第 20 章回归分析的方差分析
高级类别：【统计】【统计概述】(https://jb243.github.io/pages/1641)
2. ANCOVA
1.简单线性回归分析的方差分析
⑴ 问题情况
| 年龄（岁） | 螨虫数量 | |
|---|---|---|
| 3 | 5 | |
| 6 | 13 | |
| 9 | 16 | 16 |
| 12 | 12 14 | 14 |
| 15 | 15 18 | 18 |
| 18 | 18 23 | 23 |
| 21 | 21 20 | |
| 24 | 32 | 32 |
| 27 | 27 29 | 29 |
| 30 | 28 | 28 |
表1.简单线性回归分析的方差分析
⑵【t统计量】表(https://jb243.github.io/pages/1629#4-students-t-distribution)
| 因素 | 系数 | 标准错误 | t | 意义 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 拦截 | 5.733 | 5.733 2.265 | 2.265 2.531 | 2.531 0.035 | 0.035 |
| 年龄 | 0.853 | 0.853 0.122 | 0.122 7.006 | 7.006 0.001 | 0.001 |
表2.t统计量表
⑶ F统计量表
| 因素 | 平方和 | df | 均方 | F | 意义 |
|---|---|---|---|---|---|
| 回归 | 539.648 | 1 | 539.648 | 49.086 | 49.086 < 0.001 |
| 剩余 | 87.952 | 87.952 8 | 10.994 | 10.994 | |
| 总计 | 627.600 | 627.600 9 |
表3.F统计量表
①原假设H0 ：回归线的斜率等于0
②思路：如果回归的MS＞残差的MS，则回归线的斜率不为零
③计算
④回归线的自由度之所以为1：因为回归变量只有一个
⑷ F统计量比t统计量显示功效更大的原因： F统计量的p值较小
① F统计量比t统计量使用更多的信息
② 由于样本量较大的影响，F 统计量显示出更大的功效
2.协方差分析
⑴概述
① 简单线性回归分析与单向方差分析融合的概念
②必要性：在实际问题情况下，由于一个因素的混杂效应，第二个因素发生变化，会影响因变量
③ 与双向方差分析的区别： ANCOVA 技术不与某些 ANOVA 技术竞争。 ANOVA 和 ANCOVA 可以同时进行
⑵ 问题情况
①自变量：是否为污染矿区
② 因变量： 大鼠器官中的铅浓度
③混杂效应：年龄
⑶ 不考虑年龄的结果表
| 因素 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 比 |
|---|---|---|---|---|
| 治疗 | SS治疗 | k-1 | MS 处理 = SS 处理 / (k-1) | F = MS 治疗/MS 错误 |
| 错误 | SS 错误 | N-k | MS 误差 = SS 误差 / (N-k) | |
| 总和 | SS 总计 | N-1 |
表 4. 简单单向方差分析结果表
①如果不控制年龄效应，残差变大
② 随着残差增大，MS Error增大，F比减小
③随着F比的降低，功效也降低：换句话说，很难证明治疗的意义
⑷ 假设
①同方差性
② 独立性
③常态
④ 协变量和因变量之间的关系应该是线性的
⑤ 并行度» ○ 例如，计算每个污染矿区和非污染区的回归线时，斜率相同
○ 满足并行性与没有交互是一样的
○ 如果不满足并行性，则比较一个选定值（例如年龄的总体平均值）的差异不能代表整个协变量范围
图 1. ANCOVA 中缺乏并行性的示例
○ 在ANCOVA之前，应评估年龄和地区的相互作用以确认平行性
⑸ 程序
① 第一第一。确认年龄和铅浓度之间的相关性
图 2. 年龄与铅浓度之间的相关性
② 第二第二。证实年龄和地区的交互作用不具有统计显着性
| 因素 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 比 | p值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 年龄 | |||||
| 网站 | |||||
| 年龄 × 地点 | NS | ||||
| 错误 | |||||
| 总计 |
表 5. 结果表，包括交互项
③ 第三第。根据年龄计算铅浓度回归线
图3.铅浓度随年龄的回归线
④ 第 4。根据第 3rd 步获得的回归线计算满足以下条件的两条回归线
图 4. 两条回归线的计算
○ 对于从第 3rd 步骤获得的回归线，仅更改 y 截距，同时保持回归线的斜率
○ 最小化每个自变量水平的平方和
⑤ 第 5。计算第 4 步获得的每条回归线的残差
图5.残差计算
⑥ 第六th。计算出整个组的平均年龄后，将该值的每条回归线的函数值指定为标准值
○ 整个群体的平均年龄只是一个例子，它的值是多少并不重要。
图6.标准值的计算
⑦7th。将第 5 步向上和向下获得的残差标记为每个治疗组的标准值
图 7. 最终结果
⑧ 第 8。最后，可以看到SS Error更小了： p值更小了
图。 8.结果对比
⑹ 结果
①修正结果
图9.污染矿区的铅浓度
图10.非污染矿区铅浓度
② 修正前结果表
| 因素 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 比 | p值 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 网站 | 320 | 320 1 | 320 | 320 2.74 | 2.74 0.115 | 0.115 |
| 错误 | 2100.8 | 2100.8 18 | 18 116.71 | |||
| 总计 | 2420.800 | 19 | 19 |
表6.校正前结果表
③校正后结果表：可以从回归线计算年龄的平方和
| 因素 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F 比 | p值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 年龄 | 1776.290 | 1776.290 1 | 1776.290 | 1776.290 93.054 | 93.054 < 0.001 |
| 网站 | 1094.335 | 1 | 1094.335 | 57.329 | 57.329 < 0.001 |
| 错误 | 324.510 | 17 | 17 19.089 | 19.089 | |
| 总计 | 2420.800 | 19 | 19 |
表7.校正后结果表
④ 报告示例 : “平行性的初步分析表明，铅浓度线的斜率与年龄的关系没有显着差异（年龄 × 地点: F1,16 = 0.00, NS）。随后的 ANCOVA 显示地点的显着影响（F1,17 = 57.329，P < 0.001）以及协变量（年龄）的显着影响(F1,17 = 93.054, P < 0.001) 矿区大鼠的铅含量高于对照组。
⑺ 未将污染矿区回归线y轴截距与其他区域回归线y轴截距进行比较的原因
①情况：如果满足并行性，比较y截距就容易多了
② 比较 y 截距类似于比较样本组只有一个样本
③ 因为 ANCOVA 采用总误差项，ANCOVA 类似于比较具有给定样本组大小两倍的元素的样本组
④ 因此，执行 ANCOVA 比简单比较 y 截距具有更高的功效
⑻ 应用1. 2因素ANCOVA
① 在分析2-way ANOVA时应用ANCOVA技术
② 示例：当自变量为性别和药物治疗，因变量为血压，混杂因素为年龄时
⑼ 应用2. 如果存在多个混杂因素
①采用多元线性回归分析
② 也可以使用【高级回归分析】(https://jb243.github.io/pages/1792)
输入：2019.12.07 23:04