不等式证明问题 [01-50]
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重构了 IneqMath 训练数据。
P1。令 $a、b、c > 0$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{a b c}}+\frac{8 a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq C.\]S1。 $C = 4$
P2。对于 $a, b, c > 0$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a, b, c$： \(\frac{a^3}{a^3 + abc + b^3} + \frac{b^3}{b^3 + abc + c^3} + \frac{c^3}{c^3 + abc + a^3} \geq C.\)
S2。 $C = 1$
P3。找到最小常数 $C$，使得对于所有实数 $x$ 和 $y$，以下不等式成立： \(x^2 + x + y^2 + y + C \geq x y\)
S3。 $C = 1$
P4。令 $a, b, c \neq 0$ 使得 $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定条件的所有 $a、b、c$ 成立： \((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq C\)
S4。 $C = \frac{27}{2}$
P5。令 $a, b, c > 0$ 使得 $a + b + c = abc$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$： \(\frac{a}{b^3} + \frac{b}{c^3} + \frac{c}{a^3} \geq C.\)
S5。 $C = 1$
P6。令 $x, y, z$ 为正实数，使得 $x+y+z=1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $x、y、z$：
\[(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})(z+\frac{1}{z}) \geq C.\]S6。 $C = \frac{1000}{27}$
P7。令 $a、b、c > 0$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$： \(\left(\frac{a}{b+c}\right)^2 + \frac{b}{c+a} + \left(\frac{c}{a+b}\right)^2 \geq C.\)
S7。 $C = 1$
P8。令 $a、b、c > 0$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有正 $a、b、c$ 成立： \(\frac{c^2+a b}{a+b}+\frac{a^2+b c}{b+c}+\frac{b^2+c a}{c+a} \geq C(a+b+c)。\)
S8。 $C = 1$
P9。令 $a, b, c > 0$ 使得 $a+b+c=2$ 且 $a^2+b^2+c^2=2$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c$ 成立： \(a b c \leq C.\)
S9。 $C = \frac{4}{27}$
P10。令 $a, b, c$ 为正实数，使得 $a \geq b+c$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a^3+2 b^3+2 c^3}{a b c} \geq C.\]S10。 $C = 6$
P11。令 $a, b, c > 0$ 且 $k \in \mathbb{N}^{+}$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\left(a^2+\frac{2(k+1)^2}{b+k}\right)\left(b^2+\frac{2(k+1)^2}{c+k}\right)\left(c^2+\frac{2(k+1)^2}{a+k}\right)\geq (Ck+3)^3。\]S11。 $C = 2$
P12。令 $a、b、c > 0$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{C}{(a+b+c)^2}\)
S12。 $C = \frac{27}{2}$
P13。令 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 为实数，其中 $n > 1$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 成立： \(\sqrt{a_1^2+\left(1-a_2\right)^2}+\sqrt{a_2^2+\left(1-a_3\right)^2}+\ldots +\sqrt{a_n^2+\left(1-a_1\right)^2} \geq Cn\)
S13。 $C = \frac{1}{\sqrt{2}}$
P14。令 $x$ 和 $y$ 为两个正实数，使得 $x + y = 1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $x, y$ 成立：
\[\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right) \geq C.\]S14。 $C = 9$
P15。令 $a, b, c \geq 0$ 使得 $a^2+b^2+c^2+abc=4$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c$ 成立：
\(a+b+c+\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \leq C\)
S15。 $C = 4$
P16。在锐角三角形 $ABC$ 中，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有角度 $A、B、C$ 成立： \(\frac{\cos A}{\cos B \cos C}+\frac{\cos B}{\cos C \cos A}+\frac{\cos C}{\cos A \cos B} \geq C\left(\frac{1}{1+\cos A}+\frac{1}{1+\cos B}+\frac{1}{1+\cos C}\right)\)
S16。 $C = 3$
P17。设$a、b、c$为三个非负实数。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \geq 0$ 成立： \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right) \geq (ab+bc+ca-abc)^2 + C \cdot abc\)
S17。 $C = 4$
P18。令 $a, b, c$ 为非负实数，使得 $ab+bc+ca=4$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\right) \geq C.\]S18。 $C = \frac{45}{8}$
P19。令 $a、b、c、m、n$ 为正实数。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c, m, n \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{a^2}{b(m a+n b)}+\frac{b^2}{c(m b+n c)}+\frac{c^2}{a(m c+n a)} \geq \frac{C}{m+n}。\)
S19。 $C = 3$
P20。给定正实数 $a, b, c$ 满足 $ab + bc + ca = 3$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c$ 成立： \(\frac{1}{\sqrt{a+b}} + \frac{1}{\sqrt{c+b}} + \frac{1}{\sqrt{a+c}} \geq \sqrt{\frac{C}{a+b+c+3}}。\)
S20。 $C = 27$
P21。给定 $a, b, c \geq 0$ 满足 $a b+b c+c a>0$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c$ 成立：
\[\sqrt{\frac{a}{b^2+b c+c^2}}+\sqrt{\frac{b}{c^2+c a+a^2}}+\sqrt{\frac{c}{a^2+a b+b^2}} \geq C \sqrt{\frac{a b+b c+c a}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\]S21。 $C = 2\sqrt{2}$
P22。令 $x, y, z \in [0,1]$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $x、y、z$： \(x(x-y)(z-x) \leq C.\)
S22。 $C = \frac{4}{27}$
P23。令 $a, b \geq 0$ 且 $(a+b)(1+4ab)=2$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b$ 成立： \(ab(a+b+ab) \leq C\)
S23。 $C = \frac{5}{16}$
P24。令 $a, b, c$ 为正实数，使得 $a+b+c=3$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a}{1+2 b^3}+\frac{b}{1+2 c^3}+\frac{c}{1+2 a^3} \geq C.\]S24。 $C = 1$
P25。令 $a, b > 0$ 且 $a + b \leq \frac{3}{2}$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b$ 成立： \(\frac{a}{a^2+1} + \frac{4b}{b^2+4} \leq C.\)
S25。 $C = \frac{6}{5}$
P26。令 $a, b, c, d \in \mathbb{R}^{+}$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a、b、c、d$ 成立：
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \geq \frac{C}{a+b+c+d}\]S26。 $C = 64$
P27。给定满足 $ab + bc + ca = 1$ 的非负实数 $a, b, c$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c$ 成立：
\[\frac{c}{\sqrt{a+b+3c}} + \frac{a}{\sqrt{c+b+3a}} + \frac{b}{\sqrt{a+c+3b}} \geq C.\]S27。 $C = 1$
P28。令 $x, y$ 为正实数，使得 $x + y = 2$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $x, y$ 成立：
\[x^3 y^3 (x^3 + y^3) \leq C.\]S28。 $C = 2$
P29。设$a, b, c, d \in \mathbb{R}$ 使得$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c、d$ 成立：
\(a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \leq C.\)
S29。 $C = 8$
P30。找到最大常数 $C$，使得对于所有实数 $a$ 和 $b$，以下不等式成立： \(\sqrt{a^2+b^2+\sqrt{2} a+\sqrt{2} b+1}+\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{2} a-\sqrt{2} b+1} \geq C\)
S30。 $C = 2$
P31。令 $a, b > 0$ 使得 $a + b = 1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a、b$ 成立：
\[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq C.\]S31。 $C = \frac{25}{2}$
P32。给定四个实数 $a, b, c, d \geq 0$ 满足 $a \geq b + 7c + d$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c, d$ 成立：
\[7(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) \geq C a b c d\]S32。 $C = 240$
P33。令$x, y \in \mathbb{R}$ 使得$(x+1)(y+2) = 8$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $x, y$ 成立： \(|xy-10| \geq C\)
S33。 $C = 8$
P34。令 $a、b、c$ 为正实数，使得 $abc = 1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq C.\)
S34。 $C = 3$
P35。令 $a、b、c > 0$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有正 $a、b、c$ 成立： \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{C \sqrt{a^2+b^2+c^2}}{\sqrt[3]{a b c}}\)
S35。 $C = \sqrt{3}$
P36。令 $x, y, z$ 为正实数，使得 $xy + yz + zx \geq 3$。找到最大常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $x, y, z$ 成立： \(\frac{x}{\sqrt{4x+5y}} + \frac{y}{\sqrt{4y+5z}} + \frac{z}{\sqrt{4z+5x}} \geq C\)
S36。 $C = 1$
P37。给定实数 $b \leq 2$，找到最大常数 $C$，使得对于所有正实数 $x, y$（其中 $xy = 1$），以下不等式成立： \(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{C}+\frac{b}{x+y} \geq 1+\frac{b}{2}\)
S37。 $C = \sqrt{2}$
P38。令 $a、b、c > 0$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有正 $a、b、c$ 成立： \(\sqrt{\frac{2 a b\left(a^2-a b+b^2\right)}{a^4+b^4}}+\sqrt{\frac{2 b c\left(b^2-b c+c^2\right)}{b^4+c^4}}+\sqrt{\frac{2 c a\left(c^2-c a+a^2\right)}{c^4+a^4}} \leq C \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+b+c}\)
S38。 $C = 1$
P39。令$a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 且$abc = 1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[a^3 + b^3 + c^3 + \frac{16}{(b+c)(c+a)(a+b)} \geq C.\]S39。 $C = 5$
P40。令 $a > 1$ 为实数。确定最大常数 $C$，使得对于所有 $n \in \mathbb{N}$，以下不等式成立： \(\frac{a^n-1}{n} \geq C\sqrt{a}^{n+1}-\sqrt{a}^{n-1}。\)
S40。 $C = 1$
P41。令 $a, b, c \geq 0$ 且 $a+b+c=3$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a+1}{a+b+1}+\frac{b+1}{b+c+1}+\frac{c+1}{c+a+1} \geq C.\]S41。 $C = 2$
P42。设$a、b、c$为正实数。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ 成立： \(\frac{a}{\sqrt{3 a+2 b+c}}+\frac{b}{\sqrt{3 b+2 c+a}}+\frac{c}{\sqrt{3 c+2 a+b}} \leq C \sqrt{a+b+c}\)
S42。 $C = \frac{1}{\sqrt{2}}$
P43。给定 $k > 1$ 且 $a, b, c > 0$ 且 $abc = k^3$，找到最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a, b, c$：\(\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+bc}\right) \geq C\left(\frac{1}{1+k}+\frac{1}{1+k^2}\right)。\)
S43。 $C = 3
P44。令 $a、b、c$ 为实数，使得 $a^2 + bc = 1$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于满足给定约束的所有 $a、b、c$ 成立： \(\frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1} + \frac{1}{c^2+1} \leq C\)
S44。 $C = \frac{5}{2}$
P45。令 $a, b, c \geq 0$ 且 $a^2 + b + c^2 = 1$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{3(1+b)} + \frac{1}{1+c^2} \geq C.\]S45。 $C = \frac{5}{3}$
P46。让 $x > 4$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $x$：
\[\frac{x^3}{x-4} \geq C.\]S46。 $C = 108$
P47。令 $a, b, c \geq 1$。确定最小常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\sqrt{\frac{a b+b c+c a}{3}}-\sqrt[3]{a b c} \geq \frac{\sqrt{\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}}}{C}-\frac{1}{\sqrt[3]{a b c}}。\]S47。 $C = \sqrt{3}$
P48。令 $a, b, c \geq 0$ 且 $ab+bc+ca > 0$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式适用于所有 $a、b、c$：
\[\frac{a}{\sqrt{b+c+Ca}} + \frac{b}{\sqrt{a+c+Cb}} + \frac{c}{\sqrt{b+a+Cc}} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\]S48。 $C = 7$
P49。令 $x, y, z \in [-1, 3]$ 使得 $x + y + z = 3$。找到最小常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $x, y, z$ 成立： \(x^2 + y^2 + z^2 \leq C.\)
S49。 $C = 11$
P50。令 $p > q > 0$。确定最大常数 $C$，使得以下不等式对于所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立： \(\frac{p+q}{p-q} \geq C\frac{2(x^2-2 q x+p^2)}{x^2+2 q x+p^2}\)
S50。 $C = \frac{1}{2}$
输入：2025.12.08 15:51