动力学第 8 章。简单简谐振动和振动学
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1. 振动学
2. 类型1. 简谐振动
3. 类型 2. 阻尼振荡
4. 类型 3. 受迫振荡
5. 机械阻抗
6. 机械共振
7. 叠加
8. 其他振荡
a. 【简单简谐振动实验】(https://jb243.github.io/pages/1645)
1.振动学
⑴ 定义：物体表现出波状特性的机械运动
2. 类型 1. 简谐振动**（简单无阻尼振荡，简谐振动）
图 1. 简单简谐振动图
⑴ 概述：恒定周期
⑵ 原因：系统中恢复力和惯性共同作用时，发生简谐振动
① 恢复力：与位移变化成正比的力
② 通常通过微分方程获得，如 y” + Ky = 0, K > 0
○ 术语 y” 源自 F = ma
○ 出现 Ky 项是因为恢复力与位移变化成正比
③ 恢复力产生的总能量
○ E = K + U
○ E = ½ kA²，其中 A 是振幅（最大位移）
④ 恢复力产生的势能
○ 势与力的关系：F = -∇U
○ 由于恢复力 F ∝ x, U ∝ x²
○ 恢复力产生的势能在平衡点最低，并随着位移的变化而增加
○ 稳定性分级
○ 稳定平衡：U” > 0（凸向下），U’ (x=0) = 0
○ 不稳定平衡：U” < 0（向上凸），U’ (x=0) = 0
⑤ 非线性效应
○ 当平衡位移足够大以致恢复力不再与位移成正比时
○ 导致修正简谐振动
⑶ 系统定义
① 微分方程的解
② 频域转换
⑷ 示例 1. Simple Harmonic Motion Under a Spring
① 定义：质量在无质量弹簧上进行水平振动
② 弹性力(弹性力)：由于原子斥力使物体恢复到原来状态的力
○ 弹性：物体变形后恢复原状的倾向
○ 弹性体：具有弹性的物体（例如弹簧、杆、键盘中使用的橡胶）
○ 弹性力：弹性体恢复力的量度
○ 弹性极限：弹性体无法恢复到原始状态的点
○ 胡克定律：弹簧的伸长量与所施加的力成正比
○ 方程：F ∝ x（变形长度）→ F = -kx（其中 k 是弹性常数）
○ 负号表示力与伸长方向相反
○ 弹性常数 (弹簧常数): 弹簧伸长 1 m 所需的力
○ 螺旋弹簧
○ 重叠板簧
○ 柔量：弹簧常数的倒数
○ 串联弹簧常数的变化：串联弹簧更容易拉伸，降低弹簧常数
○ 并联弹簧常数的变化：并联弹簧需要更大的力，增加弹簧常数
③ 弹力简谐振动：利用外力=回复力=弹力建立方程，然后求解二阶微分方程
④结论：弹簧的周期T仅取决于质量m和弹性常数k
⑸ 示例 2. Simple Pendulum
① 由无质量的弦悬挂的质量，以小幅度振荡
② 摆的周期T仅取决于弦长ℓ
③ 物理摆：当刚体在引力场中绕枢轴进行摆运动时
④ 此处，I 为绕枢轴转动惯量，h 为枢轴到质心的距离
⑹ 示例 3. Simple Harmonic Motion of a Mass Suspended on a Spring in Gravity（忽略弹簧质量）
① 给定质量 m 和 重力引起的延伸 x（可能为负），
○ Φ: 初始阶段
○ xm: 振幅（最大位移）
② 初始条件：假设 t = 0 时 v = x = 0
③ 提示1. 振动中心是弹力和重力平衡的地方
④ 提示2. 振幅由初始条件决定：初始位置到振荡中心的距离
⑤ 提示 3. 周期：与初始速度、延伸长度和重力加速度无关
⑺ 示例 4. 悬挂在弹簧上的质量在重力作用下的简谐振动（考虑弹簧质量）（ref）
图 2. 考虑弹簧的质量
① 条件 1. 摆锤质量 M、弹簧质量 m、弹簧常数 k、弹簧长度 L、距连接点的距离 L
② 条件2. 弹簧均匀，L≫伸出长度x
③ 受力平衡时，y点距顶部的延伸长度x(y)为
④ 该方程意味着弹簧常数沿位置变化，将弹簧质量视为分布
⑤ 求平均弹簧常数
⑥ 对于 m ≪ M，使用 ln(1 + x) 的泰勒级数展开式，
⑦ 近似周期公式如下，假设 (1 + x)-1 ≒ 1 - x
⑧ 更精确的计算是高度复杂的
⑻ 示例 5. 摆波
① 定义：15 个摆锤在 60 秒的周期内同相和异相运动，产生波状运动 (ref)
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② 设计：微调摆长，使第 1 至 15 个摆在 60 秒内分别摆动 51 至 65 次
⑼ 示例 6. Exact Solution for Pendulum Motion
① 场地
○ 情况：自由无阻尼单摆运动
○ 控制方程
○ 初始条件
○ 控制方程的近似 (θ ≪ 1)
○ 近似通解 (θ ≪ 1)
○ 近似特解 (θ ≪ 1)
② 精确解
○ 转型
○ 三角关系
○ 第 1次 替换
○ 第二次替换： ω0 来自控制方程，与角频率无关
○ z 的限制
○ τ 的精确解
③雅可比椭圆函数
○ 椭圆积分
○ 雅可比椭圆函数 sn 的定义
○ 使用椭圆积分表示 τ
○ 涉及 K(k) 的周期公式
○ sn 用 τ 表示
○ 结论
⑽ 示例 7. Convergence of the Exact Solution of Pendulum Motion under Air Resistance (ref)
①问题：设u(t)为下列微分方程的解。证明函数 u(t) 和 u’(t) 在 t > 0 时有界。此外，确定极限 limt→∞ u(t)。
②解决办法：
首先，定义 v(t) := u’(t)。那么，假设 (u(0), v(0)) = (1, 0)，则以下等式成立：
因此，我们得到： -et ≤ et v(t) ’ = et sin u(t) ≤ et。
通过积分，我们得到： v ≤ 1 - e-t ≤ 1。接下来，定义 w(t) := 2 cos u(t) + (v(t))2。
然后，我们计算：w’ = -2u’ sin u + 2vv’ = 2v sin u + 2v(-v + sin u) = -2v2。
由于 w(t) 是递减函数，因此有： cos u(t) ≤ cos u(t) + (v(t))2 / 2 ≤ cos u(0) + (v(0))2 / 2 = cos 1。
利用 u(t) 的连续性，我们得到： 1 ≤ u(t) ≤ 2π-1
由于 w(t) 是递减函数且满足 w(t) ≥ -2，因此极限 limt→∞ w(t) = β 存在，有：
现在，假设 β > 2。
那么，对于任何 ε > 0，都存在一些 t0，例如对于所有 t > t0，cos u(t) > β / 2 - ε, v(t) < ε» 如果我们假设 β / 2 - ε > -1 对于足够小的 ε > 0，则出现两种可能的情况：
情况 1： 这与 v 对于足够小的 ε > 0 的有界性相矛盾。
案例2： 类似的矛盾如下。
因此，我们得出结论： limt→∞ cos u(t) = -1 且 limt→∞ u(t) = π。
⑾ 示例 8. Demonstrating Circular Motion as Simple Harmonic Motion
<iframe src="https://www.youtube.com/embed/NcfLvRra1j0" width="852" height="480"frameborder="0"allowfullscreen=""></iframe>
⑿ 示例 9. LC Circuit
图 3. LC 电路中的振荡
图 4. LC 电路分析
⒀ 示例 10. Atomic Oscillations
3. 类型 2. 阻尼振荡
图 5. 阻尼振荡图
⑴ 控制方程
⑵ 频域转换
⑶ β的介绍及阻尼振荡的分类
① β² - ω₀² > 0：过阻尼（重阻尼）
② β² - ω₀² = 0：临界阻尼
③ β² - ω₀² < 0：欠阻尼（轻阻尼）
⑷ 一般情况下，β < ω₀ 成立
4。类型 3. 受迫振荡
图 6. 受迫振荡图
⑴ 控制方程
⑵ 当fe为三角函数时
① 振动 = 自然振动 + 稳态振动
② 自然振动 = 均匀解 = 互补解 = 瞬态解
○ 由于 e-βt，随着时间的推移它会收敛到 0
③ 稳态振动 = 特解
○ 通常，只有特定的解决方案才有意义
○ 假设为复谐振运动
○ ω ≪ ω₀
○ ω = ω₀
○ ω ≫ ω₀
5。机械阻抗⑴ 定义
① 定义为复驱动力 ÷ 驱动点复速度
②获得速度所需的力大小的概念
⑵ SDOF（单自由度）系统
① Zm：材料的固有属性，用于预测响应
② Rm：机械阻力，代表能量损失
③ Xm：机械电抗，代表储能
④ 如果阻抗已知，则可以确定系统响应
⑶ 当 ω ≪ ω₀ 时：Zm* = -js / ω
① 类弹簧（类刚度）阻抗
② 负虚部
③ 与频率成反比
⑷ 当 ω = ω₀ 时：Zm* = Rm
⑸ 当 ω ≫ ω₀ 时： Zm* = jωm
① 类质量阻抗
② 正虚部
③ 与频率成线性比例
⑹ 虚数阻抗：当Rm = 0时
① 力和速度异相
② 系统无需电源驱动
○ 由于 Rm = 0，因此没有能量耗散
6。机械共振
⑴ 定义：电抗分量Xm变为零时的频率
⑵ 阻抗虚部为零时的振动频率
7.叠加
图7. 叠加图
⑴ 假设1. 小幅度响应
⑵ 假设2. 系统是线性的
⑶ 数学公式
8.其他振荡
⑴【傅科摆】(https://jb243.github.io/pages/350#1-earths-rotation)
⑵ 量子振荡中的贝里相
⑶ 莫里斯勒卡振荡器
输入：2019.04.09 08:59
修改: 2023.10.07 17:04