯基矩阵

⑦ 使用7.雅可比矩阵

⑧ 使用8. Hessian矩阵

○ 2 × 2 矩阵的 Hessian 矩阵

○ 3 × 3 矩阵的 Hessian 矩阵

○ n × n 矩阵的 Hessian 矩阵

⑨ 使用 9. ► Hückel 近似和哈密顿量 (ref))

⑩ 使用10. 旋转和反射变换

○ 旋转变换：对于表示 T** 的矩阵 R：** x → y，若 R^TR = RR^T = I（等距），det(R) = 1

○ 反射变换：对于表示 T** 的矩阵 R：** x → y，如果 R^TR = RR^T = I（等距），det(R) = -1

○ 应用于对象碰撞的示例

2.逆矩阵

⑴ 定义

⑵ 可逆矩阵：存在逆矩阵。

① 定理1. 如果A有逆元，则它是唯一的。

② 定理 2. 如果 A 可逆，则 A^-1 也可逆。

③ 定理3. 如果A和B可逆，则AB也可逆。

④ 定理 4. 如果 A 可逆，则 cA 也可逆。

⑤ 定理5. 逆矩阵和转置矩阵

⑥ 定理 6. 如果存在一个自然数 k 使得 det (A^k) ≠ 0（A 为 3 × 3），则 A 可逆。

⑦ 定理 7. 如果存在一个自然数 k 使得 (I - A^k) = O (A 为 3 × 3，I 为单位矩阵)，则 A 是可逆的。

⑧ 定理 8. 如果存在 v₁、v₂、···、v_k 使得 Av₁ ∪ Av₂ ∪ ··· ∪ Av_k = ℝ³，则 A 可逆。

○ 原因：表示等级（A）= 3。

⑨ 存在三个正交向量 v₁、v₂、v₃ 且 Av_i ≠ O 不足以认为 A 可逆。

○ 原因：因为 A 可能将向量映射到单个非零向量。

⑶ 计算逆 1. 通过转换为三角矩阵求逆

① 初等行运算：提供求逆矩阵的算法。

» ○ ⓐ 交换 A 的第 i 行和第 j 行相当于交换 C 的第 i 行和第 j 行。

○ ⓑ 将 A 的第 i 行乘以 c 与将 C 的第 i 行乘以 c 的效果相同。

○ ⓒ 将 C 乘以 A 的第 j 行与第 i 行相加，相当于对 C 执行相同的操作。

② 初等矩阵：与应用单个初等行运算具有相同效果的矩阵。

○ 1 类初等矩阵：表示第一个初等运算（ⓐ）。

○ 2 类初等矩阵：表示第二个初等运算（ⓑ）。

○ 3 类初等矩阵：表示第三次初等运算（ⓒ）。

③ 定理1. 所有初等矩阵都是可逆的。

○ 1 类初等矩阵的逆是它本身。

○ 2 类初等矩阵的逆

○ 3 类初等矩阵的逆

④ 定理2. 任何可逆矩阵都可以表示为初等矩阵的乘积。

⑤ 定理3. 所有三角矩阵都是可逆的。

○ 三角矩阵：上三角或下三角。

○ 任何 n × n 三角矩阵 A 都可以表示为初等矩阵的乘积。

○ 首先假设给定的三角矩阵是上三角矩阵。

○ 步骤 1. 从单位矩阵中，将第 2 行乘以 ₁₂ 并将其添加到第 1 行。

○ 步骤 2. 步骤 1 之后，将第 3 行乘以 a₁₃ 并添加到第 1 行，再乘以 a₂₃ 并添加到第 2 行。

○ 步骤 3. 步骤 2 之后，将第 4 行乘以 a₁₄ 并添加到第 1 行，乘以 a₂₄ 并添加到第 2 行，再乘以 a₃₄ 并添加到第 3 行。

○ 步骤4. 通过重复此方法，可以仅使用单位矩阵来表示给定的上三角矩阵。

○ 相同的过程适用于下三角矩阵。

○ 因此，三角矩阵有逆矩阵，其形式是可以确定的。

⑷ 计算逆2. 伴随矩阵

① 当 A 为 n × n 矩阵时，去掉第 i 行和第 j 列，得到 (n-1) × (n-1) 矩阵。

② 辅因子 a_ij

③ 拉普拉斯展开式

④ 伴随矩阵

⑤ 计算逆矩阵

⑸ 计算逆 3. 编程代码

① 使用Python numpy

受保护_0

② 使用Python sympy

受保护_1

3。克莱默法则⑴ 设A为n×n矩阵， x = (x₁, ···, x_n)’, b = (b₁, ···, b_n)’。 Ax = b 的唯一解 x₀ 的第 j 个元素是：

⑵ 证明

输入：2020.04.22 09:51

修改时间：2024.01.01 18:37