第 12 章. 误差分析

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1. 错误本质

2. 错误类型

1.错误的本质

⑴ 测量：以严格定义的单位确定测量值

⑵误差=测量值-真值

⑶ 量子力学的不确定性原理使得任何测量的真实值都无法得知

⑷由于真实值并不准确，因此将误差视为特定范围而不是特定值是合理的。与概率误差有关

2.错误类型

⑴不公平错误

①定义：由于仪器操作出现明显错误导致测量结果不可靠时出现的错误

② 示例1. 如果测量长度时未设置一个原点

③ 示例 2. 如果电阻测量未确认来源

④解决方案：由于原因很明显，所以忽略数据

○ 如果包括这些，其他测量的可靠性就很差。

⑵系统误差

①定义：由于测量仪器不稳定而产生的误差。

②特征：可以估计尺寸和符号并修正误差

③ 例1. 多次测量电压得到平均值，检查结果发现所用电压表的刻度偏离原点的情况

④ 示例2. 用尺子测量长度，但未考虑长度随温度变化的情况

⑤ 示例 3. 截断错误：由于仅从级数表示的解中取出特定项而导致的错误（例如，泰勒级数）

⑶随机误差

①定义：由于重复测量结果不同而导致测量波动而产生的误差

②解决办法：使用更精确的测量仪器或重复几次

③减少随机误差是提高实验结果的最重要因素

⑷ 可能的错误

①定义：获取测量值时假设的误差大小

② 不是错误原因，而是如何表达

③用σp表示，按“测量值x=x_avg±σ_p”的方式使用

○ 并不表示 x 的误差为 σ_p

○ 表示x偏差超过±σ_p的概率很小

○ 设置 σ_p，使真实值介于 x_avg - σ_p 和 x_avg + σ_p 之间的概率为 50%

④ 误差呈正态分布，若误差的标准差为 σm，则真值介于 x_avg - σ_m 和 x_avg + σ_m 之间的概率约为 68 %

⑤ 如果我们设置 σ_p = 0.67 σ_m，则真实值介于 x_avg - σ_p 和 x_avg + σ_p 之间的概率为 50%

3。测量值的有效数字

⑴ 必要性：所有测量值均为近似值，因此测量值应仅显示有效数字，即仅显示有效数字

⑵ 有效数字选择规则

①最左边除0以外的数字为最高有效数字

② 如果没有小数点，则最右边除0以外的数字为最低有效数字 > ③ 如果有小数点，即使最右边的数字是0，这个数字也是最低有效数字

④ 最高和最低有效数字之间的所有数字也是有效数字

⑤ 示例：仅下划线部分为有效数字

○ 994.29

○56000

○ 0.0048

○ 6.000

○ 800。

○ 2.990 × 10⁴

⑶ 有效数字计算规则：减少计算测量时不必要的计算时间的浪费

①加减法：如果我们计算7.9和0.1637的和，

○ 数字 7.9 在小数点后两位没有有效数字，因此将 0.1637 删去 → 0.16

○ 7.9 + 0.16 = 8.06

○ 如果四舍五入到小数点后一位，则 8.06 → 8.1

②乘法和除法：如果计算7.9和0.1637的乘积，

○ 7.9 × 0.1637 = 1.29323

○ 7.9 有两位有效数字，0.1637 有四位有效数字，因此您可以将结果四舍五入到两位数

○ 1.29323 → 1.3

4。标准误差

⑴必要性：由于随机误差，测量值具有一定的分布→需要一个能够代表它们的数字

⑵ 类型1.模式：最常测量的值

⑶ 类型2.中位数：当数据按大小顺序列出时，测量值置于中心

⑷ 式3.平均值（mean）：测量值的算术平均值

① 当 N 个测量值表示 x₁、x₂、… 和 x_N 时，

② 如果每个测量值 x₁、x₂、…、和 x_N 的频率分别为 f₁、f₂、…、f_N，

③计算方差σ²

</中心>

④ 如果每轮物理量被测量M次，则每轮得到的测量值的平均值和标准差是不同的

⑤ 若样本均值 x_avg 的标准差为 σ_m，则 σ、σ_m 与 N 之间成立如下关系

○ σ_m 也称为标准误差

⑥ 根据测量数据报告的测量结果如下。

x = x_avg ± σ_m

⑦ 在一般物理实验中，通常使用将置信系数设置为 50% 的概率误差来报告测量结果

x = x_avg ± σ_p = x_avg ± 0.6745σ_m

⑧ 如何描述错误

○绝对误差：以σ的形式报告

○ 相对误差：以σ ／ |x_avg| 的形式报告

○ 百分比误差：以σ ／ |x_avg| 的形式报告× 100

5。错误传播 ⑴ 例子：求立方体体积的实验

① 方法1. 获取1000份数据并计算平均值和标准差

② 方法2. 通过先将宽度、长度和高度的各个平均值相乘，然后将这些平均值相乘来计算体积

③ 方法2方便得多，但错误会累积。

⑵ 误差传播理论

① 假设一个物理量 z 是作为另一个物理量 x, y, ··· 的关系给出的，形式为 z = f(x, y, ···)

② 假设xavg、yavg、…的平均值（样本均值）和标准差σ_x、σ_y、σ_z是从x、y、…的测量中获得的

③ z 的平均值，即 z_avg

z_avg = f(x= f(x_avg, y, y_avg, ···), ···)

④ z 的标准差，即 σ_z

⑤ (∂f／∂x)₀, ,(∂f／∂y)₀, ···表示根据 x_avg, y_avg 的平均值计算的偏导数，···

⑶ 误差传播公式

① z = ax ± by

② z = 轴

③ z = ax／y

④ z = ax^b

⑤ z = ae^bx

⑥ z = a log(bx)

⑷ 建议

① 有效数字计算规则源于误差传播公式。

② 在幂函数的情况下，指数越大，传播误差越大，因此需要特别精确的测量

6。最小二乘法

⑴最可能值：使偏差平方和最小的代表值。

⑵最小二乘法

① 假设 x₁、x₂、…、x_N 是通过重复测量某个量而获得的

② 若最大概率值为x，则偏差平方和如下

</中心>

③将其视为x的函数，该函数具有最小值的条件如下

</中心>
> ④ 在这种特定情况下，最可能的值与平均值相同

⑶ 常用于寻找多项式趋势线

输入：2019.04.13 01:28

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