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信号处理

推荐阅读：【信号处理】【信号处理理论目录】(https://jb243.github.io/pages/613)

1. 概述

2. 转变

3. 奈奎斯特定理

4. 过滤器

1.概述

⑴ 定义

① 信号：指给定t1，…，tn（例如时间）时的序列{x(tn)}。

② 信号处理：从信号中提取信息。

③ 信号预处理：通过去除原始数据中的噪声或趋势成分，提炼出干净的信号。

⑵ 信号类型

① 类型 1. 连续信号：t 和 x 均为连续的信号。

○ 存储、获取、处理极其困难。

○ 示例：为了存储、获取和处理无理数π，需要无限的容量和时间。

② 类型2. 离散信号：t 是离散的，x 是连续的信号。

③ 类型 3. 数字信号：t 和 x 均为离散的信号。

④ 采样（数字化）：将连续信号转换为离散信号。

⑤ 奈奎斯特定理：如果采样率大于信号频率的两倍，就可以采样而没有混叠误差。

⑶ 信号可以有两个以上的维度。

① 2D Signal：定义为t的维数为2时的图像。

② 3D 信号：例如冠状动脉造影。

③ 4D信号：例如癌症的放射治疗。

⑷ 时间作为一个域，可以以无限不同的方式进行转换（例如，傅立叶变换，将时间转换为一周中的天数）。

2.转型

⑴ 概述：信号变换的方法有无数种。

⑵ 傅里叶变换

①定义：从时域信号中获取频率信息的代表性方法。

② 当给定时域信号x(t)时，变换后的频域信号X(f)有以下关系：

○ 符号：X(f) = F{x(t)}

○ 傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。

○ 【傅里叶变换与其逆的关系证明】(https://math.stackexchange.com/questions/2879051/inverse-fourier-transform-of-the-fourier-transform)。

③ 傅里叶变换的性质

○ 性质 1. 线性：F{ax1(t) + bx2(t)} = aF{x1(t)} + bF{x2(t)} = aX1(f) + bX2(f)。

○ 线性=比例+叠加。

○ 虽然所有系统本质上都是非线性的，但它们在微区间内满足准线性。

○ 属性 2. 缩放比例：F{x(at)} = (1/a) × X(f/a)。与测不准原理有关。

○ 性质 3. 平移：F{x(t - a)} = X(f) exp(-j 2πaf)。

○ ∴

F{x(t - a)}

=

X(f)

。

○ 相位的含义：表示信号何时开始，但很难解释，所以通常只考虑幅度。

○ 性质4. 卷积

○ x1(t) ⨂ x2(t) = ∫ x1(t) x2(t - τ) dτ = ∫ x1(t - τ) x2(τ) dτ 根据定义。

○ F{x1(t) ⨂ x2(t)} = F{x1(t)} · F{x2(t)} = X1(f) · X2(f)。

○ 性质 5. 如果 x(t) 是实函数，则 F{x(-t)} = X(f) 成立（其中 X 是 X 的复共轭）。

④ 主函数的傅里叶变换

表 1. 主要函数的傅里叶变换。

○ 高斯信号的傅里叶变换是另一种高斯信号：有无限多个保持相同形状的信号。

⑤ 2D傅立叶变换：在图像处理、断层扫描等方面的应用。

⑥ 连续傅立叶变换 (CFT)

○ 类型：压电、超声分析（参见菲涅尔和夫琅和费衍射）。

⑦ 离散傅立叶变换 (DFT)

○ FFT（快速傅里叶变换）：通过将 DFT 划分为更小的傅里叶变换，有效地计算 DFT。

⑧ 缺点

○ 计算量大，需要仔细设置基频 f。

○ 无法确定频率-幅度曲线上信号的时间顺序。

○ 原因：傅里叶变换假设的是永恒周期信号输入，而不是局部信号输入。

○ 但是，阶段分析可以确定时间顺序。

⑨ 应用领域

○ 交流电路理论。

○ 控制理论。

○ 影像设备：超声波检查、3D CT、MRI等

○ 非侵入性测试：断层扫描、光谱等。

○ 蛋白质建模。

○ 语音和声音识别。

○ 【微观经济分析】(https://jb243.github.io/pages/1880)。

○ 傅里叶描述符：将图像表示为复数，然后应用傅里叶变换来实现对象检测、平滑和特征提取。

⑶ 小波变换

① 背景：为了解决传统傅里叶变换的缺点而开发。

②原理：通过少数采样频率的内积将相似频率的信号分开。

③ 类型1. STFT（短期傅立叶变换）：一般小波变换的初步步骤。

○ 定义：使用门g 及其复共轭g* 的滑动窗口方法。

○ 优点：提供时域和频域的信号信息。» ○ 缺点：如果g的形状和长度设置不正确，可能会导致无效或信号失真。

② 类型 2. 连续小波变换 (CWT)

○ 配方：

○ Ψ：母小波（母基函数）。

○ Ψ*： Ψ 的复共轭。

○ b：移动参数。

○ a：缩放（分辨率）参数。

○ CΨ-1：常数。

○（参考）时域：时间精度高，频率精度低（或无）。

○（参考）频域：频率精度高，时间精度低（或无精度）。

○ 小波域：时间和频率的多分辨率精度。

○ 母小波类型：选择与给定信号最相似的母小波。

○ Daubechies (dbX)。

○ 哈尔。

○ 墨西哥帽（阔边帽）。

○ 头饰。

○ 符号。

○ 莫雷特。

○ 迈耶。

③ 类型 3. 离散小波变换 (DWT)

○ 概述：

○ 在分析上与 CWT 有很大不同。

○ 使用 Mallat 金字塔算法或 QMF（正交镜像滤波器）。

○ 优点：比傅里叶变换需要更少的计算，从而导致更快的处理时间。

○ 原理：

○ 信号像决策树一样被细分为高低分量：利用高通和低通滤波器。

图 1. DWT 原理。

○ 小波和滤波器函数的设计：可以设计基本的滤波器函数 h．

○ IDWT：分解后的信号可以通过上采样重建原始信号。

图 2. IDWT 原理。

○ 2D DWT：在行和列之间交替以分解信号。

图 3. 2D DWT 原理。

○ 类型：

○ 一般小波分解：仅在低频近似方向进行滤波。

○ 小波包分解：在高频细节方向进一步滤波，构造树。

○ 任意路径分解：任意选择低频或高频滤波。

○ UWT（未抽取小波变换）：在计算近似或细节系数时保持原始数据计数。

○ 应用：图像去噪、小波压缩。

⑷ 数值积分：指波形下方的面积。

①梯形法则：数值积分技术。

② 辛普森法则：比梯形法则更精确的数值积分技术。

③ 辛普森3/8规则：甚至比辛普森规则更准确。

④ 博德法则。

⑤ 移动平均法。⑸ MSC（乘性散射校正）

① 通过构建回归方程进行修正。

② SNV（Standard Normal Variate）：归一化校正，使其平均值为 0，标准差为 1。

⑹ DCT（离散余弦变换）

① 傅立叶变换的一种。

② 旧版本的 JPEG 使用 DCT：该版本的 JPEG 将图像尺寸缩小了 90%。

⑺ 霍夫变换

① 分析图像中线条的各个位置和角度对应的高信号部分的交叉频率。

② 可用于边缘检测、角度检测等。

③圆霍夫变换：分析图像中每个圆的位置和大小对应的高信号部分的交叉频率。

⑻ 氡气转化

① 与霍夫变换类似。

② 用于断层扫描（例如，3D CT 成像）

3。奈奎斯特定理

⑴ 混叠伪影：采样时采样频率低于信号频率时出现的失真。

图 4. 混叠伪影。

⑵ 奈奎斯特定理：为了完美地重构信号，采样频率必须至少是信号最大频率的两倍。

⑶ 奈奎斯特定理的证明：

① 假设给定信号 x(t) 及其傅立叶变换 X(f)。定义 X(f) 的最大值为 fm。

图 5. x(t) 和 X(f)。

② 假设一个变换函数 H(t)，在固定时间间隔 (Ts) 处为 1，其他地方为 0，及其傅立叶变换 H(f)。

图 6. H(t) 和 H(f)。

③ 每次将 x(t) 与 H(t) 相乘，相当于在 H(t) = 1 的点对 x(t) 进行采样。

④ 过采样：当采样频率设置得快于信号频率时。 X(f) 以 fs = 1 / Ts 的间隔出现。

图 7. 过采样情况。

⑤ 欠采样：当采样频率设置得慢于信号频率时，导致信号重叠。

图 8. 欠采样情况。

⑥ 避免欠采样的条件：如果 fs = 1 / Ts，则 fs - fm > fm ⇔ fs > 2 × fm。

4。过滤器

⑴ 无源滤波器电路

① [低通滤波器](https://jb243.github.io/pages/845#:-,-(lowpassfilter)：只允许低频信号通过。缺点是模糊。平滑滤波器。

图 9. 低通滤波器。

② [高通滤波器](https://jb243.github.io/pages/845#:-,-(HighpassFilter)：只允许高频信号通过。锐化滤波器。

图 10. 高通滤波器。

③ [带通滤波器](https://jb243.github.io/pages/845#:-,-(passbandfilter)：只允许特定频率通过。

图 11. 带通滤波器。

④ 带阻滤波器：选择性地阻挡特定频率。

图 12. 带阻滤波器。

⑵ 数字滤波器电路

① FIR 滤波器

○ 卷积

对于原始数据{xn}，处理后的数据{yn}表示为：

yn = b0xn + b1xn-1 + … + bMxn-M = Σ bkxn-k （其中 k = 0, 1, …, M）。

这里，bk 称为参数或系数。另外：

δ(x) = 0，如果 x ≠ 0

δ(x) = 1，如果 x = 0

单位脉冲函数δ(x)满足：

hn = Σ bkδ(n-k) （其中 k = 0, 1, …, M）= bn，如果 n = 0, 1, …, M

hn = Σ bkδ(n-k) （其中 k = 0, 1, …, M）= 0，否则

yn = Σ bkxn-k (其中 k = 0, 1, …, M) = Σ hkxn-k (其中 k = -∞, …, ∞) = hn * xn = xn * hn

因此，yn 是 hn 和 xn 的卷积。

○ 频率响应

所有函数都可以表示为三角函数的无穷和。

对于任意角频率 ω，-∞ < n < ∞，xn = Aejφejωn 成立。 （[参考]（http://nate9389.tistory.com/34））

当 k = 0, 1, …, M 时，yn 表示为：

yn = Σ bkxn-k = Σ bke-jωkAejφejωn = ( Σ bke-jωk ) xn = H(ejω)xn

H(ejω) 称为 FIR 系统的频率响应，是 ω 的函数。

yn 可以进一步表示为：

yn =

频率响应

e^(∠频率响应) xn

因此，原始数据的幅度按

频率响应

缩放，相位按∠频率响应变化。

FIR 滤波器允许线性相移，从而实现相位校正。

FIR 滤波器特别适用于相位信息至关重要的 RF 领域或需要添加用户逻辑的控制应用。

○ 示例 : 低通滤波器

如果 {bk} = {1, 2, 1}，即 yn = xn + 2xn-1 + xn-2：

H(ejω) = Σ bke-jωk (其中 k = 0, 1, …, M) = 1 + 2e-jω + e-2jω = (2 + 2cosω)e-jω。

频率响应	= 2 + 2cosω，产生低通滤波器。

○ Z 变换

FIR 滤波器的设计是通过使用 Z 变换来确定极点和零点来分析系统特性和稳定性。

② IIR 滤波器

IIR 滤波器将处理后的数据 {yn} 定义为：

yn = Σ bixn-i (其中 i = 0, 1, …, M) + Σ ajyn-j (其中 j = 1, …, N)。

与 FIR 滤波器一样，IIR 滤波器通过频率响应来确定频率特性。

Z变换用于分析极点和零点来设计系统。

IIR 系统计算复杂且设计具有挑战性，非线性相移使相位恢复变得不可能。

IIR 滤波器不用于相位信息至关重要的 RF 通信中，但它们可以实现更理想的幅度特性。

③ 卡尔曼滤波器

○ 定义 ： 当输入和输出信号都受到高斯噪声破坏时提供最佳输出的线性滤波器。

○ 类型 1. 一维卡尔曼滤波器：

○ 测量不确定度。

○ 当前信念的不确定性。

○ 卡尔曼增益 : 确定当前信念的重要性。

○ 类型 2. 多维卡尔曼滤波器。

⑶ 有源滤波器电路

① Sallen-Key 过滤器

○ 高通 Sallen-Key 滤波器

图 13. 高通 Sallen-Key 滤波器。

○ 低通 Sallen-Key 滤波器

图 14. 低通 Sallen-Key 滤波器。

② 巴特沃斯滤波器

图 15. 巴特沃斯滤波器。

○ 公式

○ n ： 滤波器阶数，确定信号通过滤波器的次数。

○ n 越高，越接近理想的方波信号。

○ ω : 标准化截止频率为 1 rad/s。

○ 优点 ： 最稳定的通带，是恒定幅度至关重要时的理想选择。

○ 缺点： 滚降率较弱。

○ 应用： 抗锯齿。

○ 滚降率： 信号通过滤波器后接近0的速度。

③ 切比雪夫滤波器

图 16. 切比雪夫 I 型滤波器。

图 17. 切比雪夫 II 型滤波器。

○ I型切比雪夫滤波器公式：

○ n : 过滤顺序。

○ ε : 通带中的纹波大小。

○ Tn : n 阶切比雪夫多项式。

○ II 型切比雪夫滤波器公式。

○ 优点： 陡峭的滚降率，有利于频率保持。

○ 缺点 ： 通带或阻带可能会经历阻尼。

④ 椭圆滤波器

图 18. 椭圆滤波器。

○ 优势 ： 最陡的滚降率。

○ 缺点 ： 通带或阻带可能会经历阻尼。

⑤ 贝塞尔滤波器

图 19. 贝塞尔滤波器。

○ 优点 ： 最佳相位响应。

○ 缺点 ： 最弱的滚降率。

⑥ 中值滤波器

○ 非线性滤波器、平滑滤波器。

○ 与低通滤波器在噪声去除过程中导致边缘模糊不同，中值滤波器可以避免模糊。

○ 原因 ： 使用中位数而不是均值。

⑦ 高升压滤波器 (HBF)

○ 线性滤波器。也可以作为无源滤波器实现。锐化滤镜。

○ HBF = (A - 1) × 原始 + 高通。

⑧ 微分滤波器

○ 线性滤波器。也可以作为无源滤波器实现。锐化滤镜。

○ 类型： Roberts 掩模、Prewitt 掩模、Sobel 掩模。

图 20. 罗伯茨掩模、普鲁伊特掩模、索贝尔掩模。

⑨ AGF（方位伽博滤波器）

⑩ 高斯滤波器

⑪ 指数滤波器

⑫ 洛伦兹核

输入：2018.04.29 20:35

修改时间：2024.02.18 19:20