群论
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1. 群论
2. 应用程序
1.群论
⑴ 公理（axiom）
① 闭包: ∀a, b ∈ G, a·b ∈ G
② 结合性：∀a, b, c ∈ G, (a·b)·c = a·(b·c)
③ 恒等元：对于任意a ∈ G，存在e ∈ G 满足a·e = e·a = a 存在
④ 逆元：对于任意a ∈ G，存在a-1，使得a·a-1 = a-1·a = e
○ 逆元的唯一性：对于任何两个逆元 a0-1、a1-1，我们总是有 a0-1 = a1-1
○ a0-1 = e·a0-1 = (a1-1·a)·a0-1 = a1-1·(a·a0-1) = a1-1·e = a1-1
⑤ 交换性：当运算顺序对于群 (G, +) 不重要时，即当 a·b = b·a 时
○ 称为交换群或阿贝尔群。
○ 如果该性质不适用于群中的所有元素，则该群称为非交换群
○ 有限交换群可以表示为循环群（循环群）的乘积
⑥ 不变性（invariance）：对于一个函数 phi: X → Y 是 G 不变的，对于所有 g ∈ G 且 x ∈ X，必须满足 phi(x) = phi(gx)
○ 这意味着输入空间上的群体动作对输出没有影响
⑦ 等变（equivariance）：对于一个函数 phi: X → Y 来说是 G 等变的，对于所有 g ∈ G 和 x ∈ X，必须满足 phi(gx) = g’phi(x)
○ 这里 g’ ∈ G’ 是与 G 同态的群，作用于输出空间
○ 等方差是指输入空间中的群作用会引起输出空间中相应的群作用
⑵ 代数结构
①集合（set）：元素的集合。无操作/规则
② Magma（岩浆）：一次操作（*）。对于任何 a, b, a*b 总是有定义的（闭集）
③ 半群（semigroup）：一次运算（*）。岩浆+关联性
④ 幺半群（monoid）：一次操作（*）。半群 + 单位元 e 的存在性 (e*a = a*e = a)
⑤ 组（group）：一次操作（*）。幺半群 + 每个元素都有一个逆元
○ 阿贝尔群(Abelian group): 群 + 交换律 ab = ba
○ 产品组（product group）：定义为两个组G、H的笛卡尔积G × H（例如，(g1, h1)）
○ 新的群运算为 (g1, h1)·(g2, h2) = (g1g2, h1h2)
⑥ Ring(响铃): 两次操作 +, ·
○ 定义
○ (R, +) 是阿贝尔群
○ · 是结合律
○ 分配律 a(b + c) = ab + ac, (a+b)c = ac + bc
○ 单位环（unitalring）：具有乘法恒等式1的环
○ 交换环（commutativering）： ab = ba 成立的环
⑦ 分割环（分割环、斜场）：可以是环+分割
○ 每个非零元素都有一个乘法逆元（乘法不必是可交换的）
⑧ Field（场）：除环+乘法交换律（即除以任意非零元素+交换律）
○ 子字段（subfield）：字段中包含的子集，在相同操作下仍然是字段
○ Field extension（域扩展）：当K⊆L且均为域时，指L/K
⑨ 积分域（integral domain）：交换环（通常有1）+无零因数（ab = 0 ⇒ a = 0 或b = 0）
⑩ 模块（module）：类似于向量空间，其中环 R 充当标量。» ○ 定义：(M,+)是阿贝尔群，标量乘法R × M → M满足分配/结合规则
⑪ 向量空间：标量环为域的模块；即一个字段上的模块
⑫ 齐次空间（齐次空间）：空间 X 使得对于任何对 x1, x2 ∈ X，总存在 g ∈ G 且 gx1 = x2
○ 配备G作用的齐次空间X也称为G空间（G-space）
⑬ 代数（algebra）：域（或环）上的向量空间（或模），其中元素之间的乘法也被定义并且与标量结构兼容
○ 示例：矩阵代数，sigma-algebra
⑭ 格子（lattice）：两个运算（∧，∨）。具有像 gcd/lcm 这样的相遇/连接操作，并满足交换/结合/吸收定律
⑶ Mapping（映射）
①内射函数（内射、一对一）
○ 一种函数，在 f: X → Y 中，余域的每个元素都与域的一个元素精确相关
② 满射函数(surjective,onto)
○ 一个函数，其余域 = 图像
③ 双射函数（bijective）
○ 既是单射又是满射的函数
④ 同态（homomorphism）
○ 给定两个群 (G, ·), (H, *)，映射 ρ: G → H 满足 ρ(u · v) = ρ(u) * ρ(v)
⑤ 同构（isomorphism）
○ 满足一一对应的同态（双射）
⑥ 自同构(automorphism)
⑦ 群动作（group action）：群动作是一个函数T：G×X→X，将一对（g，x）映射到X的一个元素
○ 定义：群（一组对称性）通过相互置换解（根）或数来起作用
○ 条件1. 对于G的单位元e，T(e, x) = x
○ 条件 2. 对于 g1, g2 ∈ G, T(g1, T(g2, x)) = T(g1g2, x)
○ 为简洁起见，我们将 T(g, x) 写为 Tg(x)，这表示为点 x 映射到 gx (= Tg(x))
⑧ 代表（representation）
○ 群 G 的表示表示映射 ρ: G → GL(V)，向量空间 V 上的线性变换群
○ 同态条件：表示还必须满足 ρ(g1g2) = ρ(g1)ρ(g2)
○ 在许多情况下 V 是 ℝn 或 ℂn
○ 可约化（reducible）：当一个表示可以分解为其他表示的直接和时
○ 不可约（irreducible）：任何不可约的表示。不可约表示的集合表示为 Irr(G)、irreps 等。
○ 有限交换群（finite commutative group）的所有不可约表示都是一维的，并与群本身形成双射对应（bijection）
○ 有限交换群的不可约表示被分类为循环群 ℤ/nℤ 的乘积
⑨ Orbit(orbit)：对于点x ∈ X，x的轨道Gx定义为集合{gx: g ∈ G}
○ 例如，如果 G 是平移组，x 是图像，则轨道表示该图像的所有平移版本
⑷ 定理1. 群<G,*>的每个公理都是<G,*>的结构性质
①定义：<G,*>的结构性质是指与<G,*>同构的所有二元结构所共有的特征
② 前提：通过同构 φ: G → S, 〈S, ㆍ〉 是与 〈G, *〉同构的二元结构
③ 公理1的证明：α, β, γ ∈ S, ∃ a, b, c ∈ G s.t. φ(a) = α, φ(b) = β, φ(c) = γ
> ④ 公理 2 的证明
⑤ 公理 3 的证明：对于 a ∈ G 的逆 a’，
2.应用
⑴ 无理数对称性：对于有理系数的运算，产生 a + b√c，且 b ≠ 0，还必须导出 a - b√c，且 b ≠ 0
⑷ 【任何与可对角矩阵 A 交换的矩阵 B 都可以用块对角形式表示，每个块对应一个特征值。](https://jb243.github.io/pages/2307)
⑸【不等式证明与群论】(https://jb243.github.io/pages/1143)
⑹【费马大定理的证明】(https://jb243.github.io/pages/2191)
输入：2021.03.27 22:54
修改时间：2026.01.02 15:42