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第 10 章统计定理 II

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1. 计算替换后的样本标准差

2. 不替换样本标准差的计算

1. 替换后样本标准差的计算

⑴定理

对于从总体中提取的样本X₁、X₂、···、X_n，样本标准差的定义不是 

但是 

那为什么呢？当样本组和总体不同时，在估计总体均值m时通常不知道总体标准差σ的值，因此可以用样本标准差代替总体标准差。当尝试替换 σ 时，S_n 和 S 哪个更合适？

⑵证明

下面是S_n²的期望值，即E(S_n²) 

因为 E(S_n²) = (n -1) / n × σ²，S_n² 往往会小于总体方差 σ²。由于 S_n² 乘以 n/(n - 1) 的预期值与 S² 相同，因此以下公式成立

总之，在替换总体方差时，S² 比 S_n² 更合适

2. 无替换样本标准差的计算  

⑴定理

当我们从规模为 N、总体平均值为 m、总体标准差为 σ 的总体中抽取规模为 n 且无放回的样本时，样本组的方差如下： 

⑵证明

总体中的变量可以表示为a₁、a₂、…、a_N。假设 b_i = a_i - m，那么

当从总体中无替换地提取 n 个样本 x₁、x₂、···、x_n 时，对于所有可能的样本均值，每个 a_i 出现 _N-1C_n-1 次  

样本均值的方差是偏差平方的均值

上式中，b₁²、b₂²、···、b_N²分别出现_N-1C_n-1次，b₁b₂、···、 b_N-1b_N 分别出现 _N-2C_n-2 次。因此，结论如下：

输入：2019.06.18 21:39