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MATH-500

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1.

问题：

将直角坐标中的点$(0,3)$转换为极坐标。以 $(r,\theta),$ 形式输入答案，其中 $r > 0$ 且 $0 \le \theta < 2 \pi.$

解决方案：

我们有 $r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3.$ 另外，如果我们画一条连接原点和 $(0,3) 的线，$ 这条线与正 $x$ 轴形成 $\frac{\pi}{2}$ 角度。

受保护_0

因此，极坐标为 $\boxed{\left( 3, \frac{\pi}{2} \right)}.$

答案：

$\left(3, \frac{\pi}{2} \right)$

2.

问题：

定义 $[p = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^2} \quad \text{and} \quad q = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^3}.]$ 找到一种写法 $[\sum_{j = 1}^\infty \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{(j + k)^3}]$ 以 $p$ 和 $q$ 表示。$

解决方案：

我们计算 $\frac{1}{n^3}$ 在总和中出现的次数 $[\sum_{j = 1}^\infty \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{(j + k)^3},]$ 其中 $n$ 是固定正整数。 （换句话说，我们将总和限制在 $j + k$ 上。）每次 $j + k = n 时，我们都会得到 $\frac{1}{n^3}$ 项。$ 有效的对 $(j,k)$ 为 $(1,n - 1),$ $(2,n - 2),$ $\dots,$ $(n - 1,1),$，总共 $n - 1$ 对。因此，

答案：

$p - q$

3.

问题：

如果$f(x) = \frac{3x-2}{x-2}$，$f(-2) +f(-1)+f(0)$ 的值是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

$f(-2)+f(-1)+f(0)=\frac{3(-2)-2}{-2-2}+\frac{3(-1)-2}{-1-2}+\frac{3(0)-2}{0-2}= \frac{-8}{-4}+\frac{-5}{-3}+\frac{-2}{-2}=2+\frac{5}{3}+1=\boxed{\frac{14}{3}}$

答案：

$\frac{14}{3}$

4.

问题：

196 有多少个正整数约数？

解决方案：

第一个质因数 $196=2^2\cdot7^2$。 196 的任何约数的质因数分解不能包含除 2 和 7 以外的任何质数。在 196 的约数分解中，我们可以自由选择 0、1 或 2 作为 2 的指数。同样，我们可以选择 0、1 或 2 作为 7 的指数。总共，对于 196 的约数的质因数分解，有 $3\times 3=9$ 的可能性196. 不同的质因数分解对应于不同的整数，因此有 $\boxed{9}$ 个 196 的约数。

答案：

9

5.

问题：

越野队训练的结果如下图所示。哪个学生的平均速度最快？

受保护_1

解决方案：

伊芙琳比布莱恩娜、黛布拉和安吉拉在更短的时间内跑了更多的距离，所以她的平均速度比他们的平均速度都快。伊芙琳几乎用了卡拉一半的时间就到达了卡拉，所以伊芙琳的平均速度也比卡拉快。因此，$\boxed{\text{Evelyn}}$ 就是我们的答案。

答案：

$\text{伊芙琳}$

6.

问题：

正六边形可以分成六个等边三角形。如果其中一个三角形的周长是 21 英寸，那么正六边形的周长（英寸）是多少？

解决方案：六边形的边长等于等边三角形之一的边长。由于六边形有六个边，三角形有三个边，因此六边形的周长是三角形周长的两倍。因此，六边形的周长为 $2(21\text{ 英寸})=\boxed{42}$ 英寸。

受保护_2

答案：

42

7.

问题：

可以写成三个连续整数之和的最小正完美立方是多少？

解决方案：

三个连续整数之和的形式为 $(k-1)+(k)+(k+1)=3k$，因此是 3 的倍数。相反，如果数字 $n$ 是 3 的倍数，则 $n/3-1$、$n/3$ 和 $n/3+1$ 是三个连续整数，它们相加得到 $n$。因此，当且仅当一个数字是 3 的倍数时，它才是三个连续整数的和。3 的倍数的最小正完美立方是 $3^3=\boxed{27}$。

答案：

27 号

8.

问题：

满足 $[2x = 3y = -z]$ 的点集 $(x,y,z)$ 是一条线。

满足 $[6x = -y = -4z]$ 的点集 $(x,y,z)$ 是另一条线。

求这些线之间的角度（以度为单位）。

解决方案：

对于第一行，令 $t = 2x = 3y = -z.$ 然后 $[\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t/2 \ t/3 \ -t \end{pmatrix} = \frac{t}{6} \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -6 \end{pmatrix}.]$ 因此，第一行的方向向量为 $\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -6 \end{pmatrix}.$

对于第二行，令 $t = 6x = -y = -4z.$ 然后 $[\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t/6 \ -t \ -t/4 \end{pmatrix} = \frac{t}{12} \begin{pmatrix} 2 \ -12 \ -3 \end{pmatrix}.]$因此，第一行的方向向量为 $\begin{pmatrix} 2 \ -12 \ -3 \end{pmatrix}.$

请注意 $[\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -12 \ -3 \end{pmatrix} = 0.]$ 因此，线之间的角度为 $\boxed{90^\circ}.$

答案：

$90^\约$

9.

问题：

点 $(2, -6)$ 和 $(-4, 3)$ 之间的距离（单位）是多少？用最简单的激进形式表达你的答案。

解决方案：

我们使用距离公式：

答案：

$3\sqrt{13}$

10.

问题：

表达式 $2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5+1$ 等于 121，因为乘法是在加法之前执行的。但是，如果允许通过插入括号来更改该表达式，我们可以获得 121 以外的值。例如，我们可以通过$[(2\cdot (3\cdot 4)) \cdot (5+1) = 144.]$得到144。$2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 + 1$通过插入括号总共可以得到多少个值？ （请注意，不允许重新排列术语，只能插入括号）。

解决方案：

由于乘法的结合性，插入指定乘法顺序的括号并没有帮助。例如，关联属性告诉我们 $(2\cdot(3\cdot 4))\cdot (5+1)$ 与 $2\cdot3\cdot4\cdot (5+1)$ 相同。因此，获得不同值的唯一方法是将 +1 与不同数量的因子分组。我们得到

表达式总共有 $\boxed{4}$ 个可能值。

答案：

4

11.

问题：

仅用数字 0 和 2 可以写出 30 的最小正整数倍是多少？

解决方案：令$M$为只用数字0和2就能写出的30的最小正倍数。首先，$M$是10的倍数，所以它的个位数字必须是0。$M$也是3的倍数，这意味着它的数字之和必须是3的倍数。因此，我们必须至少取三个2。由于 $M$ 是最小的，我们只取三个 2，并且没有任何额外的 0：$M=\boxed{2220}$。

答案：

2220

12.

问题：

设 $p(x)$ 为 5 次多项式，使得 $[p(n) = \frac{n}{n^2 - 1}]$ 对于 $n = 2,$ 3, 4, $\dots,$ 7。找到 $p(8).$

解决方案：

让 $q(x) = (x^2 - 1) p(x) - x.$ 那么 $q(x)$ 的度数为 7，$q(n) = 0$ 对于 $n = 2$, 3, 4, $\dots,$ 7，所以 $[q(x) = (ax + b)(x - 2)(x - 3) \dotsm (x - 7)]$ 对于一些常量 $a$ 和 $b.$

我们知道 $q(1) = (1^2 - 1)p(1) - 1 = -1.$ 在上面的等式中设置 $x = 1$，我们得到 $[q(1) = 720(a + b),]$所以$a + b = -\frac{1}{720}.$

我们还知道 $q(-1) = ((-1)^2 - 1)p(-1) + 1 = 1.$ 在上面的等式中设置 $x = -1$，我们得到 $[q(-1) = 20160(-a + b),]$ 所以 $-a + b = \frac{1}{20160}.$ 求解 $a$ 和 $b,$ 我们发现 $a = -\frac{29}{40320}$ 和 $b = -\frac{3}{4480}.$ 因此，

特别是， $[q(8) = -\frac{(29 \cdot 8 + 27)(6)(5) \dotsm (1)}{40320} = -\frac{37}{8},]$ 所以 $[p(8) = \frac{q(8) + 8}{8^2 - 1} = \boxed{\frac{3}{56}}.]$

答案：

$\frac{3}{56}$

13.

问题：

12 的真因数为 1、2、3、4 和 6。整数 $N$ 的真因数是小于 $N$ 的 $N$ 的正因数。 284 的真因数之和的真因数之和是多少？

解决方案：

质因数 $284=2^2\cdot71$。 $284$ 的真因数之和为

在这里，我们使用了观察结果，即通过分布将 $(1+2+2^2)(1+71)$ 相乘，得到一个表达式，该表达式是 $284$ 的所有 $6$ 因数之和。$ 再次应用该观察结果，我们发现 $220$ 的真因数之和为 \((1+2+2^2)(1+5)(1+11)-220=7\cdot 6\cdot 12-220=\盒装{284}.\)

答案：

第284章

14.

问题：

所示圆柱体的体积为 $45\pi$ 立方厘米。圆柱体的高度是多少厘米？

受保护_3

解决方案：

圆柱体的体积为$bh=\pi r^2h$。底面半径为 $3$ cm，因此我们有 $9\pi h=45\pi\qquad\Rightarrow h=5$。圆柱体的高度为$\boxed{5}$ cm。

答案：

5

15.

问题：

假设下图中 $\sin D = 0.7$。 $DE$是什么？

受保护_4

解决方案：

该三角形是直角三角形，因此 $\sin D = \frac{EF}{DF}$。那么$\sin D = 0.7 = \frac{7}{DF}$，所以$DF = 10$。

利用毕达哥拉斯定理，我们发现$DE$的长度为$\sqrt{DF^2 - EF^2},$或$\sqrt{100 - 49} = \boxed{\sqrt{51}}$。

答案：

$\sqrt{51}$

16.

问题：

设 $z = 2 + \sqrt{2} - (3 + 3 \sqrt{2})i$，并设 $c = 2 - 3i$。令$w$为$z$围绕$c$逆时针旋转$\frac{\pi}{4}$时的结果。

受保护_5

找到$w.$

解决方案：

逆时针旋转$\frac{\pi}{4}$对应复数 $[e^{\pi i/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}.]$ 因此， $[w - c = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) (z - c),]$ 所以\(\开始{对齐*} w &= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) (z - c) + c \\ &= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) (\sqrt{2} - 3i \sqrt{2}) + 2 - 3i \\ &= (4 - 2i) + 2 - 3i \\ &= \boxed{6 - 5i}。 \结束{对齐*}\)

答案：

$6 - 5i$

17.

问题：

计算：$1-2+3-4+5- \dots +99-100$。

解决方案：

$(1-2)+(3-4)+ \dots +(97-98)+(99-100) = 50(-1) = \boxed{-50}.$

答案：

-50

18.

问题：

下面是一些正常数 $a、$ $b、$ $c、$ 和 $d 的 $y = a \sin (bx + c) + d$ 的图形。$ 找到 $c 的最小可能值。$

受保护_6

解决方案：

我们看到图形在 $x = 0 处达到中点。$ 它也在 $x = 0 处递减。$y = \sin x$ 的图形首先在 $x = \pi$ 处达到中点（对于 $x$ 为正值）（并且在此时递减），因此 $c$ 的最小可能值为 $\boxed{\pi}.$

答案：

$\pi$

19.

问题：

$\overline{BC}$ 与经过 $A$ 的线段平行，且 $AB = BC$。 $x$ 代表的度数是多少？

受保护_7

解决方案：

角度 $\angle BCA$ 和我们要测量的角度是交替内角，因此它们是全等的。因此，$\angle BCA=x^\circ$：

受保护_8

由于$AB=BC$，我们知道$\三角形ABC$是等腰三角形，$C$和$A$的角度相等。因此，$\angle BAC = x^\circ$：

受保护_9

$A$ 处的三个角度之和为 $180^\circ$，因为它们形成直角。因此，\(124+x+x=180,\)我们可以求解得到$x=\boxed{28}$。

答案：

28

20.

问题：

设 $a$ 为正实数，使得 $[x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0]$ 是实数。求 $a.$ 的最小可能值

解决方案：

请注意，$x = -1$ 始终是 $x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0,$ 的根，因此我们可以分解 $x + 1,$ 得到 $[(x + 1) (x^2 + (a - 1) x + 1) = 0.]$ 二次因子有实根当且仅当其判别式为非负时： $[(a - 1)^2 - 4 \ge 0.]$ 这会简化为 $a^2 - 2a - 3 \ge 0,$ 因式分解为 $(a + 1)(a - 3) \ge 0.$ 满足此不等式的最小正值是 $\boxed{3}.$

答案：

3

21.

问题：

评估 $(1+2i)6-3i$。

解决方案：

分配6的因子并化简得到$(1+2i)6-3i=6+12i-3i=\boxed{6+9i}$。

答案：

$6+9i$

22.

问题：

找到小于 $(\sqrt{7} + \sqrt{5})^6.$ 的最大整数（不要使用计算器！）

解决方案：

让 $x = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ 和 $y = \sqrt{7} - \sqrt{5}.$

首先，我们可以将 $x = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ 和 $y = \sqrt{7} - \sqrt{5},$ 平方得到

请注意 $x^2$ 和 $y^2$ 是自由基共轭。另外， $x^2 y^2 = (12 + 2 \sqrt{35})(12 - 2 \sqrt{35}) = 12^2 - 2^2 \cdot 35 = 4,$ 所以 $[y^2 = \frac{4}{x^2} = \frac{4}{12 + 2 \sqrt{35}} < 1.]$ 那么 $[x^4 = (12 + 2 \sqrt{35})^2 = 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot 2 \sqrt{35} + 2^2 \cdot 35 = 284 + 48 \sqrt{35},]$ 和

那么 $y^6$ 是 $x^6,$ 的根共轭，因此 $y^6 = 6768 - 1144 \sqrt{35}.$ 因此， $[x^6 + y^6 = (6768 + 1144 \sqrt{35}) + (6768 - 1144 \sqrt{35}) = 13536.]$由于$0 < y^6 < 1，$小于$x^6$的最大整数是$\boxed{13535}。$

答案：

13535

23.

问题：德纳利和内特在一家遛狗公司工作，每遛狗一次就能获得报酬。 Denali 负责 16 美元的狗，Nate 负责 12 美元的狗。根据公司的新政策，他们将被分配或未分配的新狗以$x$狗为一组。如果 Denali 开始多遛 4x$ 美元的狗，而 Nate 保持 12$ 美元的狗，或者如果 Nate 的 $x$ 狗被重新分配给 Denali，Denali 的工资与 Nate 的工资比率将是相同的。如果 $x\neq0$ 则查找 $x$。

解决方案：

将句子“如果 Denali 开始多遛 $4x$ 的狗而 Nate 保持 $12$ 的狗，或者如果 $x$ 的 Nate 的狗被重新分配给 Denali”这句话重写为等式，我们有 $[\frac{16+4x}{12}=\frac{16+x}{12-x}.]$ 清除分母，

因为$x$ 不能是$0$，所以$x=\boxed{5}$。

答案：

5

24.

问题：

查找满足方程 $x = !\sqrt{11-2x} + 4$ 的 $x$ 的所有值。

解决方案：

我们首先分离出平方根，然后我们可以将两边平方来消除它。两边减去 4 得到 $x-4 = !\sqrt{11-2x}$。两边平方得到 $x^2 - 8x + 16 = 11-2x$，或 $x^2 -6x + 5=0$。因式分解给出 $(x-5)(x-1)=0$，因此 $x=5$ 或 $x=1$。因为我们对方程进行了平方，所以我们必须检查我们的解是否无关。对于 $x=5$，方程为 $5 = !\sqrt{11-10} + 4$，这是正确的。如果 $x=1$，则 $1 = !\sqrt{11-2} + 4$，这是不正确的，因此 $x=1$ 是无关的。因此，我们唯一的解决方案是$\boxed{x=5}$。

答案：

$x=5$

25.

问题：

一名工人的年工资为20,000，他总是在年底将其存入储蓄账户。到第三年年底（当他进行第三次存款时），他希望账户中至少有 66,200 美元用于购买房屋。储蓄账户必须提供的最低复利利率是多少？用百分比表达你的答案，但不要包含百分号。

解决方案：

如果利率为 $r$，则得出 \(20000(1+r)^2 + 20000(1+r) + 20000 \ge 66200。\) 如果我们设置 $x = 1+r$ 并将不等式除以 $200$，则得出 \(100x^2 + 100x - 231 \ge 0。\) 因为 $231 = 11 \cdot 21$，我们可以将二次因式分解为 $(10x - 11)(10x + 21) \ge 0$，因此可以得出 $x \ge \frac {11}{10}$ 或 $x \le \frac{-21}{10}$。由于我们正在寻找利率百分比，因此 $x \ge \frac{11}{10} = 1.1$ 和 $r = x - 1 = \boxed{10}\%$。

答案：

10

26.

问题：

函数$f$满足函数方程 $[f(x) + f(y) = f(x + y) - xy - 1]$ 对于所有实数 $x$ 和 $y.$ 如果 $f(1) = 1,$ 则查找所有整数 $n$ 使得 $f(n) = n.$ 输入所有此类整数，以逗号分隔。

解决方案：

设置 $x = y = 0,$ 我们得到 $[2f(0) = f(0) - 1,]$ 所以 $f(0) = -1.$

设置 $y = 1,$ 我们得到 $[f(x) + 1 = f(x + 1) - x - 1,]$ 所以 $[f(x + 1) - f(x) = x + 2.]$ 因此，

将所有方程相加，我们得到 $[f(n) - f(1) = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + 2(n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2} + 2n - 2 = \frac{n^2 + 3n - 4}{2},]$ 所以 $[f(n) = \frac{n^2 + 3n - 2}{2}]$ 对于所有正整数 $n.$设置 $x = -n$ 和 $y = n,$ 其中 $n$ 是正整数，我们得到 $[f(-n) + f(n) = f(0) + n^2 - 1.]$ 那么 $[f(-n) = n^2 - f(n) + f(0) - 1 = n^2 - \frac{n^2 + 3n - 2}{2} - 2 = \frac{n^2 - 3n - 2}{2}。]$ 因此，公式 $[f(n) = \frac{n^2 + 3n - 2}{2}]$ 对于所有整数 $n.$ 成立

我们想要求解 $f(n) = n,$ 或 $[\frac{n^2 + 3n - 2}{2} = n.]$ 那么 $n^2 + 3n - 2 = 2n,$ 或 $n^2 + n - 2 = 0.$ 因数为 $(n - 1)(n + 2) = 0,$ 因此解为 $n = \boxed{1,-2}.$

答案：

1,-2

27.

问题：

如果 3 美元的人 Pierre、Rosa 和 Thomas 中没有两个人可以坐在一起，那么 7 美元的人可以有多少种方式坐在圆桌旁？ （相互轮流的座位安排视为相同。）

解决方案：

皮埃尔坐下后，我们可以将罗莎安排在距离皮埃尔两个座位（即他们之间有一个座位）或距离皮埃尔三个座位。我们分别处理这两种情况：

案例 1：Rosa 距离 Pierre 两个座位。这样的座位有$2$。对于其中任何一个，一排都有四个空座位，罗莎和皮埃尔之间有一个空座位。托马斯可以坐在一排四个空座位中的中间两个座位上。因此，在这种情况下，有 $2\cdot 2 = 4$ 的方式让罗莎和托马斯就座。然后还剩下 4 美元的座位，其他人可以花 4 美元购买！ = 24$ 方式。因此，在这种情况下有 $4\cdot 24 = 96$ 个座位。

情况2：Rosa距离Pierre有3个座位（即他们之间有$2$座位）。这样的座位有$2$。托马斯不能坐在他们中间的任何一个$2$座位上，但罗莎坐下后，一排还有$3$的空座位，托马斯只能坐在这三个座位的中间。再次，还有$4$的空座位，剩下的$4$的人可以用$4坐在里面！ = 24$ 方式。因此，在这种情况下，我们有 $2\cdot 24 = 48$ 个座位。

将我们的两个案例加在一起，总共提供 96+48 = \boxed{144}$ 座位。

答案：

144

28.

问题：

数学俱乐部正在举办烘焙义卖活动，为即将到来的旅行筹集资金。他们以 1 美元的价格出售 54 块饼干，三块，20 块纸杯蛋糕，每块 2 美元，35 块布朗尼蛋糕，每块 1 美元。如果数学俱乐部花费 15 美元烘烤这些物品，他们的利润是多少？

解决方案：

为了求出利润，我们想要找出数学俱乐部通过销售各种烘焙食品赚了多少钱，并从我们得到的数字中减去生产这些食品的成本 15 美元。

首先我们来计算一下数学俱乐部卖饼干赚了多少钱。饼干的售价为 1 美元 3 个，因此数学俱乐部通过出售饼干赚取了 54 \div 3 \cdot 1 = 18$ 美元，即 18 美元。

接下来我们来计算一下俱乐部卖纸杯蛋糕赚了多少钱。以每个 2 美元的价格计算，俱乐部通过销售纸杯蛋糕赚取了 20\cdot 2=40$ 美元。

最后，我们来计算一下俱乐部通过出售布朗尼蛋糕赚了多少钱。以每块 1 美元的价格计算，俱乐部通过出售布朗尼蛋糕赚取了 35\cdot1=35$ 美元。

现在，我们将这些数字相加即可得出俱乐部的总收入，并从该数字中减去 15 美元即可得出俱乐部的利润。我们得到

请注意我们如何使用减法的定义 $a-b=a+(-b)$ 到 $35-15$ 为 $35+(-15)$ 以及加法的关联属性将数字分组在一起。

答案：

78

29.

问题：

绕原点逆时针方向旋转 $90^\circ$ 应用于 $7 + 2i。$ 结果复数是多少？

解决方案：绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 相当于乘以 $\operatorname{cis} 90^\circ = i.$

受保护_10

因此，$7 + 2i$ 的图像为 $i(7 + 2i) = \boxed{-2 + 7i}.$

答案：

$-2 + 7i$

30.

问题：

希腊军队有两种类型的士兵：上层士兵和下层士兵。如果雅典某个地区总共有 5 名上级士兵和 10 名下级士兵，而温泉关之战需要 4 名上级士兵和 8 名下级士兵的部队，那么可以派出多少个不同的营？

解决方案：

有 $\binom{5}{4}$ 种不同的方法可以从 5 名上层士兵中选择 4 名。对于每一个，都有 $\binom{10}{8}$ 种方法来选择 8 名低级士兵。那么，不同营的数量为 $\binom{5}{4}\cdot \binom{10}{8} = \boxed{225}$。

答案：

225

31.

问题：

求 $6_8 \cdot 7_8.$ 的乘积 以 $8.$ 为基数表达你的答案

解决方案：

相乘，我们看到 $6_8 \cdot 7_8 = 42_10 = 52_8.$ 写出来，

因此，答案是 $\boxed{52_8}.$

答案：

$52_8$

32.

问题：

化简$\sqrt{242}$。

解决方案：

将 242 因式分解为 $11^2 \cdot 2$。那么 $\sqrt{242} = \sqrt{11^2} \cdot \sqrt2 = \boxed{11\sqrt2}$。

答案：

$11\sqrt2$

33.

问题：

如果 Pierre、Rosa 和 Thomas 3 个人都想坐在一起，8 个人可以有多少种方式围坐在圆桌旁？ （如果一个座位与另一个座位轮换，则两个座位被视为相同。）

解决方案：

首先为皮埃尔、罗莎和托马斯选择三个连续的座位。我们选择哪三个连续座位并不重要，因为任何三个这样的座位都可以轮换到任何其他这样的座位。一旦选择了三个座位，就有 $3!$ 的方式让三个朋友坐在那里。另外五个座位是留给其他五个人的，所以有 $5!$ 的方式让他们坐下。答案是3美元！ \乘以5！ = \盒装{720}$。

答案：

720

34.

问题：

考虑几何序列 $\frac{125}{9}, \frac{25}{3}, 5, 3, \ldots$。数列的第八项是什么？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

连续项之间的公比为 $\frac{3}{5}$ （您可以选择任意两个连续项并将第二项除以第一项来找到公比）。因此序列的第 $n^\text{th}$ 项是 $\frac{125}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{n-1}$。代入$n=8$，我们得到\(\frac{125}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{7} = \frac{5^3}{3^2} \cdot \frac{3^7}{5^7} = \frac{3^5}{5^4} = \boxed{\frac{243}{625}}。\)

答案：

$\压裂{243}{625}$

35.

问题：

求 \(\left(10x^3-\frac{1}{2x^2}\right)^{5}\) 展开式中的常数项

解决方案：

为了获得常数项，$x$ 的指数必须取消。如果我们采用 2 个 $x^3$ 和 3 个 $\frac{1}{x^2}$ 的项，那么它们就会取消。根据二项式定理，此项为 \(\binom52 (10x^3)^2\left(-\frac{1}{2x^2}\right)^3=10\cdot100\cdot-\frac{1}{8}\cdot x^6\cdot\frac{1}{x^6}\)\(\Rightarrow \frac{1000}{-8}=\boxed{-125}\)

答案：

-125

36.

问题：

如果 $n \equiv 2 \pmod{7}$，则求 $(n + 2)(n + 4)(n + 6)$ 除以 7 的余数。

解决方案：

如果$n \equiv 2 \pmod{7}$，则$(n + 2)(n + 4)(n + 6) \equiv 4 \cdot 6 \cdot 8 \equiv 4 \cdot 6 \cdot 1 \equiv 24 \equiv \boxed{3} \pmod{7}$。

答案：

3

37.

问题：

求 $(x - 3)^3 + (x -7)^3 = (2x - 10)^3.$ 的根

解决方案：让 $a = x - 3$ 和 $b = x - 7.$ 然后我们可以将给定的方程写为 $[a^3 + b^3 = (a + b)^3.]$ 展开，我们得到 $a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,$ 所以 $3a^2 b + 3ab^2 = 0,$ 因数为 $[3ab(a + b) = 0.]$ 因此，$a = 0,$ $b = 0,$ 或 $a + b = 0.$ 然后 $x - 3 = 0,$ $x - 7 = 0,$ 或 $2x - 10 = 0.$ 这给了我们根 $\boxed{3, 5, 7}.$

答案：

3、5、7

38.

问题：

正五边形绕其中心逆时针旋转。直到与原始位置重合之前必须旋转的最小度数是多少？

解决方案：

五个标记角度中的每一个的测量值为 $360/5=72$ 度，因此 $\boxed{72}$ 度是五边形可以旋转以使其与其原始位置重合的最小角度。

受保护_11

答案：

72

39.

问题：

如果一罐零食大小的桃子含有 $40$ 卡路里，占一个人每日热量需求的 $2\%$，那么多少卡路里可以满足一个人每日的热量需求？

解决方案：

如果 40 卡路里等于一个人每日需求量 $2\%=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$，那么一个人每日热量需求量为： \(40\cdot 50=\boxed{2000}\)

答案：

2000年

40.

问题：

6432和132的最大公因数增加11，结果是什么？

解决方案：

我们首先认识到$132=11\times 12$，所以它的质因数分解是$132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$。我们只需要看看这三个质因数是否能分成 6432 美元。事实上，$6432$ 将满足 $3$ 和 $4$ 的整除性，并且我们可以长除以发现 $11$ 不能整除 $6432$。因此，最大公因数是 $3 \times 4 = 12$。加 11 的最大公因数是 $12+11 = \boxed{23}$。

答案：

23

41.

问题：

正八边形的周长与此处所示的边长 16 厘米的正六边形相同。八边形的每条边长是多少？

受保护_12

解决方案：

六边形的边长为 16 厘米，因此其周长为 $16\times 6 = 96$ 厘米。由于八边形和六边形的周长相同，因此八边形每条边的长度为 $96/8 = \boxed{12}$ 厘米。

答案：

12

42.

问题：

平行四边形的坐标为 (5, 3)、(6, 8)、(7, 4) 和 $(x, y)$ 且 $x > 7$。 $x + y$ 的值是多少？

解决方案：

将点命名为 $A(5,3)$、$B(6,8)$、$C(7,4)$ 和 $D(x,y)$ 并绘制前三个点。我们发现 $D$ 存在三个可能的位置（见图）。只有右边那个的 $x$ 坐标大于 7。由于 $AC$ 与 $BD$ 平行且长度相等，因此 $D$ 向右两个单位且比 $B$ 向上一个单位，就像 $C$ 向右两个单位且比 $A$ 向上一个单位一样。因此，$D$的坐标为$(8,9)$，$x+y=8+9=\boxed{17}$。

受保护_13

答案：

17 号

43.

问题：

$-4 < 2(x - 1) < 8$ 的解以 $a < x < b$ 的形式表示。求 $a + b$ 的值。

解决方案：

因为眼前的一切都是偶数，所以我们应该首先除以 2。得到 $[-2<x-1<4.]$ 为了隔离 $x$，我们加 1，所以 $[-1<x<5.]$ 由于 $a=-1$ 和 $b=5$，我们得到 $a+b=-1+5=\boxed{4}$。

答案：

4

44.

问题：

对于 $0 \le x \le 40$ 和 $0 \le y \le 50,$ 求最小值 $[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{x^2 + y^2 - 80x - 100y + 4100}。]$

解决方案：

完成 $x$ 和 $y,$ 的平方，表达式变为 $[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(x - 40)^2 + (y - 50)^2} = \sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(40 - x)^2 + (50 - y)^2}。]$通过 QM-AM，\(\开始{对齐*} \sqrt{\frac{x^2 + 400}{2}} &\ge \frac{x + 20}{2}, \\ \sqrt{\frac{y^2 + 900}{2}} &\ge \frac{y + 30}{2}, \\ \sqrt{\frac{(40 - x)^2 + (50 - y)^2}{2}} &\ge \frac{(40 - x) + (50 - y)}{2}, \结束{对齐*}\)

所以

当 $x = 20$ 且 $y = 30,$ 时相等，因此最小值为 $\boxed{70 \sqrt{2}}。$

答案：

$70 \sqrt{2}$

45.

问题：

比尔向南步行 $\frac{1}{2}$ 英里，然后向东 $\frac{3}{4}$ 英里，最后向南 $\frac{1}{2}$ 英里。他距起点有多少英里？将您的答案表达为精确到百分位的小数。

解决方案：

左图显示了比尔行走的路径。正如右图所示，他也可以从 $A$ 步行到 $B$，方法是首先向南步行 1 英里，然后向东 $\frac{3}{4}$ 英里。

受保护_14

根据勾股定理，$[(AB)^2=1^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16},]$ 因此 $AB=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ 或 $\boxed{1.25}$。

答案：

1.25

46.

问题：

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，我们有 $\sin A = 2\cos A$。 $\tan A$ 是什么？

解决方案：

三角形如下图所示：

受保护_15

我们有 $\sin A = \frac{BC}{AC}$ 和 $\cos A = \frac{AB}{AC}$，因此 $\sin A = 2\cos A$ 给出 $\frac{BC}{AC} = 2\cdot\frac{AB}{AC}$。两边同时乘以 $AC$ 得到 $BC = 2AB$，因此 $\frac{BC}{AB} = 2$。最后，我们有 $\tan A = \frac{BC}{AB} = \boxed{2}$。

我们还可以注意到 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{2\cos A}{\cos A } =\boxed{2}$。

答案：

2

47.

问题：

使得 $z^4 + z^2 + 1 = 0$ 的所有根都是 $n^{\text{th}}$ 单位根的最小正整数 $n$ 是多少？

解决方案：

将方程 $z^4 + z^2 + 1 = 0$ 乘以 $z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)$，得到 $z^6 - 1 = 0$。因此，$z^4 + z^2 + 1 = 0$ 的每个根都是六次单位根。

六次单位根为 $e^{0}$、$e^{2 \pi i/6}$、$e^{4 \pi i/6}$、$e^{6 \pi i/6}$、$e^{8 \pi i/6}$ 和 $e^{10 \pi i/6}$。我们看到 $e^{0} = 1$ 且 $e^{6 \pi i/6} = e^{\pi i} = -1$，因此 $[z^4 + z^2 + 1 = 0]$ 是剩余的六次单位根，即 $e^{2 \pi i/6}$、$e^{4 \pi i/6}$、$e^{8 \pi i/6}$ 和 $e^{10 \pi i/6}$。复数 $e^{2 \pi i/6}$ 是原六次单位根，因此根据定义，使得 $(e^{2 \pi i/6})^n = 1$ 的最小正整数 $n$ 为 6。因此，$n$ 的最小可能值为 $\boxed{6}$。

答案：

6

48.

问题：

$f(x)=\frac{2x}{x^2-5x-14}$ 的图具有垂直渐近线 $x=a$ 和 $x=b$，以及水平渐近线 $y=c$。找到$a+b+c$。

解决方案：

垂直渐近线出现在分母为 0 的 $x$ 值处。我们可以将分母分解为 $(x-7)(x+2)$，因此当 $x=7$ 或 $x=-2$ 时，分母等于 0。这些 $x$ 值是我们的垂直渐近线所在的位置。

对于水平渐近线，我们查看分子和分母中 $x$ 的次数。分子的次数为 1，分母的次数为 2，因此对于较大的 $x$ 值，分母比分子增长得更快，并且函数接近水平渐近线 $y=0$。我们还可以看到，当我们将 $x$ 除以分子和分母时，我们得到 $[\frac{2x}{x^2 - 5x - 14} = \frac{\frac{2x}{x}}{\frac{x^2-5x-14}{x}}=\frac{2}{x-5-\frac{14}{x}}。]$ 随着 $x$ 接近无穷大或负无穷大，表达式接近 0。

所以，我们的答案是 $7 + (-2) + 0 = \boxed{5}$。答案：

5

49.

问题：

4的多少次方等于8？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

我们被要求解 $4^x=8$ 为 $x$。将 $4$ 写为 $2^2$，将 $8$ 写为 $2^3$，则方程变为 $(2^2)^x=2^3$。左边简化为$2^{2x}$，因此我们可以将指数设置为等于$2x=3$，这意味着$x=\boxed{\frac{3}{2}}$。

答案：

$\frac{3}{2}$

50。

问题：

$3x-9$ 的价值的一半是 $x+37$。 $x$ 的价值是多少？

解决方案：

我们将问题转化为方程 $\frac{1}{2}(3x-9) = x+37$。两边都乘以 2，得到 $3x-9 = 2x+74$。两边减去 $2x$ 得到 $x-9 = 74$。两边加上 $9$ 得到 $ x = \boxed{83}$。

答案：

83

51.

问题：

你有七袋金币。每个袋子里有相同数量的金币。有一天，你发现一袋 53 个硬币。您决定重新分配您拥有的硬币数量，以便您持有的所有八个袋子都有相同数量的硬币。您成功地重新分配了所有硬币，并且您还注意到您拥有超过 200 个硬币。在找到装有 53 个硬币的袋子之前，您最少可以拥有多少枚硬币？

解决方案：

如果原来的 7 个袋子里每一个都有 $b$ 金币，那么 $7b+53$ 就能被 8 整除。换句话说，$7b + 53 \equiv 0 \pmod{8}$。由于 $53 \equiv 5 \pmod{8}$ 和 $7 \equiv -1 \pmod{8}$，我们有 $-b \equiv -5 \pmod{8}$。两边都乘以 $-1$，我们得到 $b \equiv 5 \pmod{8}$。现在，我们想要 $7b + 53 > 200$，因此，$b > \frac{200-53}{7} \ 意味着 b > 21$。因此，我们需要一个大于 21 的整数，除以 8 后余数为 5。最小的整数是 29，因此在找到装有 53 个硬币的袋子之前，您有 $29 \cdot 7 = \boxed{203}$ 硬币。

答案：

203

52.

问题：

求 $x^6 - 3$ 除以 $x + 1 所得的商。$

解决方案：

我们可以进行长除法。或者，根据余数定理，除法的余数为 $(-1)^6 - 3 = -2.$ 因此，我们可以写

因此，商为 $\boxed{x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1}.$

答案：

$x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$

53.

问题：

简化：$\frac{\sqrt{2.5^2-0.7^2}}{2.7-2.5}$。

解决方案：

我们有

答案：

12

54.

问题：

计算 $\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right).$ 以弧度表示你的答案。

解决方案：

由于 $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2},$ $\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = \boxed{-\frac{\pi}{6}}.$

答案：

$-\frac{\pi}{6}$

55.

问题：

将 $\frac{3}{20}$ 写为小数。

解决方案：

将分子和分母乘以 5 得到 $3/20=15/100 = \boxed{0.15}$。

答案：

0.15

56.

问题：

假设 $f$ 是一个多项式，使得 $[(x-1)\cdot f(x)=3x^4+x^3 - 25x^2 +38x -17.]$ $f$ 的次数是多少？

解决方案：

由于 $f$ 与 1 次多项式的乘积等于 4 次多项式，因此我们知道 $f$ 是 $4-1=\boxed{3}$ 次多项式。

答案：

3

57.

问题：前$N$个正奇数的和是121。$N$的值是多少？

解决方案：

前 $N$ 个正奇数是 1、3、$\dots$、$2N - 1$。算术级数的总和等于第一项和最后一项的平均值乘以项数，因此前 $N$ 个正奇整数的总和为 $[\frac{1 + (2N - 1)}{2} \cdot N = N^2.]$ 如果 $N^2 = 121$，则 $N = \boxed{11}$。

答案：

11

58.

问题：

林戈正在用绳子拴住一只不听话的小狗。林戈决定在骑在狗狗后面之前计算 $[\left|(1-i)^8\right|]$ 来给狗狗一个缓刑。林戈应该找到什么答案？

解决方案：

我们知道复数的大小是乘法的：$\left|ab\right|$ 的大小是$\left|a\right|\cdot \left|b\right|$ 的乘积。因此， $[\left|(1-i)^8\right|=\left|1-i\right|^8]$ $1-i$ 的大小为 $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$；因此我们的答案是$\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$。林戈并没有给予太多的缓刑。

答案：

16

59.

问题：

在头脑中计算 $99^2+99+1$。

解决方案：

分解前两项，我们有：

$99^2+99+1=99(99+1)+1=99\cdot 100+1=9900+1=\盒装{9901}$。

答案：

9901

60。

问题：

在一个 50 名学生的班级中，28 名学生参加 MATHCOUNTS，21 名学生参加科学俱乐部，还有 6 名学生两者都不参加。有多少学生同时参加 MATHCOUNTS 和科学俱乐部？

解决方案：

在参加 MATHCOUNTS 或科学俱乐部的 $50-6=44$ 学生中，$44-28=16$ 学生不参加 MATHCOUNTS。所有这 16 名学生都只参加科学俱乐部。其他 $21-16=\boxed{5}$ 科学俱乐部参与者也参加 MATHCOUNTS。

答案：

5

61.

问题：

多项式 $x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 是 $x^9 + px^6 + qx^3 + r 的因式。$ 输入有序三元组 $(p,q,r)。$

解决方案：

令 $\alpha$ 为 $x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0,$ 所以 $\alpha^3 = 3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1.$ 那么 $[\alpha^4 = 3 \alpha^3 - 4 \alpha^2 + \alpha = 3 (3 \alpha^2 - 4 \alpha + 1) - 4 \alpha^2 + \alpha = 5 \alpha^2 - 11 \alpha + 3.]$ 因此，

和

然后

我们希望这个值减少到 0，所以我们设置

求解，我们发现 $(p,q,r) = \boxed{(6,31,-1)}.$ 对于这些值，$\alpha^9 + p \alpha^6 + q \alpha^3 + r$ 对于 $x^3 - 3x^2 + 4x - 1,$ 的任何根 $\alpha$ 都会减少到 0，因此 $x^9 + px^6 + qx^3 + r$ 将被 $x^3 整除 - 3x^2 + 4x - 1.$

答案：

(6,31,-1)

62.

问题：

对于一些实数 $a$ 和 $b$，方程 $[ 8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0 ]$ 具有三个不同的正根。如果根的以 2 为底的对数之和为 5，则 $a$ 的值为多少？

解决方案：设 $r_1、r_2$ 和 $r_3$ 为根。然后$[ 5= \log_2r_1 + \log_2 r_2 + \log_2 r_3 = \log_2r_1r_2r_3, ]$ 所以$r_1r_2r_3 = 2^5 = 32$。由于$[ 8x^{3}+4ax^{2}+2bx+a=8(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3), ]$ 由此可知 $a = -8r_1r_2r_3= \boxed{-256}$。

答案：

-256

63.

问题：

找到最小的正实数$C$，其中 $[\左| \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 0 & -2 \end{pmatrix} \mathbf{v} \right| \le C \left|\mathbf{v}\right|]$ 对于所有二维向量 $\mathbf{v}.$

请注意，对于二维向量 $\mathbf{a}，$ $\left|\mathbf{a}\right|$ 是 $\mathbf{a} 的大小。$

解决方案：

让$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$。然后 $[\左|\mathbf{v}\右| = \left|\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right| = \sqrt{x^2 + y^2},]$ 和

因此给定的不等式变为 $[\sqrt{4x^2 + 12xy + 13y^2} \le C \sqrt{x^2 + y^2},]$ 或 $[\sqrt{\frac{4x^2 + 12xy + 13y^2}{x^2 + y^2}} \le C.]$ 因此，我们可以将 $C$ 视为表达式中的最大值左侧。

最大化左侧的表达式相当于最大化其平方，即 $[\frac{4x^2 + 12xy + 13y^2}{x^2 + y^2}.]$ 令 $k$ 为该表达式的可能值，即方程 $[\frac{4x^2 + 12xy + 13y^2}{x^2 + y^2} = k]$ 在 $x$ 和 $y$ 中有解。我们可以将这个方程重写为 $[(4 - k) x^2 + 12xy + (13 - k) y^2 = 0.]$ 要使此二次表达式在 $x$ 和 $y$ 中有解，其判别式必须为非负。换句话说， $[12^2 - 4 (4 - k)(13 - k) \ge 0,]$ 或 $4k^2 - 68k + 64 \le 0$。这种不等式因式为 $4(k - 1)(k - 16) \le 0$。满足这个不等式的$k$的最大值是16，所以我们求的$C$的值为$\sqrt{16} = \boxed{4}$。请注意，相等发生于 $[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}.]$

答案：

4

64.

问题：

让 $[x^8 + 3x^4 - 4 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),]$ 其中每个非常数多项式 $p_i(x)$ 是带有整数系数的单调函数，并且不能对整数进行进一步分解。计算 $p_1(1) + p_2(1) + \dots + p_k(1).$

解决方案：

首先，我们可以将 $x^8 + 3x^4 - 4$ 分解为 $(x^4 - 1)(x^4 + 4).$ 然后 $[x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1),]$ 由 Sophie Germain 编写， $[x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2).]$ 因此，完整分解为 $[x^8 + 3x^4 - 4 = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2).]$评估$x = 1,$处的每个因子，我们得到$2 + 0 + 2 + 5 + 1 = \boxed{10}.$

答案：

10

65.

问题：

存在常量 $a$、$b$、$c$ 和 $d$，使得 $[(\sin x)^7 = a \sin 7x + b \sin 5x + c \sin 3x + d \sin x]$ 对于所有角度 $x$。找到$d$。

解决方案：

我们有那个 $[\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i},]$ 因此根据二项式定理， \(\开始{对齐*} \sin^7 x &= \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right)^7 \\ &= \frac{1}{128i^7} (e^{7ix} - 7 e^{5ix} + 21 e^{3ix} - 35 e^{ix} + 35 e^{-ix} - 21 e^{-3ix} + 7e^{-5ix} - e^{-7ix}) \\ &= \frac{i}{128} [(e^{7ix} - e^{-7ix}) - 7(e^{5ix} - e^{-5ix}) + 21(e^{3ix} - e^{-3ix}) - 35(e^{ix} - e^{-ix})] \\ &= \frac{i}{128} (2i \sin 7x - 14i \sin 5x + 42i \sin 3x - 70i \sin x) \\ &= -\frac{1}{64} \sin 7x + \frac{7}{64} \sin 5x - \frac{21}{64} \sin 3x + \frac{35}{64} \sin x。 \end{align*}\) 因此，我们寻找的常数$d$ 是$\boxed{\frac{35}{64}}$。

回答：$\压裂{35}{64}$

66.

问题：

$1^{(2^{235423523})}$ 是什么？

解决方案：

1 的任意幂都是 1，所以我们的答案是 $\boxed{1}.$

答案：

1

67.

问题：

完全扩展和简化：

解决方案：

首先在最里面的括号中进行分配：

现在，再次分发：

最后，结合同类项可得

答案：

$x^3+3x-6$

68.

问题：

正方形的两条相对边的长度减少$40\%$，而另外两条边的长度增加$50\%$，形成一个矩形。正方形面积减少百分之几？

解决方案：

令$A$ 为正方形的面积。一对相对边的长度减少了 $40\%$，因此面积变为 $.6A$。另一对边增加了 $50\%$，因此面积变为 $1.5\cdot .6 A = .9A$。因此，面积减少了 $\boxed{10}$%。

答案：

10

69.

问题：

对于 $x 的某个值，$ $0 < x < 180，$ $[\tan 53^\circ \tan 81^\circ \tan x^\circ = \tan 53^\circ + \tan 81^\circ + \tan x^\circ.]$ 查找 $x.$

解决方案：

分离 $\tan x^\circ,$ 我们发现

由角度加法公式可知，这等于 $[-\tan (53^\circ + 81^\circ) = -\tan 134^\circ = \tan 46^\circ.]$ 因此，$x = \boxed{46}.$

答案：

46

##70。

问题：

令 $z$ 为复数，使得 $z^5 = 1$ 且 $z \neq 1.$ 计算 $[z + \frac{1}{z} + z^2 + \frac{1}{z^2}.]$

解决方案：

由于 $z^5 = 1,$ $z^5 - 1 = 0,$ 因数为 $[(z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0.]$ 由于 $z \neq 1,$ $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0.$

然后 $[z + \frac{1}{z} + z^2 + \frac{1}{z^2} = \frac{z^3 + z + z^4 + 1}{z^2} = \frac{-z^2}{z^2} = \boxed{-1}。]$

答案：

-1

71.

问题：

计算 $58_9 - 18_9.$ 以 $9.$ 为底数表达你的答案

解决方案：

这个减法相当简单：我们只需减去相应的数字即可。不发生借用：

因此，答案是 $\boxed{40_9}.$

答案：

$40_9$

72.

问题：

二进制数 $10101001110_{2}$ 等于八进制的哪个数？

解决方案：

由于 $2^3=8$，我们可以通过将基数 2 中的每个三位数块替换为基数 8 中的等效值来在基数 2 和基数 8 表示之间进行转换。在这种情况下，我们首先注意到最后三位数字的价值为 $110_2=6_8$。

下一个三位数块是 001₂=1₈。继续，我们发现接下来的两位数字（从右向左移动）是 101₂=5₈ 和 010₂=2₈。总而言之，我们发现 10101001110₂=2516₈。

答案：

$2516_8$

73.

问题：

体积和表面积（分别以立方单位和平方单位表示）在数值上相等的球体的半径长度（单位）是多少？

解决方案：

球体的体积为 $\frac{4}{3}\pi r^3$，表面积为 $4\pi r^2$，因此 $[\frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^2.]$ 我们可以将两边除以 $4 \pi r^2$，得到 $[\frac{1}{3} r = 1.]$ 因此，$r = \boxed{3}.$

答案：

3

74.

问题：对于正整数 $a$ 和 $b$，运算 $\&$ 定义为 $a \& b = \displaystyle\frac{\sqrt{a b + a}}{\sqrt{a b - b}}$。 9 美元\& 2 美元的价值是多少？用最简单的根式形式将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

我们有 $9\&2 = \frac{\sqrt{(9)(2)+9}}{\sqrt{(9)(2)-2}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{16}} = \boxed{\frac{3\sqrt{3}}{4}}。$

答案：

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

75.

问题：

简化 $[\frac{\sec x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}.]$

解决方案：

我们可以写

答案：

$\cot x$

76.

问题：

掷出两个公平的 6 面骰子。两个数的乘积是 5 的倍数的概率是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

概率问题有时是通过计算事件不会发生的方式然后减去来回答的。在此问题中，$1$、$2$、$3$、$4$ 和 $6$ 面配对以创建 $5 \times 5 = 25$ 数字对，其乘积不是 5 的倍数。这使得 $36 - 25 = 11$ 可以得到 $5$ 的倍数，因此概率为 $\boxed{\frac{11}{36}}$。

答案：

$\frac{11}{36}$

77.

问题：

如果函数$\log x^2$的定义域是$x < a$或$x > b$，对于某些$a$和$b$，找到$a + b$。

解决方案：

为了定义 $\log x^2$，我们必须让 $x^2 > 0$。对于所有 $x$ 都是如此，除了 $x = 0$ 之外。由此可见，该函数的定义域是 $x < 0$ 或 $x > 0$。因此，我们的答案是 $0 + 0 = \boxed{0}$。

答案：

0

78.

问题：

如果$2^8=4^x$，$x$的值是多少？

解决方案：

将 $4$ 重写为 $2^2$ 即可找到 $4^x=2^{2x}$。由于 $2^8=2^{2x}$，我们有 $2x=8$，这意味着 $x=\boxed{4}$。

答案：

4

79.

问题：

让 $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1.$ 存在实数 $a \neq 0$ 和 $b,$ 使得 $[f(x) - f(a) = (x - a)^2 (x - b).]$ 输入有序对 $(a,b).$

解决方案：

根据余数定理，$f(x) - f(a)$ 可以被 $x - a,$ 整除，因此我们可以相应地取出 $x - a$ 的因子：

因此，我们想要$[x^2 + (a + 3) x + a^2 + 3a = (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b) x + ab。]$匹配系数，我们得到

由于 $a \neq 0,$ 我们可以将第二个方程两边同时除以 $a,$ 得到 $a + 3 = b.$ 然后 $-a - b = b,$ 所以 $a = -2b.$ 然后 $[-2b + 3 = 2b - b,]$ 得出 $b = 1$。那么 $a = -2,$ 所以 $(a,b) = \boxed{(-2,1)}.$

答案：

(-2,1)

80。

问题：

$x$ 的值是 $2^3\cdot3^x=72$？

解决方案：

由于 72 的质因数分解为 $72=2^3\cdot 3^2$，因此我们有 $x=\boxed{2}$。

答案：

2

81.

问题：

求闭区间 $[-500,500]$ 中 $k$ 的整数值的数量，其中方程 $\log(kx)=2\log(x+2)$ 恰好有一个实数解。

解决方案：

首先，请注意，如果 $k < 0,$ 则 $\log(kx)$ 被定义为 $x \in (-\infty, 0),$ 并且在该区间上严格递减。由于 $2\log(x+2)$ 是为 $x \in (-2, \infty)$ 定义的，并且在该区间上严格递增，因此 $\log(kx) = 2\log(x+2)$ 恰好有一个实数解，该解必须位于区间 $(-2, 0)$ 内。因此，所有值 $k = -500, -499, \dots, -2, -1$ 满足条件。如果 $k = 0,$ 则左侧从未定义，所以我们现在可以假设 $k > 0.$ 在这种情况下，转换为指数形式，我们有 $[ kx = (x+2)^2]$ 或 $[x^2 + (4-k)x + 4 = 0.]$ 该方程的任何解也满足 $\log(kx) = 2\log(x+2)$，只要两个定义对数；由于 $k > 0,$ 当 $x > 0 时精确定义对数。$ 因此，该二次方程必须恰好有一个正根。

但根据 Vieta 的公式，这个二次方程的根的乘积是 $4,$，它是正数，因此它只有一个正根的唯一方法是它有 $\sqrt{4} = 2$ 作为双根。也就是说，$[x^2 + (4-k)x + 4 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4]$ 对于所有 $x,$，因此 $4-k=-4,$ 和 $k=8,$ 这是 $k$ 满足条件的唯一正值。

总共有 $500 + 1 = \boxed{501}$ 个 $k$ 值满足条件。

答案：

501

82.

问题：

十棵树的重量相当于三只史奎格和一棵古力。两棵树和一棵古利的重量等于一棵史奎格。多少棵树的总重量等于一棵鱿鱼的重量？

解决方案：

令 $t,s,g$ 分别为一棵树的重量、一棵鱿鱼的重量和一棵古利的重量。那么给定的信息告诉我们

由于我们想用 $t$ 来求解 $s$，因此我们希望消除 $g$。将两个方程相加得到

因此，一只鱿鱼重 $\boxed{3}$ 树。

答案：

3

83.

问题：

点 $A$ 位于正方形内或正方形上的某处，其对角为 $(0,0)$ 和 $(2,2)$。点 $B$ 位于正方形内或正方形上的某处，该正方形的对角点为 $(4,2)$ 和 $(5,3)$。包含点 $A$ 和 $B$ 的直线斜率的最大可能值是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

由于点 $A$ 被限制在一个边与轴平行的矩形区域内，因此它的 $x$ 和 $y$ 坐标可以彼此独立地选择。 $B$点也是如此。因此，$A$ 和$B$ 之间的水平间隔应最小化，垂直间隔应最大化。 $B$ 的最大可能的 $y$ 坐标为 3，$A$ 的最小可能的 $y$ 坐标为 0。$A$ 的最大可能的 $x$ 坐标为 2，$B$ 的最小可能的 $x$ 坐标为 4。因此，当 $A$ 的坐标为 (2,0) 而 $B$ 的坐标为 (4,3) 时，$A$ 和 $B$ 之间的斜率最大。最大坡度为 $\boxed{\frac{3}{2}}$。

答案：

$\frac{3}{2}$

84.

问题：

求解 $x：3^{2x} + 19 = 10^x$。

解决方案：

将$3^{2x}$重写为$(3^2)^x=9^x$，两边减去$9^x$，得到$19=10^x-9^x$。对于 $x\leq 0$，该方程没有解，因为如果 $x\leq 0$，$10^x$ 和 $9^x$ 都不大于 1。尝试 $x=1$、$x=2$ 和 $x=3$，我们发现当 $x>0$ 时，$10^x-9^x$ 正在增加，当 $x=\boxed{2}$ 时，它等于 19。

注意：使用微积分，我们可以证明 $10^x-9^x$ 对于 $x>0$ 是单调递增的，这将证明我们找到的解决方案是唯一的。

答案：

2

85.

问题：

$3t^2+5t+a$ 和 $4t^2+bt-2$ 的乘积为 $12t^4+26t^3-8t^2-16t+6$。什么是$a+b$？

解决方案：

两个多项式乘积的常数项就是两个常数项的乘积。因此我们知道$6=-2a$，所以$a=-3$。我们现在考虑多项式乘积的线性项。由 $-16t=(5t\cdot-2)+a\cdot bt\longrightarrow-16t=-10t+(-3)bt\longrightarrow b=2$ 给出。因此我们的答案是$a+b=\boxed{-1}$。

答案：

-1

—## 86.

问题：

一个带有圆形底座的直立圆柱形水箱正在以每小时 20\pi$ 立方米的速度注水。当水箱注满时，水位每小时上升四米。水箱的半径是多少（米）？用最简单的激进形式表达你的答案。

解决方案：

水的体积每小时增加 20\pi$ 立方米，而水箱中水的高度每小时上升 4 米。右圆柱体的体积为$\pi r^2h$。如果我们观察一小时内体积和高度的变化，我们就可以求解出半径。

由于半径必须为正，$r=\boxed{\sqrt{5}}$ 米。

答案：

$\sqrt{5}$

87.

问题：

你有 5 件衬衫、6 条裤子和 8 顶帽子。由一件衬衫、一条裤子和一顶帽子组成，你可以制作多少套衣服？

解决方案：

衬衫有 5 种选择，裤子有 6 种选择，帽子有 8 种选择，总共 $5 \times 6 \times 8 = \boxed{240}$ 服装。

答案：

240

88.

问题：

找到满足方程 $\left|5x-1\right|=x+3$ 的 $x$ 的最大值。

解决方案：

我们可以将表达式 $\left|5x-1\right|=x+3$ 拆分为两个单独的情况。在第一种情况下，

如果我们将 $x$ 的值插回到原始方程中以检查我们的答案，我们会看到 $\left|5(1)-1\right|=1+3$ 或 $4=4$。既然这是真的，我们可以接受 $x=1$ 作为有效的解决方案。

在第二种情况下，

如果我们将 $-\frac13$ 代入初始方程，我们得到 $\left|5(-\frac13)-1\right|=-\frac13+3$，它简化为 $\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$ 或 $\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。由于这也是一个正确的陈述，因此我们也可以接受 $x=-\frac13$ 作为有效的解决方案。由于 $x=1$ 和 $x=-\frac13$ 都是 $x$ 的可能值，因此最终答案是两者中较大的一个：$x=\boxed{1}$。

答案：

1

89.

问题：

考虑函数 $[ f(x) = $$\开始{案例} ax^2 & \text{if } x \geq a,
ax +2a& \text{如果 } x <a, \结束{案例} ]$ 其中 $a$ 是某个数字。

使得 $y=f(x)$ 的图形与每条水平线至少相交一次的 $a$ 的最大值是多少？

解决方案：

对于 $x < a,$，$y = f(x)$ 的图形与 $y = ax+2a,$ 的图形相同，$y = ax+2a,$ 是一条斜率为 $a$ 且经过点 $(a, a^2+2a) 的直线。$对于 $x \ge a,$ $y = f(x)$ 的图形与 $y = ax^2,$ 的图形相同，$y = ax^2,$ 是经过点 $(a, a^2+2a) 的抛物线， a^3).$

请注意，抛物线只取非负值。因此，图表的直线部分必须具有正斜率，因为它必须与位于 $x-$ 轴下方的水平线相交。因此，$a > 0.$

对于 $a > 0,$ 图形的直线部分穿过所有高度小于或等于 $a^2+2a,$ 的水平线，并且图形的抛物线部分穿过所有高度大于或等于 $a^3 的水平线。$ 因此，当且仅当 $[a^2 + 2a \ge a^3.]$ 因为 $a > 0,$ 我们可以除以 $a$ 得到 $[a + 2 \ge a^2,]$ 所以 $0 \ge a^2 - a - 2 = (a-2) ( a+1).$ 这意味着 $-1 \le a \le 2,$ 所以 $a$ 的最大可能值为 $\boxed{2}.$

$a = 2$ 的 $y = f(x)$ 的图形如下所示（未按比例）；注意抛物线和直线如何交于一点：

受保护_16

答案：

2

90。

问题：

求 $3339$、$2961$ 和 $1491$ 的最大公约数。

解决方案：

我们可以执行欧几里得算法两次。

首先，我们使用它的价格为 3339 美元和 2961 美元。

由于 $63$ 是 $315$ 的约数，因此 $3339$ 和 $2961$ 的最大公约数是 $63$。

接下来，我们可以找到 $63$ 和 $1491$ 的最大公约数，同样使用欧几里得算法。

由于 $63=3 \cdot 21$ 和 $42=2 \cdot 21$，最大公约数是 $\boxed{21}$。

答案：

21

91.

问题：

Remmy 想要将 $10$ 除以 $\frac{2}{3}$，但他不记得该怎么做。他应该将 $10$ 乘以什么数字才能得到答案？

解决方案：

请记住，除以分数与乘以分数的倒数是一样的。 $\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\boxed{\frac{3}{2}}$，因此这就是 Remmy 应该乘以的值。

答案：

$\frac{3}{2}$

92.

问题：

给定 $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$，$x$ 使得 $f(x)$ 具有实数值的最小可能整数值是多少？

解决方案：

为了使 $f(x)$ 具有实数值，分子平方根内的表达式必须为非负且分母不能为 0。因此我们有两个条件 $x-1\ge0 \Rightarrow x \ge 1$ 和 $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$。我们看到 $x=\boxed{1}$ 是满足这两个条件的最小整数值。

答案：

1

93.

问题：

一名海盗在七个岛屿上搜寻埋藏的宝藏。如果每个岛屿都有 $\frac{1}{5}$ 拥有宝藏的机会，那么正好有 4 个岛屿拥有宝藏的概率是多少？

解决方案：

有 $\binom{7}{4}=35$ 种方法可以选择其中 4 个岛屿。对于每个选择，这 4 个岛屿有宝藏而其他岛屿没有的概率为 $\left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^3$。因此，其中 4 个岛屿拥有宝藏的总概率为 $35 \left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \boxed{\frac{448}{15625}}$。

答案：

$\frac{448}{15625}$

94.

问题：

对于 $c$ 的值，方程 $x^2 - 10x + y^2 + 6y + c = 0$ 的圆的半径长度为 1？

解决方案：

完成平方得到 $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 34 - c$。由于我们希望半径为 1，因此必须有 $34 - c = 1^2$。由此可知 $c = \boxed{33}$。

答案：

33

95.

问题：

在四边形 $ABCD$ 中，角 $BAD$ 和角 $CDA$ 被三等分，如图所示。角 $AFD$ 的度数是多少？

受保护_17

解决方案：

三角形 $AFD$ 的总角度必须为 $180^\circ$。我们知道其他两个角度的尺寸为 $2x$ 和 $2y$，因此角度 $AFD$ 的尺寸必须为 $180-2x-2y=180-(2x+2y)$ 度。现在我们看一下四边形 $ABCD$，其内角总和必须为 $360^\circ$。因此，我们有 $110^\circ +100^\circ +3y+3x=360^\circ$，所以 $3x+3y=150^\circ$。我们想要找到 $2x+2y$，因此我们将等式两边乘以 $2/3$，得到 $2x+2y=100^\circ$。现在我们可以用 $100^\circ$ 代替 $2x+2y$ 来发现角度 $AFD$ 的测量值为 $180-(2x+2y)=180-100=\boxed{80}$ 度。

答案：

80

96.

问题：$\begin{pmatrix} 2 \ y \ -5 \end{pmatrix}$ 到 $\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ 的投影为 $[\frac{5}{6} \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.]$ 找到 $y。$

解决方案：

$\begin{pmatrix} 2 \ y \ -5 \end{pmatrix}$ 到 $\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ 的投影为 $[\frac{\begin{pmatrix} 2 \ y \ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} = \frac{-2y - 3}{6} \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.]$ 然后 $-2y - 3 = 5,$ 所以 $y = \boxed{-4}.$

答案：

-4

97.

问题：

寻找真正的根源 $[\frac{( x+ 1)(x - 3)}{5(x + 2)(x - 4)} + \frac{(x + 3)(x - 5)}{9(x + 4)(x - 6)} - \frac{2(x + 5)(x - 7)}{13(x + 6)(x - 8)} = \frac{92}{585}.]$ 输入实数根，用逗号分隔。

解决方案：

将每个分子和分母相乘，我们得到 $[\frac{x^2 - 2x - 3}{5(x^2 - 2x - 8)} + \frac{x^2 - 2x - 15}{9(x^2 - 2x - 24)} - \frac{2(x^2 - 2x - 35)}{13(x^2 - 2x - 48)} = \frac{92}{585}.]$ 我们可以将其写为 $[\frac{(x^2 - 2x - 8) + 5}{5(x^2 - 2x - 8)} + \frac{(x^2 - 2x - 24) + 9}{9(x^2 - 2x - 24)} - \frac{2((x^2 - 2x - 48) + 13)}{13(x^2 - 2x - 48)} = \frac{92}{585}.]$ 因此， $[\frac{1}{5} + \frac{1}{x^2 - 2x - 8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{x^2 - 2x - 24} - \frac{2}{13} - \frac{2}{x^2 - 2x - 48} = \frac{92}{585}.]$ 这可以简化为 $[\frac{1}{x^2 - 2x - 8} + \frac{1}{x^2 - 2x - 24} - \frac{2}{x^2 - 2x - 48} = 0.]$让$y = x^2 - 2x - 48.$然后 $[\frac{1}{y + 40} + \frac{1}{y + 24} - \frac{2}{y} = 0.]$ 将所有内容乘以 $y(y + 24)(y + 40),$ 我们得到 $[y(y + 24) + y(y + 40) - 2(y + 24)(y + 40) = 0.]$ 这简化为 $64y + 1920 = 0,$ 所以 $y = -30.$ 然后 $x^2 - 2x - 48 = -30,$ 或 $x^2 - 2x - 18 = 0.$ 通过二次公式 $x = \boxed{1 \pm \sqrt{19}}.$ （由于这些值的分母非零，我们知道它们不是无关的。）

答案：

$1 \pm \sqrt{19}$

98.

问题：

一名花样滑冰运动员开始向右旋转时面朝北。她旋转了 2250 度。当她完成旋转时，她面向哪个方向（北、南、东或西）？

解决方案：

每个整圆都是 360 度。将 360 除以 2250 得到商 6，余数为 90。因此，她向右旋转 90 度，越过北方，面朝 $\boxed{\text{east}}$。

答案：

$\text{东}$

99.

问题：

化简 $(-k + 4) + (-2 + 3k)$。

解决方案：

我们有 $(-k+4) + (-2+3k) = -k + 4 -2 + 3k = \boxed{2k+2}$。

答案：

2000 美元+2$

100。

问题：

如果 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix},$ 则求向量 $\mathbf{v}$ 使得 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = 2$ 且 $\mathbf{a} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.$

解决方案：

让 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}.$ 则由等式 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = 2,$ $x + y + z = 2.$

另外， $[\mathbf{a} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y + z \ x - z \ -x + y \end{pmatrix}.]$ 因此，

求解该方程组，连同方程 $x + y + z = 2,$ 我们发现 $x = -\frac{1}{3},$ $y = \frac{2}{3},$ 和 $z = \frac{5}{3}.$ 因此，$\mathbf{v} = \boxed{\begin{pmatrix} -1/3 \ 2/3 \ 5/3 \end{pmatrix}}.$

答案：

$\begin{pmatrix} -1/3 \ 2/3 \ 5/3 \end{pmatrix}$

101.

问题：

一个六边形内接于一个圆：

受保护_18

$\alpha$ 的度量单位是多少？

解决方案：标记我们的顶点将有很大帮助，绘制一些半径也会有很大帮助：

受保护_19

首先，我们看到 $\angle ABC = 110^\circ$ 一定是主弧 ${AEC},$ 的一半，因此弧 ${AEC} = 2 \cdot \angle ABC.$ 那么，次弧 ${AC}$ 一定是 $360^\circ - 2 \cdot \angle ABC = 360^\circ - 2 \cdot 110^\circ = 140^\circ.$

同样，短弧 ${EA}$ 必须为 $360^\circ - 2 \cdot \angle EFA = 360^\circ - 2 \cdot 105^\circ = 150^\circ,$，短弧 ${CE}$ 为 $360^\circ - 2 \alpha。$ 现在，弧 ${AC},$ ${CE},$ 和 ${EA}$ 必须相加$360^\circ,$ 这意味着

答案：

$145^\约$

102.

问题：

等式 $[x^{10}+(13x-1)^{10}=0\,]$ 有 10 个复数根 $r_1,$ $\overline{r}_1,$ $r_2,$ $\overline{r}_2,$ $r_3,$ $\overline{r}_3,$ $r_4,$ $\overline{r}_4,$ $r_5,$ $\overline{r}_5,$ 其中条形表示复共轭。求出 的值 $[\frac 1{r_1\overline{r}_1}+\frac 1{r_2\overline{r}_2}+\frac 1{r_3\overline{r}_3}+\frac 1{r_4\overline{r}_4}+\frac 1{r_5\overline{r}_5}。]$

解决方案：

让 $p(x) = x^{10} + (13x - 1)^{10}.$ 如果 $r$ 是 $p(x),$ 的根，$ 则 $r^{10} + (13x - 1)^{10} = 0.$ 则 $(13r - 1)^{10} = -r^{10},$ 所以 $[-1 = \left( \frac{13r - 1}{r} \right)^{10} = \left( \frac{1}{r} - 13 \right)^{10}.]$ 那么 $\frac{1}{r} - 13$ 的震级为 1，所以 $[\left( \frac{1}{r} - 13 \right) \left( \frac{1}{\overline{r}} - 13 \right) = 1,]$ 所以 $[\left( \frac{1}{r_1} - 13 \right) \left( \frac{1}{\overline{r}_1} - 13 \right) + \dots + \left( \frac{1}{r_5} - 13 \right) \left( \frac{1}{\overline{r}_5} - 13 \right) = 5.]$ 展开，我们得到 $[\frac{1}{r_1 \overline{r}_1} + \dots + \frac{1}{r_5 \overline{r}_5} - 13 \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{\overline{r}_1} + \dots + \frac{1}{r_5} + \frac{1}{\overline{r}_5} \right) + 5 \cdot 169 = 5.]$ 我们看到 $\frac{1}{r_1},$ $\frac{1}{\overline{r}_1},$ $\dots,$ $\frac{1}{r_5},$ $\frac{1}{\overline{r}_5}$ 是 $[\left( \frac{1}{x} \right)^{10} + \left( \frac{13}{x} - 1 \right)^{10} = 0,]$ 或 $1 + (13 - x)^{10} = 0.$ 展开式中的前几项为 $[x^{10} - 130x^9 + \dotsb = 0,]$ 所以根据 Vieta 的公式， $[\frac{1}{r_1} + \frac{1}{\overline{r}_1} + \dots + \frac{1}{r_5} + \frac{1}{\overline{r}_5} = 130。]$ 因此， $[\frac{1}{r_1 \overline{r}_1} + \dots + \frac{1}{r_5 \overline{r}_5} = 13 \cdot 130 - 5 \cdot 169 + 5 = \boxed{850}.]$

答案：

850

103.

问题：

对表达式 $ab+5b+2a+10$ 进行因式分解。

解决方案：

我们有 $ab +5b+2a+10 = ab + 5b+2a + 2\cdot 5$，因此我们可以直接应用西蒙最喜欢的因式分解技巧：$[ab + 5b+2a+10 = \boxed{(a+5)(b+2)}.]$

答案：

$(a+5)(b+2)$

104.

问题：

设 $\lambda$ 为常量，$0 \le \lambda \le 4,$ 并设 $f : [0,1] \to [0,1]$ 定义为 $[f(x) = \lambda x(1 - x).]$ 找到 $\lambda,$ $0 \le \lambda \le 4,$ 的值，其中存在 $x \in [0,1]$ 使得 $f(x) \neq x$ 但 $f(f(x)) = x.$

解决方案：

我们有那个 $[f(f(x)) = f(\lambda x(1 - x)) = \lambda \cdot \lambda x(1 - x) (1 - \lambda x(1 - x)),]$ 所以我们要求解 $\lambda \cdot \lambda x(1 - x) (1 - \lambda x(1 - x)) = x.$请注意，如果 $f(x) = x,$ 则 $f(f(x)) = f(x) = x,$ 因此 $\lambda x(1 - x) = x$ 的任何根也将是 $\lambda \cdot \lambda x(1 - x) (1 - \lambda x(1 - x)) = x.$ 因此，我们应该预期 $\lambda x(1 - x) - x$ 是 $\lambda \cdot \lambda x(1 - x) 的因子(1 - \lambda x(1 - x)) - x.$ 事实上， $[\lambda \cdot \lambda x(1 - x) (1 - \lambda x(1 - x)) - x = (\lambda x(1 - x) - x)(\lambda^2 x^2 - (\lambda^2 + \lambda) x + \lambda + 1).]$ $\lambda^2 x^2 - (\lambda^2 + \lambda) x + \lambda + 1$ 的判别式为 $[(\lambda^2 + \lambda)^2 - 4 \lambda^2 (\lambda + 1) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 - 3 \lambda^2 = \lambda^2 (\lambda + 1)(\lambda - 3).]$ 当 $\lambda = 0$ 或 $3 \le \lambda \le 4.$ 时，这是非负的。

如果 $\lambda = 0,$ 则对于 [0,1].$ 中的所有 $x \，$f(x) = 0$

如果 $\lambda = 3,$ 则方程 $f(f(x)) = x$ 变为 $[(3x(1 - x) - x)(9x^2 - 12x + 4) = 0.]$$9x^2 - 12x + 4 = 0$的根都是$\frac{2}{3},$，满足$f(x) = x。$

另一方面，对于 $\lambda > 3，$$\lambda x(1 - x) = x$ 的根是 $x = 0$ 和 $x = \frac{\lambda - 1}{\lambda}.$ 显然 $x = 0$ 不是 $\lambda^2 x^2 - (\lambda^2 + \lambda) x + \lambda + 1 = 0.$ 另外，如果 $x = \frac{\lambda - 1}{\lambda},$然后 $[\lambda^2 x^2 - (\lambda^2 + \lambda) x + \lambda + 1 = \lambda^2 \left( \frac{\lambda - 1}{\lambda} \right)^2 - (\lambda^2 + \lambda) \cdot \frac{\lambda - 1}{\lambda} + \lambda + 1 = 3 - \lambda \neq 0.]$ 此外，根的乘积为 $\frac{\lambda + 1}{\lambda^2},$ 为正，因此要么两个根都为正，要么两个根都为负。由于根之和为 $\frac{\lambda^2 + \lambda}{\lambda^2} > 0，$ 两个根均为正。另外， $[\frac{\lambda^2 + \lambda}{\lambda} = 1 + \frac{1}{\lambda} < \frac{4}{3},]$ 因此至少有一个根必须小于 1。

因此，满足给定条件的 $\lambda$ 的集合为 $\lambda \in \boxed{(3,4]}.$

答案：

(3,4]

105.

问题：

$x^2 + y^2 + 6x - 24y + 72 = 0$ 和 $x^2 - y^2 + 6x + 16y - 46 = 0$ 的图形在四个点处相交。计算这四个点到点 $(-3,2).$ 的距离之和

解决方案：

将方程相加，我们得到 $[2x^2 + 12x - 8y + 26 = 0,]$ 或 $x^2 + 6x - 4y + 13 = 0.$ 我们可以将这个方程写为 $[(x + 3)^2 = 4(y - 1).]$这是焦点为$(-3,2)$且准线$y = 0的抛物线方程。$

受保护_20

根据抛物线的定义，对于抛物线上的任意点$P$，从$P$到焦点的距离等于从$P$到$y$轴的距离，即该点的$y$坐标。

减去给定的方程，我们得到 $2y^2 - 40y + 118 = 0,$ 或 $y^2 - 20y + 59 = 0.$ 令 $y_1$ 和 $y_2$ 为该二次方程的根。那么每个交点的 $y$ 坐标必须是 $y_1$ 或 $y_2.$

请注意，方程 $x^2 + y^2 + 6x - 24xy + 72 = 0$ 表示一个圆，因此它与直线 $y = y_1$ 最多相交两个点，而直线 $y = y_2$ 最多与两个点相交。因此，四个交点的 $y$ 坐标必须为 $y_1,$ $y_1,$ $y_2,$ $y_2,$，它们的总和为 $2y_1 + 2y_2。$

根据 Vieta 的公式，$y_1 + y_2 = 20,$ 所以 $2y_1 + 2y_2 = \boxed{40}.$

答案：

40

106.

问题：

对于下面列出的八个县，2005 年学生人数中位数是多少？$

解决方案：

一组值的中位数是一组值中一半值大于它，一半值小于它的数字。如果集合中有偶数个值，则中位数是两个“中间”值的平均值。由于有 $8$ 个县，因此学生人数中位数是学生人数最多 $4^\text{th}$ 的县中学生人数与学生人数最多 $5^\text{th}$ 的县中学生人数的平均值。查看图表，这两个县都有 $29$ 学生，因此学生人数中位数为 $\boxed{29}$ 学生。

答案：

29

107.

问题：

在 $y$ 的值是多少时，方程 $y=\frac{4x^3+2x-4}{3x^3-2x^2+5x-1}$ 的图形存在水平渐近线？

解决方案：

当有理函数中分子和分母的次数相同时，水平渐近线是分子最高次数的系数除以分母最高次数的系数。要看到这一点，请将分子和分母除以 $x^3$，将表达式写为 $[ \frac{4+\frac{2}{x^2}-\frac{4}{x^3}}{3-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}} ]$ 当$x\to\infty$ 或$x\to-\infty$ 时，涉及$x$ 的项趋近于0，这意味着整个表达式趋近于4/3。因此，只有一条水平渐近线，且位于 $y=\boxed{\frac43}$ 处。

答案：

$\frac43$

108.

问题：

所有小于 30 的素数的集合和所有大于 0 的奇数的集合的交集有多少个元素？

解决方案：

换句话说，我们正在寻找小于 30 的正奇素数的数量。我们遍历所有小于 30 的奇数，并记录其中有多少是素数。我们得到3、5、7、11、13、17、19、23、29都是小于30的正奇素数，交集中共有$\boxed{9}$个元素。

答案：

9

109.

问题：

令 $F_1$ 和 $F_2$ 为椭圆的焦点 $kx^2 + y^2 = 1,$ 其中 $k > 1$ 是常数。假设有一个圆穿过$F_1$和$F_2$，并且在$x$轴上的两点处与椭圆相切。计算 $k.$

解决方案：

将椭圆方程写成 $[\frac{x^2}{(1/\sqrt k)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1,]$ 形式，我们看到半水平轴和半垂直轴的长度分别为 $\tfrac{1}{\sqrt{k}}$ 和 $1,$。由于 $k > 1，$ 垂直轴是较长（长）轴。那么从椭圆中心（原点）到每个焦点的距离是

受保护_21

这种圆的存在意味着原点与水平（短）轴的每个焦点和每个端点的距离相等。因此，我们有 $[\frac{\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k}},]$ 所以 $\sqrt{k-1} = 1.$ 因此，$k-1=1,$ 和 $k=\boxed{2}.$

答案：

2

110.

问题：求最小正角 $\theta$ 的度数，其中 $[\tan \theta = \frac{\cos 5^\circ \cos 20^\circ + \cos 35^\circ \cos 50^\circ - \sin 5^\circ \sin 20^\circ - \sin 35^\circ \sin 50^\circ}{\sin 5^\circ \cos 20^\circ - \sin 35^\circ \cos 50^\circ + \cos 5^\circ \sin 20^\circ - \cos 35^\circ \sin 50^\circ}.]$

解决方案：

由角度加法公式可知，分子为

根据和乘积公式，$\cos 25^\circ + \cos 85^\circ = 2 \cos 55^\circ \cos 30^\circ.$

同样，分母是

所以表达式等于 $[\frac{2 \cos 55^\circ \cos 30^\circ}{-2 \sin 30^\circ \cos 55^\circ} = -\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = -\sqrt{3} = \tan 120^\circ.]$ 因此，最小的 $\theta$ 是 $\boxed{120^\circ}。$

答案：

$120^\约$

111.

问题：

严格递增的正整数序列 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$ 具有以下性质：对于每个正整数 $k$，子序列 $a_{2k-1}$, $a_{2k}$, $a_{2k+1}$ 是几何的，子序列 $a_{2k}$, $a_{2k+1}$, $a_{2k+2}$ 是算术。假设 $a_{13} = 2016$。找到$a_1$。

解决方案：

设 $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a},$ 其中 $a$ 和 $b$ 是互素正整数，且 $a < b.$ 则 $a_2 = \frac{b}{a} \cdot a_1,$ 且 $[a_3 = \frac{a_2^2}{a_1} = \frac{(b/a \cdot a_1)^2}{a_1} = \frac{b^2}{a^2} \cdot a_1.]$ 这意味着 $a_1$ 可以被 $a^2 整除。$ let $a_1 = ca^2$;那么 $a_2 = cab,$ $a_3 = cb^2,$

等等。更一般地，我们可以通过归纳法证明

对于所有正整数 $k.$

因此，从 $a_{13} = 2016 年开始，$ $[c(6b - 5a)^2 = 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 14 \cdot 12^2.]$ 因此，$6b - 5a$ 必须是 12 的因数。

让 $n = 6b - 5a.$ 然后 $a < a + 6(b - a) = n,$ 并且 $[n - a = 6b - 6a = 6(b - a),]$ 因此 $n - a$ 是 6 的倍数。因此， $[6 < a + 6 \le n \le 12,]$ 唯一的解是 $(a,b,n) = (6,7,12).$ 那么 $c = 14,$ 和 $a_1 = 14 \cdot 6^2 = \boxed{504}.$

答案：

504

112.

问题：

布伦南先生的统计课上有 7 个男孩和 4 个女孩。他可以通过多少种方式挑选 3 个男孩和 2 个女孩明天进行小组演示？ （男孩和女孩的选择顺序并不重要。）

解决方案：有 4 种方法选择第一个女孩，有 3 种方法选择第二个女孩；然而，这会将每对女孩计数两次，因为选择女孩 A 后选择女孩 B 与选择女孩 B 后选择女孩 A 相同，因此选择女孩的总方式为 $\frac{4\times3}{2}=6$。类似地，有 7 种方法选择第一个男孩，有 6 种方法选择第二个男孩，还有 5 种方法选择最后一个男孩，但这对男孩的每个组合计数 6 次，因为首先选择三个男孩中的任何一个，然后选择另外两个男孩中的任何一个，然后选择第三个男孩将得到相同的三重男孩。因此，挑选男生的方式总数为 $\frac{7\times6\times5}{3\times2}=35$，挑选学生进行小组展示的方式总数为 $\frac{4\times3}{2}\cdot \frac{7\times6\times5}{3\times2}=\boxed{210}$

答案：

210

113.

问题：

化简$\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}$。您的解决方案可以转换为 $A(1+\sqrt{B})-(\sqrt{C}+\sqrt{D})$ 的形式，其中 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 是正整数。什么是$A+B+C+D$？

解决方案：

将顶部和底部乘以共轭，我们有 $\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})((2-\sqrt{3}))} = \frac{2-\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4-3} = 2-\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}$。因此，我们得到 $A=2、B=2、C=3$ 和 $D=6$（$C$ 和 $D$ 可以互换）。所以 $A+B+C+D = 2+2+3+6 = \boxed{13}$。

答案：

13

114.

问题：

$(26^2 - 24^2 - 10)^2 - 10^2$ 的值是多少？

解决方案：

我们知道 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$。首先，让 $x = 26^2 - 24^2 - 10$ 和 $y = 10$。对 $x^2 - y^2$ 进行因式分解并代入，得到 $(26^2-24^2-10+10)(26^2-24^2-10-10)$。现在，让 $x = 26$ 和 $y = 24$。因式分解 $x^2 - y^2$ 并代入得到 $((26+24)(26-24)-10+10)((26+24)(26-24)-10-10)$。这简化为 $(50\cdot 2)(50 \cdot 2 - 20)$ 或 $100 \cdot 80$。因此，我们的最终答案是$\boxed{8000}$。

答案：

8000

115.

问题：

求整数 $C$ 和 $D$ 的乘积 $CD$，其中 $[\frac{C}{x-3}+\frac{D}{x+8}=\frac{4x-23}{x^2+5x-24}]$ 表示 $x$ 的所有实值（$-8$ 和 $3$ 除外）。

解决方案：

首先，我们将右侧的分母因式分解，得到 $[\frac{C}{x - 3} + \frac{D}{x + 8} = \frac{4x - 23}{(x - 3)(x + 8)}。]$ 然后两边乘以 $(x - 3)(x + 8)$，得到 $[C(x + 8) + D(x - 3) = 4x - 23.]$ 我们可以通过代入适当的$x$值来求解$C$和$D$。例如，设置$x = 3$，我们得到$11C = -11$，因此$C = -1$。设置$x = -8$，我们得到$-11D = -55$，所以$D = 5$。 （这可能看起来不合法，因为我们被告知给定的方程适用于除 $-8$ 和 $3 之外的所有 $x$。这告诉我们，方程 $C(x + 8) + D(x - 3) = 4x - 23$ 适用于所有 $x$，除了可能的 $-8$ 和 3。但是，该方程的两边都是多项式，如果两个多项式对于无限个 $x$ 值相等，则两个多项式相等多项式对于 $x$ 的所有值都相等。因此，我们可以将任何我们想要的值代入这个方程。）

因此，$CD = (-1) \cdot 5 = \boxed{-5}$。

答案：

-5

116.

问题：

确定单词 ElliIPSE 的字母排列方式的数量。

解决方案：

有两个 E，两个 l，总共七个字母，所以答案是 $\dfrac{7!}{2! \times 2!} = \boxed{1260}$。

答案：

1260

117.

问题：

求解 $x$：$2^{2x} = 256^\frac{1}{2}$。

解决方案：

答案：

2

118.

问题：

如果$\sqrt{3x-5}=2$，找出$x$的所有可能值。

解决方案：

首先，我们首先对方程两边进行平方\(\begin{对齐*} (\sqrt{3x-5})^2& =(2)^2 \\ \右箭头\qquad 3x-5& =4 \\ \右箭头\qquad 3x& =9 \\ \右箭头\qquad x& =\boxed{3}。 \结束{对齐*}\)

测试一下，我们发现$x$的这个值确实满足方程。

答案：

3

119.

问题：

求满足 $\left|a + bi\right| 的整数有序对 $(a,b)$ 的数量\le 5.$

解决方案：

该问题要求我们计算位于以原点为圆心的半径为 5 的圆内或圆上的复数的数量，其中实部和虚部均为整数。

受保护_22

我们可以算出，第一象限（不包括轴）有15个这样的复数。那么正实轴、负实轴、正虚轴、负虚轴上有5个复数。最后，还有原点本身，它为我们提供了 $4 \cdot 15 + 4 \cdot 5 + 1 = \boxed{81}$ 复数。

答案：

81

120.

问题：

表达式 \(1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6\) 相当于 13。如果我们在各个位置添加括号，我们可以更改该值。例如，$1+2+3-(4+5)+6=1+2+3-9+6=6-9+6=3$。如果我们只添加括号（而不重新排列项的顺序），这个表达式可以获得的最小可能值是多少？ （就本问题而言，我们不能将加法或减法改为乘法。例如，$ (1+2+3)(-4)+5+6 $ 不是有效的括号位置。）

输入您的答案作为单个值。

解决方案：

因为减号之前的每一项都被添加，而加法是结合的（括号无关紧要），在它们上面放置括号不会改变它们的值。然而，减法不具有结合律。由于我们试图最小化该表达式的值，因此我们希望尽可能多地减去。因此，当括号放在以下位置时，表达式会最小化：$1+2+3-(4+5+6)$。这简化为 $1+2+3-15 = 6-15=\boxed{-9}$。

答案：

-9

121.

问题：

设$f(x)$为奇函数，设$g(x)$为偶函数。 $f(f(g(f(g(f(x))))))$ 是偶数、奇数还是都不是？

输入“奇数”、“偶数”或“两者都不是”。

解决方案：

我们有那个 $[f(f(g(f(g(f(-x)))))) = f(f(g(f(g(-f(x)))))) = f(f(g(f(g(f(x)))))),]$ 所以函数是 $\boxed{\text{even}}.$

更一般地，如果我们有一个函数组合，并且至少有一个函数是偶数，那么整个函数组合也是偶数。

答案：

$\文本{偶数}$

122.

问题：

求解 $x$： $\frac{x}2 + \frac{x}3 = 5$

解决方案：

用公分母写出左边，我们有\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} = \dfrac{5x}{6},\)所以我们的等式是\(\dfrac{5x}{6} = 5。\)两边乘以$\dfrac{6}{5}$得到\(x = 5\cdot \dfrac{6}{5} = \boxed{6}.\)

答案：

6

123.

问题：

丹尼尔在一家电子产品商店工作，他声称电视的受欢迎程度（以销售数量衡量）与其成本成反比。如果有 15 个顾客购买一台售价 1500 美元的电视，根据丹尼尔的理论，有多少顾客会购买一台售价 2500 美元的电视？

解决方案：

令电视的受欢迎程度（或购买电视的顾客数量）等于 $p$，并令电视的成本等于 $c$。根据丹尼尔的理论，$p$和$c$成反比。因此，对于某个常数值 $k$，$(p)(c)=k$。如果当$c=1500$时$p=15$，则$k=(15)(1500)=22500$。所以当$c=2500$时，

根据丹尼尔的理论，9 位顾客会购买价值 2500 美元的电视。

答案：

9

124.

问题：图中，$D$和$E$分别是$\overline{AB}$和$\overline{BC}$的中点。确定四边形 $DBEF$ 的面积。

受保护_23

解决方案：

$\triangle DBC$ 的底边 $\overline{BC}$ 的长度为 8，高度 $\overline{BD}$ 的长度为 3；因此，它的面积为$\frac{1}{2}\times8\times 3=12$。

四边形$DBEF$的面积等于$\triangle DBC$的面积减去$\triangle FEC$的面积。

$\triangle FEC$ 的基数为 $EC=BC-BE=8-4=4$。 $\triangle FEC$ 的高度等于点 $F$ 到 $x$ 轴的垂直距离，等于点 $F$ 的 $y$ 坐标，即 2。因此，$\triangle FEC$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times4\times 2=4$。

最后，四边形$DBEF$的面积为$12-4=\boxed{8}$。

答案：

8

125.

问题：

如果$\left|x+5\right|-\left|3x-6\right|=0$，求$x$的最大可能值。将你的答案表达为假分数。

解决方案：

我们首先将第二个不等式移到方程的右侧，得到 $\left|x+5\right|=\left|3x-6\right|$。从这里，我们可以将方程分成两个不同的情况。对于第一种情况，请注意，如果 $x+5$ 和 $3x-6$ 具有相同的符号，则 $x+5=3x-6$：

案例一：

如果我们将 $x$ 的值代入原始方程来检查答案，我们会得到 $\left|\frac{11}{2}+5\right|-\left|3\left(\frac{11}{2}\right)-6\right|=0$ 或 $0=0$。既然这是真的，我们可以接受 $x=\frac{11}{2}$ 作为有效的解决方案。

对于情况二，请注意，如果 $x+5$ 的符号与 $3x-6$ 不同，则 $x+5=-(3x-6)$。

案例2：

如果我们将 $x$ 的值代入原始方程来检查我们的答案，我们会得到 $\left|\frac{1}{4}+5\right|-\left|3\left(\frac{1}{4}\right)-6\right|=0$，这也给出了 $0=0$。这始终是正确的，因此我们也可以接受 $x=\frac{1}{4}$ 作为有效的解决方案。因此，我们的两个可能的解决方案是 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{11}{2}$。由于问题要求 $x$ 的最大可能值，因此我们的最终解决方案是 $\boxed{\frac{11}{2}}$。

答案：

$\frac{11}{2}$

126.

问题：

计算 $\lceil (3.6)^2 \rceil - ( \lceil 3.6 \rceil ) ^2$。

解决方案：

$\lceil (3.6)^2 \rceil = \lceil 12.96 \rceil = 13$ 因为大于 $12.96$ 的最小整数是 $13$。 $( \lceil 3.6 \rceil ) ^2 = 4^2 = 16$ 因为大于 $3.6$ 的最小整数是 $4$。因此，答案是$13-16=\boxed{-3}$。

答案：

-3

127.

问题：

让 $F(z)=\frac{z+i}{z-i}$ 对于所有复数 $z\not= i,$ 并让 $z_n=F(z_{n-1})$ 对于所有正整数 $n.$ 假设 $z_0=\frac 1{137}+i,$ 找到 $z_{2002}.$

解决方案：

迭代 $F$ 几次，我们得到 $[\begin{aligned} F(F(z)) &= \frac{\frac{z+i}{z-i}+i}{\frac{z+i}{z-i}-i} = \frac{(z+i)+i(z-i)}{(z+i)-i(z-i)}= \frac{z+i+zi+1}{z+i-zi-1}= \frac{(z+1)(i+1)}{(z-1)(1-i)}
&= \frac{(z+1)(i+1)^2}{(z-1) \cdot 2}= \frac{(z+1)(2i)}{(z-1) \cdot 2} = \frac{z+1}{z-1}i,
F(F(F(z))) &= \frac{\frac{z+1}{z-1}i+i}{\frac{z+1}{z-1}i-i} = \frac{\frac{z+1}{z-1}+1}{\frac{z+1}{z-1}-1} = \frac{(z+1)+(z-1)}{(z+1)-(z-1)}= z。 \end{对齐}]$ 因此，$z_{k+3} = z_k$ 对于所有 $k。$ 自 $2002 \equiv 1 \pmod{3},$ 我们有 $[z_{2002} = z_1 = \frac{z_0+i}{z_0-i} = \frac{1/137 + 2i}{1/137} = \盒装{1+274i}。]$

答案：

$1+274i$

128.

问题：

以 $5$ 为基础表示 $555_{10}$。

解决方案：我们将 $555$ 写为 $5$ 的幂。 $5$小于$555$的最大幂为$5^3=125$，$125$小于$555$的最大倍数为$4$。我们得到 $555- 4 \cdot 125 = 55$。 $5$小于$55$的最大幂是$5^2=25$，$25$小于$55$的最大倍数是$2$。我们得到 $55 - 2 \cdot 25 = 5$，即 $5^1$。因此，我们可以将 $555$ 写为 $4 \cdot 5^3 + 2 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^1$。因此，答案是$\boxed{4210_{5}}$。

答案：

$4210_5$

129.

问题：

苏珊娜每三天步行四英里。她二月份最少可以行走多少英里？

解决方案：

二月有 28 天，闰年额外增加一天。我们想要最少的里程数，因此我们选择 2 月 28 天。她能行走的最少天数是$\left\lfloor\frac{28}{3}\right\rfloor=9$。因此她可以步行的最少英里数是 $9\cdot4=\boxed{36}$ 英里。

答案：

36

130.

问题：

在三角形 $ABC$ 中，$AB = 17$，$AC = 8$，$BC = 15$。令 $D$ 为从 $C$ 到 $AB$ 的海拔高度。求三角形$ACD$的面积。

解决方案：

根据毕达哥拉斯，$\angle C = 90^\circ$。三角形 $ACD$ 和 $ABC$ 相似，因此 $[CD = BC \cdot \frac{AC}{AB} = 15 \cdot \frac{8}{17} = \frac{120}{17},]$ 和 $[AD = AC \cdot \frac{AC}{AB} = 8 \cdot \frac{8}{17} = \frac{64}{17}。]$

受保护_24

因此，三角形 $ACD$ 的面积为 $[\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{17} \cdot \frac{120}{17} = \boxed{\frac{3840}{289}}。]$

答案：

$\压裂{3840}{289}$

131.

问题：

什么整数 $n$ 满足 $0\le n<18$ 和 \(n\equiv -11213141\pmod{18}~?\)

解决方案：

一个整数可以被 $18$ 整除，当且仅当它的各位数字之和可以被 $9$ 整除并且最后一位数字是偶数（意味着它可以被 9 和 2 整除）。 $-11213141$ 的各位数字之和为 14。由于 $-11213141$ 为负数，因此该数字为 5 $\textit{小于}$ 9 的倍数。该数字为 4 $\textit{大于}$ 9 的倍数。减去 4 得到 $[-11213141 = -11213145+4。]$ 由于$-11213145$ 的位数和为 18，这个数字是 9 的倍数。但这不是 18 的倍数，所以我们需要再减去 9： $[-11213141 = -11213154+13.]$ 现在数字 $-11213154$ 是 18 的倍数，所以答案是 $\boxed{13}$。 \(-11213141\equiv 13\pmod {18}.\)

答案：

13

132.

问题：

如果$f(x)=ax^4-bx^2+x+5$并且$f(-3)=2,$那么$f(3)$的值是多少？

解决方案：

评估 $f(x)$ 对于 $x=3$ 和 $x=-3$，我们有

如果我们从第一个方程中减去第二个方程，则除一项之外的所有项都被抵消，我们得到 $[f(3) - f(-3) = 3 - (-3) = 6.]$ 因此，如果 $f(-3) = 2,$ 则 $f(3) = f(-3) + 6 = 2 + 6 = \boxed{8}.$

答案：

8

133.

问题：

Rick 正在考虑 14 美元的正因数，Steve 正在考虑 42 美元的正因数。如果里克和史蒂夫正在考虑同一个数字，他们会想到多少种可能的数字？

解决方案：我们将通过查找乘以 14 的对来找到 14 的正因数。我们的列表如下所示， \(1 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 14.\) 检查 $2$，我们发现 $2\cdot 7=14$，因此我们的列表变为 \(1 \quad 2 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 7 \quad 14.\) 检查 $3$、$4$、$5$ 和 $6$，我们发现这些都不是 $14$ 的约数，所以我们的最终列表是 \(1 \quad 2 \quad 7 \quad 14.\) 接下来，我们使用伙伴确定 $42$ 因素的方法。我们的列表如下所示： \(1\quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 42.\) 检查 $2$，我们发现 $2\cdot 21=42$，因此我们的列表变为 \(1\quad 2 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 21 \quad 42.\)检查$3$，我们发现$3\cdot 14=42$，所以我们的列表变成\(1\quad 2 \quad 3 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 14 \quad 21 \quad 42.\) 检查 $4$ 和 $5$ 我们发现 $4$ 和 $5$ 不是 $42$ 的约数。检查 $6$，我们发现 $6\cdot 7=42$，因此我们的列表变为 \(1\quad 2 \quad 3 \quad 6 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 7 \quad 14 \quad 21 \quad 42。\) 因为 $7$ 已经在我们的列表中，我们的最终列表是 \(1\quad 2 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \quad 14 \quad 21 \quad 42。\) 我们比较我们的列表中的 $14$ 因子和 $42$ 因子，看看 $14$ 和 $42$ 共享的因子是 $1$、$2$、$7$ 和 $14$。因此，Rick 和 Steve 可能正在考虑 $\boxed{4}$ 个可能的数字。请注意，由于 $14$ 是 $42$ 的因数，因此 $14$ 的所有因数也是 $42$ 的因数。

答案：

4

134.

问题：

在凸四边形中，最大角的大小是最小角的两倍，另外两个角都是直角。最大的角是多少度？

解决方案：

四边形的内角之和必须为 360。（您可以使用公式解决此问题：$S = (n-2)(180)$，其中 S 是内角之和，$n$ 是多边形的边数。但是，如果您想快速解决此问题，则应该记住该值。）由于其中两个角度是正确的，因此另外两个角度的总和必须为 180。将较小的角度命名为 $x$ - 因为较大的角度是较小角度的两倍，我们有 $3x = 180 \rightarrow x = 60$，$2x = 120$。因此，较大的角度有 $\boxed{120}$ 度。

答案：

120

135.

问题：

让 $F_1 = (10,2)$ 和 $F_ 2= (-16,2).$ 然后点集 $P$ 使得 $[\左|PF_1 - PF_2\右| = 24]$ 形成双曲线。该双曲线的方程可以写为 $[\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.]$求$h + k + a + b。$

解决方案：

双曲线的中心是 $\overline{F_1 F_2},$ 的中点，即 $(-3,2).$ 因此，$h = -3$ 且 $k = 2.$

另外，$2a = 24，$所以$a = 12.$焦点之间的距离是$2c = 26，$所以$c = 13.$然后$b^2 = c^2 - a^2 = 169 - 144 = 25，$所以$b = 5.$

因此，$h + k + a + b = (-3) + 2 + 12 + 5 = \boxed{16}.$

答案：

16

136.

问题：

$42!$（42 的阶乘）末尾有多少个零？ （提示：数字$n!$是1到$n$之间的整数的乘积。例如$5!=5\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot 1= 120$。）

解决方案：每当一个数的因数为 $10$ 时，您都会在其末尾得到一个数字 $0$，所以问题实际上是在问，$42!$ 的质因数分解中有多少个 $10$。由于$10=2\cdot5$，我们需要计算每个有多少个。我们将拥有比 $5$ 更多的 $2$，因此我们实际上只需要计算 $5$ 在素数分解中出现的次数。

每当一个数字是 $5$ 的倍数时，它就会在素因数分解中添加一个 $5$ 因子。 $1$ 到 $42$ 之间有 $5$ 的 $8$ 倍数。现在看看 25 美元。它实际上有两个 $5$ 的因数。我们已经数过其中之一了，所以现在我们需要再数一数。这给出了总计 $8+1=9$ 乘以因子 $5$ 的出现，因此 $42!$ 在末尾有 $\boxed{9}$ 个零。

答案：

9

137.

问题：

设 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 为正实数序列，使得 $[\sum_{i = 1}^n a_i = 96, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^2 = 144, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^3 = 216.]$求$n所有可能值的总和。$

解决方案：

柯西-施瓦茨， $[(a_1 + a_2 + \dots + a_n)(a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3) \ge (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)^2.]$ 由于 $96 \cdot 216 = 144^2,$ 我们在柯西-施瓦茨不等式中相等，这意味着 $[\frac{a_1^3}{a_1} = \frac{a_2^3}{a_2} = \dots = \frac{a_n^3}{a_n}.]$ 然后 $a_1^2 = a_2^2 = \dots = a_n^2,$ 所以 $a_1 = a_2 = \dots = a_n.$

根据给定的 $na_1 = 96$ 和 $na_1^2 = 144.$ 除以这些方程，我们得到 $a_1 = \frac{3}{2},$ 所以 $n = \boxed{64}.$

答案：

64

138.

问题：

以 5 为底表示商 $413_5 \div 2_5$。

解决方案：

我们可以像基数 10 一样在基数 5 上进行长除法。我们有

商为 **$204{5}$**。请注意，在上面的计算中，我们使用 $13{5}$ 除以 $2{5}$ 得到 $4{5}$，它是从 $4{5}\times 2{5}=8{10}=13{5}$ 得出的。

答案：

$204_{5}$

139.

问题：

鲍勃和爱丽丝各有一个袋子，里面装有蓝色、绿色、橙色、红色和紫色每种颜色的一个球。爱丽丝从她的包里随机选择一个球并将其放入鲍勃的包中。然后鲍勃从他的包中随机选择一个球并将其放入爱丽丝的包中。经过此过程后，两个袋子中的内容相同的概率是多少？

解决方案：

当爱丽丝将球放入鲍勃的袋子中后，他的袋子将包含六个球：两个是一种颜色的球，一个是其他颜色的球。当鲍勃选择一个球并将其放入爱丽丝的包中后，当且仅当鲍勃选择了包中两个颜色相同的球之一时，两个包中的内容才会相同。因为鲍勃做出选择时袋子里有六个球，所以选择其中一个相同颜色的球的概率为 $2/6=\boxed{\frac{1}{3}}$。

答案：

$\frac{1}{3}$

140.

问题：

找出最大值 $[f(x,y) = x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2},]$ 其中 $-1 \le x,$ $y \le 1.$

解决方案：

令 $a$ 和 $b$ 为实数。那么 $(a - b)^2 \ge 0,$ 相当于 $[ab \le \frac{a^2 + b^2}{2}.]$ （这看起来像 AM-GM，但在这里，我们想证明它适用于所有实数，而不仅仅是非负实数。）设置 $a = x$ 和 $b = \sqrt{1 - y^2},$ 我们得到 $[x \sqrt{1 - y^2} \le \frac{x^2 + 1 - y^2}{2}.]$ 设置 $a = y$ 和 $b = \sqrt{1 - x^2},$ 我们得到 $[y \sqrt{1 - x^2} \le \frac{y^2 + 1 - x^2}{2}.]$ 因此， $[x \sqrt{1 - y^2} +y \sqrt{1 - x^2} \le \frac{x^2 + 1 - y^2}{2} + \frac{y^2 + 1 - x^2}{2} = 1.]$由于$f(1,0) = 1，$最大值为$\boxed{1}。$

答案：

1

141.

问题：

令 $n$ 为正整数。 $\gcd(n + 7, 2n + 1)$ 的最大可能值是多少？

解决方案：

设 $d = \gcd(n + 7, 2n + 1)$，因此 $d$ 既能除掉 $n + 7$ 也能除掉 $2n + 1$。然后 $d$ 除以 $2(n + 7) - (2n + 1) = 13$，因此 $d$ 最多为 13。

如果$n = 6$，则$\gcd(n + 7, 2n + 1) = \gcd(13,13) = 13$，这表明可以达到13的值。因此，$\gcd(n + 7, 2n + 1)$ 的最大可能值为$\boxed{13}$。

答案：

13

142.

问题：

扎克有三个袋子和一束要放入袋子里的铅笔。他被告知将尽可能多的铅笔放入三个袋子中，同时保持每个袋子中的铅笔数量相同。他最多可以剩下多少支铅笔？

解决方案：

如果扎克还剩下三支或更多铅笔，那么他可以在每个袋子中添加另一支铅笔。因此，扎克最多可以剩下 $\boxed{2}$ 支铅笔。

答案：

2

143.

问题：

参议院委员会由 5 名民主党人、5 名共和党人和 1 名独立人士组成。如果每一方的所有成员都坐在一起，他们可以有多少种方式围着圆桌坐下？ （如果一个座位与另一个座位轮换，则两个座位被视为等效。）

解决方案：

选择放置独立人士的任何座位 - 我们选择哪个座位并不重要，因为我们可以旋转桌子。一旦独立党的席位选定，要么所有民主党人坐在他们的左边，所有共和党人坐在他们的右边，或者反过来。不管怎样，有 $5!$ 的方法可以让民主党获得席位，也有 $5!$ 的方法可以让共和党获得席位。因此，桌子周围的人的座位方式总数为 $2\cdot5!\cdot5!=2\cdot120\cdot120=\boxed{28800}$。

答案：

28800

144.

问题：

点 $O,$ $A,$ 和 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$ 和 $\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -3 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.$ 求三角形 $OAB 的面积。$

解决方案：

$\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 生成的平行四边形的面积由下式给出

受保护_25

因此，三角形 $OAB$ 的面积为 $\boxed{3 \sqrt{5}}。$

答案：

$3 \sqrt{5}$

145.

问题：

曲线参数化为 $[(x,y) = (t^3 + 7, -3t^2 - 6t - 5).]$ 找到曲线在 $t = 2 处经过的点。$

解决方案：

在 $t = 2 处，$ $(x,y) = (2^3 + 7, -3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 5) = \boxed{(15,-29)}.$

答案：

(15,-29)

146.

问题：

令 $z$ 为复数，使得 $[z + \frac{1}{z} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.]$ 查找 $[z^{85} + \frac{1}{z^{85}}.]$

解决方案：

由 $z + \frac{1}{z} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$ $[z + \frac{1}{z} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}.]$ 两边平方，我们最终得到 $[z^2 - z + \frac{9}{4} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2} = \frac{5}{4}.]$ 那么 $[z^2 - z + 1 - \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2} = 0.]$因此，$z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0.$然后 $[(z + 1)(z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) = 0,]$ 展开为 $z^5 + 1 = 0.$ 这给我们 $z^5 = -1.$因此， $[z^{85} + \frac{1}{z^{85}} = (z^5)^{17} + \frac{1}{(z^5)^{17}} = (-1)^{17} + \frac{1}{(-1)^{17}} = \boxed{-2}。]$

答案：

-2

147.

问题：

化简以下：\(\frac{3}{\sqrt{27}}\)

解决方案：

我们有：

$\frac{3}{\sqrt{27}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{81}}=\frac{3\sqrt{3}}{9}=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$。

答案：

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

148.

问题：

令 $x,$ $y,$ 和 $z$ 为正实数，使得 $xyz = 2.$ 找到以下值的最小值 $[x^4 + 4y^2 + 4z^4.]$

解决方案：

通过 AM-GM，

当 $x^4 = 2y^2 = 4z^2.$ 时，相等。使用条件 $xyz = 2,$ 我们可以求解得到 $x = y = \sqrt{2}$ 和 $z = 1,$，因此最小值为 $\boxed{16}.$

答案：

16

149.

问题：

求解 $x$ 的以下方程： $[ \ \frac{2}{3} = \frac{4}{x-5}.]$

解决方案：

两边同时乘以 $x-5$ 和 3，得到 $2(x-5) = 4(3)$。展开左侧得到 $2x-10 = 12$。两边加 10 得到 $2x = 22$，除以 2 得到 $x = \boxed{11}$。

答案：

11

150。

问题：

如果罗莎的年龄除以 2、3、4 或 6，余数为 1。如果她的年龄除以 7，余数为 0。她不到 75 岁。罗莎今年多少岁？

解决方案：

由于她的年龄除以 7 的余数为 0，因此她的年龄必须是 7 的倍数。如果她的年龄是 $n$，我们注意到 $n-1$ 必须是 2、3、4 和 6 的倍数。这些数字的最小公倍数是 12，因此 $n-1$ 必须是 12 的倍数。小于 75 的 12 的倍数是 12、24、36、48 和60. 加 1 结果为 13、25、37、49 和 61，其中 49 是 7 的唯一倍数。所以 Rosa 的年龄为 $\boxed{49}$ 岁。

或

我们寻找不能被 2、3、4 或 6 整除的 7 的倍数。首先，我们列出所有小于 75 的 7 的奇数倍，即 7、21、35、49 和 63。由于 21 和 63 是 3 的倍数，因此我们剩下 7、35 和 49 作为可能性。只有 $\boxed{49}$ 除以 2、3、4 或 6 时余数为 1。

答案：

49

151.

问题：

对于每个正整数 $n$，设 $\text{mod}_5 (n)$ 为 $n$ 除以 5 所得的余数。定义函数 $f: {0,1,2,3,\dots} \times {0,1,2,3,4} \to {0,1,2,3,4}$ 递归如下：

$f(2015,2)$ 是什么？

解决方案：

我们为值 $f(i,j)$ 构建一个表：

由此可见，对于所有 $i \ge 5.$，$f(i,2) = \boxed{1}$

答案：

1

152.

问题：

设 $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $y_1,$ $y_2,$ 和 $y_3$ 为实数，使得

查找 $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2.$

解决方案：一般来说， $[\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}]$ 是顶点位于 $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2),$ 和 $(x_3,y_3) 的三角形的有符号面积。$ (面积是有符号的，即可以是正数也可以是负数，具体取决于三角形的方向。）这里，三角形的边是 3、4 和 5，这是一个直角三角形。因此，它的面积为 $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6.$ 那么 $[\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \pm 12,]$ 所以 $[\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 = \boxed{144}.]$

答案：

144

153.

问题：

三角形$ABC$ 的中线$AD$、$BE$ 和$CF$ 相交于质心$G$。通过 $G$ 并与 $BC$ 平行的线分别与 $AB$ 和 $AC$ 相交于 $M$ 和 $N$。如果三角形$ABC$的面积是144，则求三角形$ENG$的面积。

解决方案：

由于 $E$ 是 $AC$ 的中点，因此三角形 $BCE$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的一半，即 $144/2 = 72$。

受保护_26

由于 $GN$ 与 $BC$ 平行，因此三角形 $ENG$ 和 $ECB$ 相似。此外，$G$是三角形$ABC$的质心，因此相似度比率为$EG/EB = 1/3$。因此，三角形 $ENG$ 的面积为 $72 \cdot (1/3)^2 = \boxed{8}$。

答案：

8

154.

问题：

从所示网格中随机选择一组三个点。每个三点组被选中的概率相同。这些点位于同一条直线上的概率是多少？

受保护_27

解决方案：

九个网格点中可以选择的三点组数量为$[ \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!\cdot 6!} = 84。 ]$ 其中八组由三个共线点组成：3 组点位于垂直线上，3 组点位于水平线上，2 组点位于对角线上。因此概率为 $8/84 = \boxed{\frac{2}{21}}$。

答案：

$\frac{2}{21}$

155.

问题：

一只壁虎生活在一个长 12 英尺、宽 10 英尺、高 8 英尺的房间里。壁虎当前位于侧壁上（$10^{\prime}$ x $8^{\prime}$），距离天花板一英尺，距离后墙一英尺（$12^{\prime}$ x $8^{\prime}$）。壁虎在对面的墙上发现了一只苍蝇，距离地板一英尺，距离前墙一英尺。假设壁虎不会跳跃，只能穿过天花板和墙壁，那么它到达苍蝇的最短路径的长度是多少？用最简单的激进形式表达你的答案。

解决方案：

受保护_28

上图中，绿点是壁虎，紫色点是苍蝇。我们可以“``展开”壁虎走过的墙壁，如下所示，以二维方式表示壁虎的路径。这种展开不会改变壁虎路径的长度，因此为了使壁虎的路径在展开前最小，展开后也必须最小。也就是说，展开后一定是一条直线。现在，除了侧壁之外，壁虎还可以沿着前面、后面和天花板移动。假设其中，它仅沿着前墙行进。壁虎走过的墙壁是这样展开的：

受保护_29

壁虎的路径是边为 6 和 22 的直角三角形的斜边，因此其长度为 $\sqrt{6^2 + 22^2} = 2\sqrt{3^2 + 11^2} = 2\sqrt{130}$。根据对称性（壁虎和苍蝇在房间中完全相对），如果壁虎仅沿着后墙和侧壁移动，路径长度是相同的。

现在假设壁虎只沿着天花板和侧壁移动。这些墙展开后变成：

受保护_30

该路径是边为 8 和 20 的直角三角形的斜边，因此其长度为 $\sqrt{8^2 + 20^2} = 2\sqrt{4^2+10^2} = 2\sqrt{116}$。 （我们将保留这种形式，因为这样更容易与其他案例进行比较。）

最后，壁虎可能会穿过天花板和前墙（或后墙；这些情况通过对称性给出相同的结果）。展开的墙看起来像这样：

受保护_31

该路径是边为 16 和 14 的直角三角形的斜边，因此其长度为 $\sqrt{16^2+14^2} = 2\sqrt{8^2+7^2} = 2\sqrt{113}$。在这三种情况中，这是最小的，所以答案是$\boxed{2\sqrt{113}}$。

答案：

$2\sqrt{113}$

156.

问题：

随机选择一个点 $(x,y)$，使得 $0 \le x \le 8$ 和 $0 \le y \le 4$。 $x+y \le 4$ 的概率是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

将 $x+y\leq 4$ 重写为 $y\leq 4-x$。该不等式由 $y=4-x$ 线上和线下的点满足。沿着由不等式 $0\leq x\leq 8$ 和 $0\leq y\leq 4$ 确定的 $4\times 8$ 矩形绘制这条线，我们发现满足 $x+y\leq 4$ 的点是阴影三角形中的点（见图）。三角形的面积为 $\frac{1}{2}(4)(4)=8$ 平方单位，矩形的面积为 $(4)(8)=32$ 平方单位，因此随机选择的点落在阴影三角形中的概率为 $\boxed{\frac{1}{4}}$。

受保护_32

答案：

$\frac{1}{4}$

157.

问题：

两个跑步者 $A$ 和 $B,$ 从直线轨道上的点 $O$ 开始，并开始朝同一方向奔跑。跑步者 $B$ 的跑速是跑步者 $A 的三倍。$ 观察者站在 $P$ 点，使得 $\overline{OP}$ 垂直于跑道。求 $\angle APB,$ 的最大值（以度为单位）。

受保护_33

解决方案：

不失一般性，假设 $OP = 1.$ let $OA = x$ 和 $OB = 3x.$ let $\alpha = \angle OPA$ 和 $\beta = \angle OPB,$ 所以 $\tan \alpha = x$ 和 $\tan \beta = 3x,$ 所以从角度减法公式，

我们想要最大化这个表达。最大化这个表达式相当于最小化 $\frac{1 + 3x^2}{2x}.$ 通过 AM-GM， $[\frac{1 + 3x^2}{2x} \ge \frac{2 \sqrt{1 \cdot 3x^2}}{2x} = \frac{2x \sqrt{3}}{2x} = \sqrt{3},]$ 所以 $[\tan \angle APB \le \frac{1}{\sqrt{3}},]$ 表示 $\angle APB \le 30^\circ。$ 当 $x = \frac{1}{\sqrt{3}},$ 时相等，因此 $\angle APB$ 的最大值为 $\boxed{30^\circ}。$

答案：

$30^\约$

158.

问题：

计算 $a+b+c,$，$a,$ $b,$ 和 $c$ 是 $[\frac{1}{x} + 5x^2 = 6x - 24.]$ 的根。

解决方案：

我们想要应用 Vieta 公式，但由于存在 $\frac1x$ 项，给定的方程不是多项式方程。为了将此方程变成等价的多项式方程，我们将两边乘以 $x$ 并重新排列： $[\begin{aligned} 1+5x^3 &= 6x^2 - 24x \ 5x^3 - 6x^2 + 24x + 1 &= 0 .\end{aligned}]$ 现在我们可以使用 Vieta：根之和为$a+b+c=\boxed{\frac65}.$

答案：

$\frac65$

159.

问题：

100 到 200 之间所有 7 的倍数之和是多少？

解决方案：

100 到 200 之间 7 的最小倍数是 105，最大倍数是 196。因此，我们要求算术级数 $105 + 112 + \dots + 196$ 的和。

该算术数列中的 $n^{\text{th}}$ 项是 $105 + 7(n - 1) = 7n + 98$。如果 $7n + 98 = 196$，则 $n = 14$，因此该序列中的项数为 14。算术级数的总和等于第一项和最后一项的平均值乘以项数，因此总和为 $(105 + 196)/2 \cdot 14 = \boxed{2107}$。

答案：

2107

160.

问题：

二次方程 $x^2+(2.6)x+3.6$ 可以写成 $(x+b)^2+c$ 的形式，其中 $b$ 和 $c$ 是常数。 $b+c$ 是什么（十进制）？

解决方案：

我们完成了广场。

我们有 $(x+1.3)^2 = x^2 + (2.6)x + 1.69$，所以

因此，$b=1.3$ 和 $c=1.91$，这给我们 $b+c = \boxed{3.21}$。

答案：

3.21

161.

问题：

两个连续正偶数的乘积是 288。这两个整数中较大的一个是多少？

解决方案：

首先，我们发现 288 的质因数分解为 $2^5\cdot 3^2$，我们必须将这些因式分解为两个连续的偶数。 3 必须至少有一个 2 才能成为偶数，这意味着其中一个因数必须是 $6 的倍数。经过一番研究，我们发现当一个因数为 18 时，剩下 $2^4=16$。因此，我们的两个整数是 16 和 18，较大的整数是 $\boxed{18}$。

答案：

18

162.

问题：

评估$\log_264$。

解决方案：

我们有 $2^6=64$，所以 $\log_2 64 = \boxed{6}$。

答案：

6

163.

问题：

集合 \(\{1,2,3,\ldots,100\}\) 中随机选择的整数能被 2 整除且不能被 3 整除的概率是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

因为 $100 = 50\cdot 2$，所以集合中有 50 个整数可以被 2 整除。其中也可以被 3 整除的数字是集合中 6 的倍数。 100 除以 6 得到 $16\frac23$，因此该集合中有 16 个 6 的倍数，这使得 $50-16 = 34$ 2 的倍数不是 3 的倍数。该集合中有 100 个数字，因此所需的概率为 $\dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}}$。

答案：

$\dfrac{17}{50}$

164.

问题：

如果 $-6\leq a \leq -2$ 和 $3 \leq b \leq 5$，$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{b}-a\right) $ 的最大可能值是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

给定表达式扩展为 $\frac{1}{b^2} - a^2$。因此，我们希望 $b$ 具有尽可能小的大小，并且 $a$ 也具有尽可能小的大小。因此，我们的最大值是 $\frac{1}{3^2} - (-2)^2 = \boxed{-\frac{35}{9}}$。

答案：

$-\frac{35}{9}$

165.

问题：

化简 $\tan 100^\circ + 4 \sin 100^\circ.$

解决方案：

我们有那个

由双角公式，

通过总和乘积， $[\sin 20^\circ - \sin 80^\circ = 2 \cos 50^\circ \sin (-30^\circ) = -\cos 50^\circ,]$ 所以

通过总和乘积， $[\sin 20^\circ - \sin 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \sin (-10^\circ) = -\sqrt{3} \sin 10^\circ,]$ 所以 $\frac{\sin 20^\circ - \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \boxed{-\sqrt{3}}.$

答案：

$-\sqrt{3}$—

166.

问题：

一个书柜有3个书架，共有24本书。最上面的书架有八本神秘书。中间的书架有 10 本数学书。最底层的书架有 6 本科学书籍。现在每个书架上都取下了两本书。三个书架上剩下的书有多少是数学书？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

书架上有 6 本书被移除，因此剩下 24-6=18$ 的书。其中，$10-2=8$是数学书。因此，剩余书籍中的 $8/18=\boxed{\frac{4}{9}}$ 是数学书籍。

答案：

$\frac{4}{9}$

167.

问题：

正方形和正七边形共面并共享公共边 $\overline{AD}$，如图所示。角度 $BAC$ 的度数是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

受保护_34

解决方案：

规则 $n$ 边形中每个内角的度量为 $180(n-2)/n$ 度。因此，角度 $\angle BAD$ 的测量值为 $180(7-2)/7=\frac{900}7$ 度，角度 $CAD$ 的测量值为 90 度。它们的差值 $\angle BAC$ 测量为 $[\frac{900}7-\frac{630}7=\boxed{\frac{270}7\text{ Degrees}}。]$

答案：

$\frac{270}7\text{ 度}$

168.

问题：

圆锥体的体积由公式 $V = \frac{1}{3}Bh$ 给出，其中 $B$ 是底面积，$h$ 是高度。圆锥体的底面积为 30 平方单位，高为 6.5 单位。它的体积有多少立方单位？

解决方案：

已知 $B = 30$ 和 $h = 6.5$，并要求找到 $\frac{1}{3}Bh$。我们发现 $[\frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}(30)(6.5) = (10)(6.5) = \boxed{65}.]$

答案：

65

169.

问题：

共有 70 个三种大小的正方形，其顶点是这个矩形 $3\times n$ 点网格上的点。 $n$ 的价值是多少？

受保护_35

解决方案：

图中$1\times1$方格的数量为$2(n-1)$，$2\times 2$方格的数量为$n-2$，$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$方格的数量也是$n-2$（见图）。解决$[ 2(n-1)+n-2+n-2=70 ]$ 我们找到$n=\boxed{19}$。

受保护_36

答案：

19

170.

问题：

边长分别为 5、5 和 6 个单位的三角形，其面积中的平方单位数是多少？

解决方案：

该三角形是等腰三角形，因此长度为 6 的边的高度必须在该边的中点处。因此，我们的三角形被分成两个直角三角形，斜边为 $5$，一侧长度为 $3$。因此，每个三角形都是一个 $3-4-5$ 三角形，每个三角形的面积为 $\frac{3 \times 4}{2} = 6$，总面积为 $\boxed{12}$。

答案：

12

171.

问题：

求两个方程 $y=x^2-8$ 和 $y^2=-5x+44$ 的所有不同解 $(x,y)$ 的 $y$ 坐标的乘积。

解决方案：

对 $y=x^2-8$ 进行平方，我们得到 $y^2=x^4-16x^2+64$。让右边相等，我们发现

因此，其中一个解决方案的 $x$ 值为 $-4$。然后是多项式$x^3-4x^2+5$。现在唯一可能的有理根是 $\pm1$ 和 $\pm5$。使用合成或长除法，可以确定 $(x+1)$ 是一个因子： $[(x+1)(x^2-5x+5)=x^3-4x^2+5]$ 因此，其中一个解的 $x$ 值为 $-1$。因为 $x^2-5x+5$ 不容易因式分解，所以我们使用二次公式得到

\(\开始{对齐*} x&=\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot1\cdot5}}{2}\quad\Rightarrow\\ &=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}。 \结束{对齐*}\)$x$ 的四个值是 $-4, -1, \frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$。每个平方：$[(-4)^2=16]$ $[(-1)^2=1]$ $[\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{25+10\sqrt{5}+5}{4}=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}]$ $[\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{25-10\sqrt{5}+5}{4}=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}]$ 减去 $8$: $[16-8=8]$ $[1-8=-7]$ $[\frac{15+5\sqrt{5}}{2}-\frac{16}{2}=\frac{-1+5\sqrt{5}}{2}]$ $[\frac{15-5\sqrt{5}}{2}-\frac{16}{2}=\frac{-1-5\sqrt{5}}{2}]$ 因此，四个解是\((-4,8),(-1,-7),\) \(\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2},\frac{-1+5\sqrt{5}}{2}\right),\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2},\frac{-1-5\sqrt{5}}{2}\right)。\)

乘以 $y$ 坐标：$[8\cdot-7\cdot\frac{-1+5\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{-1-5\sqrt{5}}{2}=\frac{-56(1-25\cdot5)}{4}=\boxed{1736}.]$

答案：

1736

172.

问题：

路易斯和杰克正在分享一个馅饼。路易斯吃了 $\frac{1}{5}$ 馅饼，杰克吃了 $\frac{2}{3}$ 馅饼。路易斯和杰克总共吃了多少馅饼？

解决方案：

分母 $5$ 和 $3$ 的公倍数是 $15$。我们用它来写 $\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{3}=\frac{3}{15}$ 和 $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{5}=\frac{10}{15}$。然后，我们可以通过添加分子并保留分母来添加分数。我们有 \(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}=\frac{3}{15}+\frac{10}{15}=\frac{3+10}{15}=\boxed{\frac{13}{15}}。\)

答案：

$\frac{13}{15}$

173.

问题：

如果等差数列的第四项是 $200$，第八项是 $500$，那么第六项是多少？

解决方案：

第六项恰好位于等差数列第四项和第八项的中间，因此它是两项的平均值。因此，第六项是 $(200 + 500)/2 = \boxed{350}$。我们还可以通过注意到第四项和第八项之间有四个步骤来发现共同的差异。因此，如果 $d$ 是公差，则 $4d = 500-200 = 300$。因此，我们发现$d=75$。第六项是第四项之后的两步，即 $200 + 2d = \boxed{350}$。

答案：

350

174.

问题：

考虑几何级数 $4+\frac{12}{a}+\frac{36}{a^2}+\cdots$。如果总和是完全平方数，那么当 $a$ 是正整数时，$a$ 的最小可能值是多少？

解决方案：

我们使用公式$\left(\frac{\text{第一项}}{1-(\text{公比})}\right)$计算几何级数的和，得到总和$\left(\frac{4}{1-\frac{3}{a}}\right)=\frac{4}{\frac{a-3}{a}}=\frac{4a}{a-3}$。我们希望 $\frac{4a}{a-3}$ 是一个完美的平方 $b^2$，其中 $b$ 是一个正整数。因此，我们有 $4a=b^2(a-3)$ 并开始尝试 $b$ 的值，直到得到正整数 $a$。 如果$b=1$，则$4a=a-3$，但这意味着$a=-1$。 如果$b=2$，则$4a=4(a-3)\qquad\Rightarrow 0=-12$。 如果 $b=3$，则 $4a=9(a-3)\qquad\Rightarrow -5a=-27$，这不会产生 $a$ 的整数值。 如果$b=4$，那么$4a=16(a-3)\qquad\Rightarrow -12a=-48$，所以$a=\boxed{4}$，这是一个正整数。

或

为了使无限几何级数收敛，公比必须在 $-1$ 和 $1$ 之间。因此$\frac{3}{a}$必须小于1，这意味着$a$大于3。我们尝试$a=4$并得到$\left(\frac{4}{1-\frac{3}{4}}\right)=\left(\frac{4}{\frac{1}{4}}\right)=4\cdot4=16$，这是一个完全平方数。

答案：

4

175.

问题：

抛物线 $x = y^2 - 4y - 1$ 的图形有多少个 $y$ 截距？

解决方案：$y$ 截距是图形上位于 $y$ 轴上的点，因此 $x = 0$。因此，$y$ 截距数对应于二次方程 $y^2 - 4y - 1 = 0$ 的实数解的数量。该二次方程的判别式为 $(-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 20$，为正，因此该二次方程有两个不同的实根。因此，$y$截距的数量为$\boxed{2}$。

受保护_37

答案：

2

176.

问题：

如果 $m$ 和 $n$ 是整数，使得 $3m + 4n = 100$，那么 $\left|m - n \right|$ 的最小可能值是多少？

解决方案：

从 $3m + 4n = 100$ 我们可以得到 $n = 25 - \frac{3}{4}m$。然后我们要最小化 \(\left\|m - n \right\| = \left\|m - 25 + \frac{3}{4}m \right\| = \left\|\frac{7}{4}m - 25 \right\| = \left\|7m - 100 \right\|\) 换句话说，我们希望 $7m$ 尽可能接近 $100$，同时仍然为我们提供方程 $3m + 4n = 100$ 的 $m$ 和 $n$ 的整数解。

通过反复试验，我们可以发现，使$m$最接近$\frac{100}{7}$的$3m + 4n = 100$的解是$(m,n) = (16,13)$。那么我们有 $\left|m - n \right| = 16-13 =\盒装{3}$。

答案：

3

177.

问题：

将 $\frac{21}{2^2 \cdot 5^7}$ 转换为终止小数。

解决方案：

终止小数可以写成 $\frac{a}{10^b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。因此，我们尝试获得 $10^b$ 形式的分母： \(\frac{21}{2^2\cdot5^7}\cdot\frac{2^5}{2^5}=\frac{21\cdot32}{10^7}=\frac{672}{10^7}=\boxed{.0000672}.\)

答案：

.0000672

178.

问题：

在图中，四个半径为 1、中心为 $P$、$Q$、$R$ 和 $S$ 的圆彼此相切，并且与 $\三角形 ABC$ 的边相切，如图所示。

受保护_38

三角形 $PQS$ 中最小角的度数是多少？

解决方案：

加入 $PQ$、$PR$、$PS$、$RQ$ 和 $RS$。由于以 $Q$、$R$ 和 $S$ 为圆心的圆都与 $BC$ 相切，因此 $QR$ 和 $RS$ 均与 $BC$ 平行（因为圆心 $Q$、$R$ 和 $S$ 均比 $BC$ 高 1 个单位）。这告诉我们 $QS$ 通过 $R$。当相切圆的中心相连接时，形成的线段穿过相关的切点，因此长度等于这些圆的半径之和。因此$QR=RS=PR=PS=1+1=2$。

受保护_39

由于$PR=PS=RS$，我们知道$\triangle PRS$是等边的，因此$\angle PSR=\angle PRS=60^\circ$。由于 $\angle PRS=60^\circ$ 且 $QRS$ 是一条直线，因此我们有 $\angle QRP=180^\circ-60^\circ=120^\circ$。由于$QR=RP$，我们知道$\triangle QRP$是等腰的，所以\(\angle PQR = \frac{1}{2}(180^\circ-120^\circ)= 30^\circ。\)由于$\angle PQS=30^\circ$和$\angle PSQ=60^\circ$，我们有$\angle QPS = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$，因此 $\triangle PQS$ 是 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 三角形。因此，答案是$\boxed{30^\circ}$。

答案：

$30^\约$

179.

问题：

$10 \times 15 \times 24$ 乘积的正平方根是多少？

解决方案：

我们可以看到

答案：

60

180.

问题：

求包含点 $(0,-1,-1),$ $(-4,4,4),$ 和 $(4,5,1).$ 的平面方程 在表格中输入您的答案 $[Ax + By + Cz + D = 0,]$ 其中 $A,$ $B,$ $C,$ $D$ 是整数，使得 $A > 0$ 且 $\gcd(\left|A\right|,\left|B\right|,\left|C\right|,\left|D\right|) = 1.$

解决方案：让 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \ -1 \ -1 \end{pmatrix},$ $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -4 \ 4 \ 4 \end{pmatrix},$ 和 $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 1 \end{pmatrix}.$ 然后是法向量平面的垂直于两者 $[\mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 5 \end{pmatrix}]$ 和 $[\mathbf{c} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \ 6 \ 2 \end{pmatrix}.]$ 因此，为了计算法向量，我们采用这些向量的叉积： $[\begin{pmatrix} -4 \ 5 \ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \ 6 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 28 \ -44 \end{pmatrix}.]$ 我们可以缩放这个向量，并取 $\begin{pmatrix} 5 \ -7 \ 11 \end{pmatrix}$ 作为法线向量。那么平面方程的形式为 $[5x - 7y + 11z + D = 0.]$代入任意一点的坐标，我们发现平面的方程为$\boxed{5x - 7y + 11z + 4 = 0}.$

答案：

$5x - 7y + 11z + 4 = 0$

181.

问题：

有多少个正两位数整数同时是 100 和 150 的因数？

解决方案：

100 的因数有 1、2、4、5、10、20、25、50、100。其中 $\boxed{3}$ 因数 10、25 和 50 有两位数，也是 150 的因数。

答案：

3

182.

问题：

化简并用有理分母写出结果： \(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{729}}}}\)

解决方案：

首先，请注意 $729=3^6$。我们可以从最里面的平方根开始简化： \(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{729}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{27}}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

答案：

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

183.

问题：

贝克中学三分之二的学生学习音乐。有834名学生学习音乐。贝克中学有多少学生？

解决方案：

如果贝克中学有 $S$ 学生，则 $\frac{2}{3}S$ 学生学习音乐。设$\frac{2}{3}S$等于834，两边乘以$\frac{3}{2}$，我们发现学校有$\frac{3}{2}\times 834=\boxed{1251}$个学生。

答案：

第1251章

184.

问题：

如果我们将 $\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$ 写成 $\dfrac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3}}{c}$ 的形式，使得 $a$、$b$ 和 $c$ 都是正整数，并且 $c$ 尽可能小，那么 $a+b+c$ 是多少？

解决方案：

所需的公分母是 $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}$。因此，该表达式变为 $\frac{\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})+1\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})+1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$。简化后得到 $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$。为了有理化，将分子和分母乘以 $\sqrt{6}$ 得到 $\frac{4\sqrt{2}\sqrt{6}+3\sqrt{3}\sqrt{6}}{6}$。化简得到 ${\frac{9\sqrt{2}+8\sqrt{3}}{6}}$，因此所需的总和为 $9+8+6=\boxed{23}$。

答案：

23

185.

问题：

设$a、$$b、$和$c$为正实数。找出所有可能值的集合 $[\frac{c}{a} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c}.]$

解决方案：

让 $[S = \frac{c}{a} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c}.]$ 那么 $[S + 1 = \frac{c}{a} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c} + 1 = \frac{c}{a} + \frac{a}{b + c} + \frac{b + c}{c}。]$ 由 AM-GM 提供，

请注意，当且仅当 $[\frac{c}{a} = \frac{a}{b + c} = \frac{b + c}{c} = 1.]$ 由于 $b$ 和 $c$ 为正， $[\frac{b + c}{c} > 1,]$ 这告诉我们不可能发生相等。因此，$S + 1 > 3,$ 这意味着$S > 2.$我们声称 $S$ 可以接受所有大于 2 的实数。令 $c = a,$ 所以 $[S = 1 + \frac{a}{b + a} + \frac{b}{a}.]$ 随着 $b$ 接近 0，这个表达式接近 2。这告诉我们，我们可以根据需要使这个表达式任意接近 2。

另一方面，当 $b$ 变得非常大时，表达式 Also 也变得非常大。这告诉我们我们可以让这个表达式任意大。因此，通过连续性论证，$S$ 可以采用 $\boxed{(2,\infty)}.$ 中的所有值

答案：

$(2,\infty)$

186.

问题：

求 $k$，如果 ${(3^k)}^6=3^6$。

解决方案：

遵循指数定律，${(3^k)}^6=3^{6k}$。因为 $3^{6k}=3^6$，我们有 $6k=6$，除以 6，得到 $k=\boxed{1}$。

答案：

1

187.

问题：

对于多少个正整数 $n>1$，$2^{24}$ 是完美的 $n^{\text{th}}$ 次方？

解决方案：

请注意，当且仅当 $n$ 是 24 的约数时，$2^{24}$ 才是完美的 $n$ 次方。24 大于 1 的因数是 2、3、4、6、8、12 和 24，因此我们有 $\boxed{7}$ 个可能的 $n$ 值。

答案：

7

188.

问题：

希拉里有十一枚硬币，全是一角硬币和五分硬币。这些硬币总共价值 75 美分。她有多少镍币？

解决方案：

设希拉里拥有的一毛钱数量为$d$，她拥有的镍币数量为$n$。我们有两个方程

（最后一个方程以分为单位。）为了使第二个方程更好，我们将两边除以 5 得到 $2d+n=15$。从第一个给定的方程，我们有 $d=11-n$。将其代入简化的第二个给定方程以消除 $d$，我们得到 $2(11-n)+n=15\Rightarrow n=7$。因此，希拉里有 $\boxed{7}$ 镍币。

答案：

7

189.

问题：

求$f(x)=e^{3x^2-\left|\lfloor x \rfloor \right|!}+\binom{22+735235\left|\lfloor x \rfloor \right|}{2356}+\phi(\left|\lfloor x \rfloor)的最大$x$值\right|+1)+72x^4+3x^3-6x^2+2x+1$ 和 $g(x)=e^{3x^2-\left|\lfloor x \rfloor \right|!}+\binom{22+735235\left|\lfloor x \rfloor \right|}{2356}+\phi(\left|\lfloor x \rfloor \right|+1)+72x^4+4x^3-11x^2-6x+13$ 相交，其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示 $x$ 的下取函数，$\phi(n)$ 表示与 $n$ 互质的正整数 $\le$ 之和。

解决方案：

函数中混乱的部分是无关紧要的。对于交集来说，最重要的是 $f(x)-g(x)=0$ 是否成立。由于 $g(x)-f(x)=x^3-5x^2-8x+12=(x-6)(x+2)(x-1)$，图形相交处 $x$ 的最大值为 $x=\boxed{6}$。

答案：

6

190.

问题：

五个点 $A$、$B$、$C$、$D$ 和 $O$ 位于平坦的场地上。 $A$ 位于 $O$ 正北，$B$ 位于 $O$ 正西，$C$ 位于 $O$ 正南，$D$ 位于 $O$ 正东。 $C$ 和 $D$ 之间的距离为 140 m。热气球位于 $O$ 正上方的 $H$ 处。气球由四根绳子 $HA$、$HB$、$HC$ 和 $HD$ 固定到位。绳索 $HC$ 的长度为 150 m，绳索 $HD$ 的长度为 130 m。

受保护_40

为了减少所用绳索的总长度，绳索$HC$和绳索$HD$将被单根绳索$HP$替代，其中$P$是$C$和$D$之间的直线上的点。 （气球保持在 $O$ 上方的相同位置 $H$，如上所述。）确定可以节省的最大绳索长度。

解决方案：

为了节省最多的绳子，我们必须让 $HP$ 具有最小长度。 为了使 $HP$ 具有最小长度，$HP$ 必须垂直于 $CD$。

受保护_41

（除此之外，我们可以从该图中看到，将 $P$ 滑离垂直位置确实会使 $HP$ 变长。） 图中，$HC=150$，$HD=130$，$CD=140$。 让$HP=x$ 和$PD=a$。那么$CP=140-a$。 根据 $\triangle HPC$ 中的毕达哥拉斯定理，$x^2 + (140-a)^2 = 150^2$。 根据 $\triangle HPD$ 中的毕达哥拉斯定理，$x^2+a^2 = 130^2$。 从第一个方程中减去第二个方程，我们得到

因此，$x^2 + 90^2 = 150^2$ 或 $x^2 = 150^2 - 90^2 = 22500 - 8100 = 14400$，因此 $x =120$。 因此，我们可以使用的最短绳索是 120 m，这可以节省 $130+150-120 = \boxed{160}$ m 绳索。

答案：

160

191.

问题：

保罗和杰西各自从前六个素数中随机选择一个数字。他们选择的数字之和为偶数的概率是多少？

解决方案：

保罗和杰西选择的数字之和为奇数的唯一方法是，其中一个选择 2，另一个选择奇数质数。 Paul 选择 2 和 Jesse 选择奇质数有五种方式，而 Jesse 选择 2 和 Paul 选择奇质数也有五种方式。由于 Paul 和 Jesse 共有 $6\cdot 6=36$ 种可能的选择方式，因此 Paul 和 Jesse 选择的数字之和不为偶数的概率为 $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$。因此，Paul 和 Jesse 选择的数字之和为偶数的概率为 $1-\frac{5}{18}=\boxed{\frac{13}{18}}$。

答案：

$\frac{13}{18}$

192.

问题：

点$(a, b)$ 位于等式$3x + 2y = 12 的直线上。$当$a = 4$ 时，$b$ 的值为多少？

解决方案：

我们代入 $x = 4$：

因此，$b = \boxed{0}$。

答案：

0

193.

问题：

在$\三角形PQR$中，我们有$PQ = QR = 34$和$PR = 32$。求中位数$\overline{QM}$的长度。

解决方案：

因为 $\triangle PQR$ 是等腰且 $PQ=QR$，所以中位数 $\overline{QM}$ 也是一个高度：

受保护_42

我们有 $MP = PR/2 = 16$，所以直角三角形 $PQM$ 给我们

我们可能还认识到$PM/PQ = 8/17$，因此$QM/PQ = 15/17$。

答案：

30

194.

问题：

具有整数系数的多项式的形式为 $[2x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 1 = 0.]$ 找出该多项式的不同可能有理根的数量。

解决方案：

根据有理根定理，唯一可能的有理根的形式为 $\pm \frac{a}{b},$，其中 $a$ 除 1，$b$ 除 2。因此，可能的有理根为 $[\pm 1, \ \pm \frac{1}{2}.]$ 因此，有 $\boxed{4}$ 个可能的有理根。

答案：

4

195.

问题：

找出最大值 $[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6}]$ 对所有实数 $x$ 和 $y.$

解决方案：

显然，当 $x$ 为正且 $y$ 为负时出现最大值。让 $z = -y,$ 因此 $z$ 为正数，并且 $y = -z.$ 然后 $[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6} = \frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6}。]$ 由 AM-GM 提供， $[x^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{x^4} = 4x,]$ 和 $[z^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{z^4} = 4z.]$ 那么 $x^4 + z^4 + 6 \ge 4(x + z),$ 这意味着 $[\frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6} \le \frac{1}{4}.]$ 当 $x = z = 1,$ 时相等，因此最大值为 $\boxed{\frac{1}{4}}.$

答案：

$\frac{1}{4}$

196.

问题：

令 $p(x)$ 为 4 次一元多项式。$p(x)$ 的三个根是 1、2 和 3。求 $p(0) + p(4).$

解决方案：由于 $p(x)$ 的三个根是 1、2 和 3，所以我们可以写成 $[p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r).]$ 那么 \(\开始{对齐*} p(0) + p(4) &= (-1)(-2)(-3)(-r) + (3)(2)(1)(4 - r) \\ &= 6r + 24 - 6r = \boxed{24}。 \结束{对齐*}\)

答案：

24

197.

问题：

$441+2(21)(19)+361=x$。求解 $x$。

解决方案：

我们注意到 $361=19^2$ 和 $441=21^2$，因此 $x=21^2+2(21)(19)+19^2$。这只是 $(21+19)^2=40^2=\boxed{1600}$ 的二项展开式。

答案：

1600

198.

问题：

如果$x^3$是$10的正因数！,$$x$有多少个可能的整数值？ （提醒：对于正整数 $n$，表达式 $n!$ 代表从 1 到（包括）$n$ 的整数的乘积。）

解决方案：

首先，我们考虑 $10!:$

因此，$x$ 可以是 $1, 2^1, 2^2, 3, 2^1\cdot 3,\text{ 或 }2^2\cdot 3$，总共 $\boxed{6}$ 个可能的 $x 值。$

答案：

6

199.

问题：

如果 6 个女孩和 2 个男孩坚持坐在一起，有多少种坐法？

解决方案：

我们可以将这两个男孩视为一个人，先安排“``七”人，然后再安排两个男孩。因此，男孩们坐在一起的座位安排数量为 $7!\times 2!=\boxed{10,!080}$。

答案：

$10,!080$

200。

问题：

7、2、$x$ 和 10 的算术平均值是 9。$x$ 的值是多少？

解决方案：

如果这 4 个数字的平均值为 9，则它们的总和必须为 $4\times 9 = 36$。然后，我们只需从 36 中减去其他三个数字：$36 - 7 - 2 - 10 = \boxed{17} = x$。

答案：

17 号

##201.

问题：

如果 4 个 daps = 7 个 yaps，5 个 yaps = 3 个 bap，那么多少个 daps 等于 42 个 bap？

解决方案：

将 $5\text{ yaps}=3\text{ baps}$ 乘以 14，发现 70 yaps 等于 42 bap。然后将 $4\text{ daps}=7\text{ yaps}$ 乘以 10，即可发现 $\boxed{40}$ daps 等于 70 yaps。

答案：

40

##202.

问题：

一组 $N$ 学生（其中 $N < 50$）正在进行实地考察。如果老师将他们分成 8 人一组，则最后一组有 5 名学生。如果老师将他们分成 6 人一组，则最后一组有 3 名学生。 $N$ 所有可能值的总和是多少？

解决方案：

我们得到 $N\equiv 5\pmod{8}$ 和 $N\equiv 3\pmod{6}$。我们开始检查比 8 的倍数大 5 的数字，我们发现 5 和 13 并不比 6 的倍数大 3，但 21 比 6 的倍数大 3。因此 21 是 $N$ 的一个可能值。根据中国余数定理，满足 $x\equiv 5\pmod{8}$ 和 $x\equiv 3\pmod{6}$ 的整数 $x$ 的形式为 $x=21+\text{lcm}(6,8)k = 21 + 24 k$，其中 $k$ 是整数。因此，小于 $50$ 的 2 个解为 21 和 $21+24(1) = 45$，它们的总和为 $21+45=\boxed{66}$。

答案：

66

##203.

问题：

爱丽丝和鲍勃正在玩游戏。爱丽丝先开始。轮到爱丽丝时，她掷硬币。如果她得到正面，她就赢了。如果没有，就轮到鲍勃了。轮到鲍勃时，他掷硬币。如果他得到反面，他就赢了。如果没有，就轮到爱丽丝了。爱丽丝赢得比赛的概率是多少？

解决方案：Alice 在第一回合有 $1/2$ 的机会赢得游戏。如果她不这样做，那么她在第二回合赢得游戏的概率为 $1/8,$，因为她在第一次翻转中一定不会获胜（$1/2$ 机会），鲍勃在第一次翻转中一定不会获胜（$1/2$ 机会），然后爱丽丝必须在第二次翻转中获胜（$1/2$ 机会）。她在第三回合赢得游戏的概率为 $1/32,$，一般来说，她在 $k^\text{th}$ 回合赢得游戏的概率为 $(1/2)^{2k-1}。$ 因此，Alice 获胜的概率是一个无限几何级数，第一项为 $1/2$，公比为 $1/4。$ 因此，Alice 赢得游戏的概率为 \(\frac{\frac12}{1-\frac14} = \boxed{\frac{2}{3}}.\)OR

请注意，爱丽丝或鲍勃获胜的几率之间的唯一区别在于谁先走。因为鲍勃排在第二位，所以他在 $k^\text{th}$ 翻转中获胜的几率是爱丽丝在 $k^\text{th}$ 翻转中获胜的几率的一半，因为在鲍勃有机会获胜之前，爱丽丝必须先得到反面。因此，如果 $a$ 是 Alice 获胜的机会，$b$ 是 Bob 获胜的机会，则 $a = 2b.$ 另外，由于必须有人获胜，$a + b = 1.$ 由此可见 $a = 2/3$ 且 $b = 1/3,$ 因此 Alice 有 $\boxed{\frac{2}{3}}$ 赢得比赛的机会。

答案：

$\frac{2}{3}$

##204.

问题：

求 $(5x + 9)^{611} + (x + 5)^{11} + (x - 1)^{11} + 3x^2 + 1$ 除以 $x + 2 的余数。$

解决方案：

根据余数定理，为了求余数，我们设置 $x = -2.$ 这给了我们 $[(-1)^{611} + 3^{11} + (-3)^{11} + 3(-2)^2 + 1 = \盒装{12}。]$

答案：

12

##205.

问题：

令 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 为不同的复数，使得 $\left|a\right| = \左|b\右| = \左|c\右| = \左|d\右| = 1$ 和 $a + b + c + d = 0.$ 找到最大值 $[\left|(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d)\right|.]$

解决方案：

由于$\left|a\right| = 1,$ $a \overline{a} = \left|a\right|^2,$ 所以 $\overline{a} = \frac{1}{a}.$ 类似地，$\overline{b} = \frac{1}{b},$ $\overline{c} = \frac{1}{c},$ 和 $\overline{d} = \frac{1}{d}.$

根据方程 $a + b + c + d = 0,$ $\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d} = 0,$ 所以 $[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0.]$ 这给我们 $abc + abd + acd + bcd = 0.$

然后根据 Vieta 的公式，$a,$ $b,$ $c,$ $d$ 是以下形式的多项式的根 $[z^4 + p_2 z^2 + p_0 = 0.]$ 如果 $z$ 是该多项式的根，那么 $-z 也是。$ 这意味着 $-a$ 等于 $b,$ $c,$ 或 $d,$ 之一，所以 $[(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) = 0.]$因此最大值为$\boxed{0}.$

答案：

0

##206.

问题：

设 $\mathbf{A}$ 为矩阵，使得 $[\mathbf{A} \begin{pmatrix} 3 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -3 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{A} \begin{pmatrix} -5 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -5 \ -5 \end{pmatrix}.]$ 查找 $\mathbf{A} \begin{pmatrix} -13 \ 3 \ 4 \end{pmatrix}.$

解决方案：

减去方程 $\mathbf{A} \begin{pmatrix} 3 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -3 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{A} \begin{pmatrix} -5 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -5 \ -5 \end{pmatrix},$ 我们得到 $[\mathbf{A} \begin{pmatrix} -8 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ -9 \ -2 \end{pmatrix}.]$ 然后添加方程 $\mathbf{A} \begin{pmatrix} -5 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -5 \ -5 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{A} \begin{pmatrix} -8 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ -9 \ -2 \end{pmatrix},$ 我们得到 $[\mathbf{A} \begin{pmatrix} -13 \ 3 \ 4 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -2 \ -14 \ -7 \end{pmatrix}}.]$

答案：$\begin{pmatrix} -2 \ -14 \ -7 \end{pmatrix}$

##207.

问题：

一条线的参数化为 $[\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}.]$ 直线方程可以表示为 $y = mx + b.$ 输入有序对 $(m,b).$

解决方案：

我们有 $x = 8 + 2t$ 和 $y = -1 + 3t。$ 将 $t$ 隔离在 $x = 8 + 2t,$ 中，我们发现 $[t = \frac{x - 8}{2}.]$ 那么 \(\开始{对齐*} y &= -1 + 3t \\ &= -1 + 3 \cdot \frac{x - 8}{2} \\ &= \frac{3}{2} x - 13。 \end{align*}\) 因此，$(m,b) = \boxed{\left( \frac{3}{2}, -13 \right)}.$

答案：

$\left(\frac{3}{2}, -13 \right)$

##208.

问题：

米卡想要点一份有两种不同配料的披萨。他有8种不同的配料可供选择。他可以点多少种不同的披萨？

解决方案：

配料有8种选择，我们需要选择2种不同的配料。这由 8 元素集合的 2 元素子集的数量来表示。我们使用二项式系数 ${8 \choose 2} = \boxed{28}$ 来计算。

答案：

28

##209.

问题：

前一百个正整数中有多少个可以被 $3、4、$ 和 $5 整除？$

解决方案：

我们可以通过整除规则来做到这一点，但这会非常乏味。更容易注意到，能被 $3、4、$ 和 $5$ 整除的数字必须能被它们的乘积整除，$3 \times 4 \times 5 = 60$。这是因为一个能被几个整数整除的数字必须能被它们的最小公倍数整除——然而，由于 $3、4、$ 和 $5$ 互质，所以最小公倍数只是这三个数的乘积。显然，$1$ 到 $100$ 之间只有一个数字可以被 $60;$ 整除，即 $60$ 本身。因此只有$\boxed{1}$这样的数字。

答案：

1

##210.

问题：

两位整数 $``\text{AB}”$ 立方后，值为 $912,!673$。$A + B$ 是多少？

解决方案：

由于$90^3=729,!000$,$\text{AB}$大于90。因此$\text{A}=9$。由于$\text{AB}^3$的个位是3，所以$\text{AB}$一定是奇数。 $\text{AB}^3$ 的个位与 $\text{B}^3$ 的个位相同，所以我们看奇数位的立方的个位。 $[ $$\begin{数组}{c} \text{}1^3 \text{ 的个位是 } 1. \ \text{}3^3 \text{ 个位是 } 7. \ \text{}5^3 \text{ 个位是 } 5. \ \text{}7^3 \text{ 个位是 } 3. \ \text{}9^3 \text{ 个位是 } 9. \结束{数组} ]$ 只有 $7^3$ 个位数为 3，所以 $\text{B}=7$。因此，$\text{A}+\text{B}=9+7=\boxed{16}$。

答案：

16

##211.

问题：

十二个 1 × 1 的正方形组成一个矩形，如图所示。阴影部分的总面积是多少？

受保护_43

解决方案：

矩形的总面积为 $3 \times 4 =12$。阴影区域的总面积等于矩形 (12) 的总面积减去非阴影区域的面积。非阴影区域是底长为1、高为4的三角形；该区域的面积为 $\frac{1}{2}(1)(4)=2$。因此，阴影区域的总面积为 $12 - 2 = \boxed{10}$。

答案：

10

##212.

问题：

将 $5^5\div5^4-5^3+5^2\cdot5^1$ 表示为整数。

解决方案：

回想一下，$a^m\div a^n=a^{m-n}$ 表示正整数 $m>n$ 和 $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$。现在我们可以将 $5^5\div5^4-5^3+5^2\cdot5^1$ 写为 $5^1-5^3+5^3$。利用减法的定义和加法的结合律，我们得到

答案：

5

##213.

问题：最近，弗兰克参加了一百个问题能力倾向测试，每个正确答案得分为 5 美元，每个错误答案得分为 -2 美元，每个未回答问题得分为零。 Frank 回答了 80 美元的问题并获得了 232 美元的积分。他正确回答了多少个问题？

解决方案：

设 Frank 正确回答的问题数为 $a$，他错误回答的问题数为 $b$。我们有两个方程

从第一个方程，我们有 $b=80-a$。将其代入第二个方程以消除 $b$，我们有 $5a-2(80-a)=232\Rightarrow a=56$。因此，弗兰克正确回答了 $\boxed{56}$ 问题。

答案：

56

##214.

问题：

计算 $[\sum_{n = 1}^\infty \frac{F_{n + 1}}{F_n F_{n + 2}},]$ 其中 $F_n$ 表示第 $n$ 个斐波那契数，因此 $F_0 = 0$ 且 $F_1 = 1。$

解决方案：

由于 $F_{n + 1} = F_{n + 2} - F_n,$ $[\frac{F_{n + 1}}{F_n F_{n + 2}} = \frac{F_{n + 2} - F_n}{F_n F_{n + 2}} = \frac{1}{F_n} - \frac{1}{F_{n + 2}}。]$ 那么

答案：

2

##215.

问题：

我的学校有360人。 15 人选了微积分、物理和化学，15 人什么都不选。 180 采取微积分。学习化学的学生是学习物理的学生的两倍。 75 人同时学习微积分和化学，75 人同时学习物理和化学。只有 30 人同时修读物理和微积分。有多少学生学物理？

解决方案：

令 $x$ 为学习物理的学生人数，因此化学的学生人数为 $2x$。有 15 名学生选修全部三门课程，30 名学生选修物理和微积分，这意味着仅选修物理和微积分就有 $30 - 15 = 15$ 的学生。同样，有 60 美元的学生只学习化学和微积分，还有 60 美元的学生学习物理和化学。由于有 $x$ 学生学习物理，而 $15 + 15 + 60 = 90$ 学生同时学习物理和其他课程，因此 $x - 90$ 学生只学习物理。同样，有 $2x - 135$ 的学生只学习化学，而 $90$ 的学生只学习微积分。已知有15个学生没有考任何一个，这八类的总和是360，学校总人数：$[ (x - 90) + (2x - 135) + 90 + 60 + 15 + 60 + 15 + 15 = 360。 ]$ 我们求解 $x$，发现物理学生的数量为 $x = \boxed{110}$。

答案：

110

##216.

问题：

如果 $x^2 - x - 1 = 0$，那么 $x^3 - 2x + 1$ 的值为多少？

解决方案：

重新排列 $x^2 - x - 1= 0$ 得到 $x^2 = x + 1$。因此，反复用 $x+1$ 替换 $x^2$ 可以得到

答案：

2

##217.

问题：

在墨之国，货币系统是独一无二的。 1 个 Trinket 等于 4 个 Blinkets，3 个 Blinkets 等于 7 个 Drinkets。在《Trinkets》中，56 个 Drinkets 的价值是多少？

解决方案：

乘以$[ 3\text{ 手链}=7\text{ 饮料} ]$ 除以 8，发现 24 个 Blinkets 相当于 56 个 Drinkets。乘以$[ 1\text{ 饰品}=4\text{ 手链} ]$ 乘以 6，发现 $\boxed{6}$ Trinkets 相当于 24 个 Blinkets（正如我们刚刚发现的，这又相当于 56 个 Drinkets）。

答案：

6

##218.

问题：

450 的所有数字都是 0 和 1 的最小正倍数是多少？

解决方案：如果一个数能被 450 整除，那么它必须能被 450 的所有约数整除，包括 9 和 50。

一个数要能被9整除，它的各位数字之和必须能被9整除。由于正数必须至少有一位数字不为0，所以我们要查找的数字必须在其数字中至少有9个。

我们要查找的数字必须也能被 50 整除，这意味着它以 50 或 00 结尾。由于不允许使用数字 5，所以我们的数字必须以 00 结尾，这意味着最小的候选者是 $\boxed{11,! 111、! 111、! 100}$。事实上，因为 9 和 50 $\mathbf{do}$ 可以整除这个数字，并且因为 450 是 9 和 50 的最小公倍数，所以我们知道 450 确实可以整除 11,111,111,100；所以这个数字就是正确答案。

答案：

11 美元，! 111、! 111、! 100$

##219.

问题：

找到 $(-5,5)$ 和 $(3,7)$ 之间的线段的中点。将您的答案表达为有序对 $(x,y)$。

解决方案：

应用中点公式得到 \(\left(\frac{-5+3}{2},\frac{5+7}{2}\right)=\boxed{(-1,6)}.\)

答案：

(-1,6)

##220.

问题：

所示的轮盘旋转两次，因此指针指示的数字是随机确定的（轮盘上的每个数字都有相同的可能性）。记录以这种方式确定的两个数字。第一个数字除以 4，确定余数 1、2、3 中的一个，标记所示棋盘格的列。第二个数字除以 5，确定余数 1、2、3、4 之一，标记棋盘的行。最后，在该列和行相交的正方形上放置一个棋子。棋子放置在棋盘的阴影方块上的概率是多少？

受保护_44

解决方案：

第一个余数为偶数，概率为 $2/6=1/3$，为奇数，概率为 2/3。第二个余数为偶数，概率为 $3/6=1/2$，为奇数，概率为 1/2。第一个余数的奇偶校验和第二个余数的奇偶校验是独立的，因为它们是由轮的单独旋转确定的。

阴影方块表示余数均为奇数或均为偶数。因此，正方形的阴影概率为 $[ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} =\boxed{\frac{1}{2}}。 ]$

答案：

$\frac{1}{2}$

##221.

问题：

Sam 正从距离他家 3 英里的谷仓运一桶 2 加仑的牛奶到他家。然而，桶里有漏洞。他每走一英里，桶中的牛奶就与一英里开始时一样多 $\frac{2}{3}$。当萨姆回家时桶里会有多少加仑牛奶？

解决方案：

在第一英里结束时，桶中将有 $\frac{2}{3}$ 的初始牛奶。每增加一英里，该金额就会乘以 $\frac{2}{3}$。因此，当他在第三英里结束时到达家时，桶中将有 $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3}$ 一样多的牛奶。由于他最初有 2 加仑，因此当他回家时桶中的金额为 $2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3}$。因为 $\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$，所以该表达式等价于 $2 \cdot \frac{2^{3}}{3^{3}}$。因为 $n^{a} \cdot n^{b} = n^{a+b}$，因此等于 $\frac{2^{4}}{3^{3}}$。将指数相乘，我们得到 $\boxed{\frac{16}{27}}$ 加仑。

答案：

$\frac{16}{27}$

222.

问题：

整数 240 和 $k$ 的乘积是一个完美的立方。 $k$ 的最小可能正值是多少？

解决方案：

$240=2^4\cdot3\cdot5=2^3(2\cdot3\cdot5)$。要使 $240k$ 成为完美立方（而不是完美正方形），$k$ 必须至少为 $2^2\cdot3^2\cdot5^2=\boxed{900}$。

回答：900

223.

问题：

$\三角形ABC$的面积是6平方厘米。 $\overline{AB}\平行\overline{DE}$。 $BD=4BC$。 $\三角形CDE$的面积是多少平方厘米？

受保护_45

解决方案：

由于 $AB \parallel DE,$ 我们知道 $\angle A = \angle E$ 和 $\angle B = \angle D.$ 效果很好，因为这意味着 $\triangle ABC \sim EDC。$ 如果 $BD = 4BC,$ 则意味着 $CD = BD - BC = 3BC。$ 因此，$ABC$ 与 $EDC$ 中边的比率为 $1:3,$ 意味着它们的面积比率为 $1:9。$

由于$\triangle ABC$的面积是$6\text{ cm}^2,$这意味着$\triangle CDE$的面积是$\boxed{54}\text{ cm}^2。$

答案：

54

224.

问题：

分数 $\frac{4321}{5^7\cdot2^8}$ 的终止十进制表示中的数字总和是多少？

解决方案：

将 $\frac{4321}{5^7\cdot2^8}$ 重写为分母为 $5^8\cdot2^8=10^8$ 的小数，我们有 $[ \frac{4321}{5^7\cdot2^8}\cdot\frac{5^{1}}{5^{1}}=\frac{4321\cdot5}{10^8}=\frac{21605}{10^{8}}=0.00021605.]$ 因此，十进制表示的各位数字之和为 $2+1+6+0+5 = \盒装{14}$。

答案：

14

225.

问题：

求 $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ \sin 100^\circ \sin 120^\circ \sin 140^\circ \sin 160^\circ.$

解决方案：

首先，我们知道 $\sin 60^\circ = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},$ 所以

然后我们可以写 $\sin 80^\circ = \sin 100^\circ = \cos 10^\circ,$ $\sin 140^\circ = \sin 40^\circ,$ $\sin 160^\circ = \sin 20^\circ,$ 所以

按乘积与总和计算，

因此，表达式等于 $\frac{3}{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{8} \right)^2 = \boxed{\frac{9}{256}}.$

答案：

$\frac{9}{256}$

226.

问题：

\(的价值是多少 (3x-2)(4x+1)-(3x-2)4x+1\) 当 $x=4$ 时？

解决方案：

自从

当 $x=4$ 时，我们的值为 $3 \cdot 4 -1 =\boxed{11}$。

答案：

11

227.

问题：

如果球无法区分且盒子也无法区分，有多少种方法将 5 个球放入 2 个盒子中？

解决方案：

由于球和盒子都无法区分，因此我们可以将它们排列为一个 5 个、另一个 0 个、一个 4 个、另一个 1 个、或者一个 3 个、另一个 2 个，总共有 $\boxed{3}$ 种不同的排列方式。

答案：

3

228.

问题：

对于柱坐标 $(r,\theta,z),$ 中的常数 $c,$ 求方程描述的形状 $[z = c.]$(A)行 (B) 圆圈 (C) 飞机 (D) 球体 (E) 气缸 (F) 锥体

输入正确选项的字母。

解决方案：在柱坐标系中，$z$ 仅表示点的 $z$ 坐标。因此，对于固定的 $z$ 坐标 $c,$，所有点都位于与 $xy$ 平面平行的平面上。答案是 $\boxed{\text{(C)}}.$

受保护_46

答案：

$\文本{(C)}$

229.

问题：

对于点 $P,$ 令 $d_1、$ $d_2$ 和 $d_3$ 表示从 $P$ 到平面 $x - z = 0、$ $x - 2y + z = 0,$ 和 $x + y + z = 0 的距离。$ 令 $S$ 为点 $P$ 的集合，使得 $[d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 36.]$ 求 $S.$ 包围的体积区域

解决方案：

让 $P = (a,b,c).$ 那么从 $P$ 到平面 $x - z = 0$ 的距离为 $[d_1 = \frac{\left|a - c\right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|a - c\right|}{\sqrt{2}}.]$ 从 $P$ 到平面 $x - 2y + z = 0$ 的距离为 $[d_2 = \frac{\left|a - 2b + c\right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{\left|a - 2b + c\right|}{\sqrt{6}}.]$ 并且，从 $P$ 到平面 $x + y + z = 0$ 的距离为 $[d_3 = \frac{\left|a + b + c\right|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\left|a + b + c\right|}{\sqrt{3}}.]$ 那么等式 $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 36$ 变为 $[\frac{(a - c)^2}{2} + \frac{(a - 2b + c)^2}{6} + \frac{(a + b + c)^2}{3} = 36.]$ 这简化为 $a^2 + b^2 + c^2 = 36.$ 因此，$S$ 是半径为 6 的球体，因此其体积为 $[\frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \boxed{288 \pi}.]$

答案：

$288 \pi$

230.

问题：

扬和卡米尔去了一家餐厅。如果菜单上有 10 道菜，每人点一道菜，如果 Yann 和 Camille 拒绝点同一道菜，他们可以点多少种不同的餐食组合？ （谁点什么确实很重要——Yann 点鸡肉而 Camille 点鱼与 Yann 点鱼和 Camille 点鸡肉不同。）

解决方案：

Yann 可以点 10 种不同的菜肴。在他选好菜后，Camille 的菜还有 9 个选择，因为她不会点和 Yann 一样的菜。因此总共有 $10\cdot 9 = \boxed{90}$ 种可能的不同膳食组合。

答案：

90

231.

问题：

假设 $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ 是实数，使得

确定$e.$的最大值

解决方案：

柯西-施瓦茨， $[(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(1 + 1 + 1 + 1) \ge (a + b + c + d)^2.]$ 因此， $(16 - e^2)(4) \ge (8 - e)^2.$ 这简化为 $16e - 5e^2 \ge 0,$ 或 $e(16 - 5e) \ge 0.$ 因此， $e \le \frac{16}{5}.$

当 $a = b = c = d = \frac{6}{5}$ 和 $e = \frac{16}{5},$ 时相等，因此 $e$ 的最大值为 $\boxed{\frac{16}{5}}。$

答案：

$\frac{16}{5}$

232.

问题：

Amy、Ben 和 Chris 的平均年龄是 6 岁。四年前，Chris 的年龄与 Amy 现在的年龄相同。四年后，本的年龄将是当时艾米年龄的 $\frac{3}{5}$。克里斯现在多少岁？

解决方案：

设 Amy、Ben 和 Chris 的年龄分别为 $a$、$b$ 和 $c$。我们有方程

从方程（3）我们有$b=\frac{3}{5}(a+4)-4$。将式（2）代入式（3），消去$a$，得到$b=\frac{3}{5}(c)-4$。将最后一个方程和方程（2）代入方程（1）消除$a$和$b$，我们有$[[c-4]+[\frac{3}{5}(c)-4]+c=18]$求解$c$，我们发现$c=10$。因此，克里斯的年龄为 $\boxed{10}$。

答案：

10

233.

问题：

如果 $\omega^{1997} = 1$ 且 $\omega \neq 1,$ 则评估 $[\frac{1}{1 + \omega} + \frac{1}{1 + \omega^2} + \dots + \frac{1}{1 + \omega^{1997}}。]$

解决方案：

请注意\(\开始{对齐*} \frac{1}{1 + \omega^k} + \frac{1}{1 + \omega^{1997 - k}} &= \frac{1}{1 + \omega^k} + \frac{\omega^k}{\omega^k + \omega^{1997}} \\ &= \frac{1}{1 + \omega^k} + \frac{\omega^k}{\omega^k + 1} \\ &= \frac{1 + \omega^k}{1 + \omega^k} = 1。 \结束{对齐*}\)

因此，我们可以将术语配对 $[\frac{1}{1 + \omega}, \ \frac{1}{1 + \omega^2}, \ \dots, \ \frac{1}{1 + \omega^{1995}}, \ \frac{1}{1 + \omega^{1996}}]$ 分解为 $1996/2 = 998$ 对，使得每对中的数字之和为 1。另外，$\frac{1}{1 + \omega^{1997}} = \frac{1}{2},$ 因此总和为 $998 + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1997}{2}}.$

答案：

$\frac{1997}{2}$

234.

问题：

如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是向量，使得 $\left|\mathbf{a}\right| = 2,$$\左|\mathbf{b}\右| = 7,$ 和 $[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 6 \end{pmatrix},]$ 然后找到 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b},$ 之间可能的最小角度（以度为单位）。

解决方案：

设 $\theta$ 为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}.$ 之间的角度，则 $[\left|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right| = \左|\mathbf{a}\右| \左|\mathbf{b}\右| \sin \theta.]$ 根据给定的信息，$7 = 14 \sin \theta,$ 所以 $\sin \theta = \frac{1}{2}.$ 因此，$\theta$ 的最小可能值为 $\boxed{30^\circ}.$

答案：

$30^\约$

235.

问题：

令 $f$ 为 $f(x) = x^3 - 49x^2 + 623x - 2015,$ 定义的函数，并令 $g(x) = f(x + 5).$ 计算 $g 的根之和。$

解决方案：

令 $a,$ $b,$ $c$ 为 $x^3 - 49x^2 + 623x - 2015.$ 的根，然后根据 Vieta 的公式，$a + b + c = 49.$

$g(x) = f(x + 5)$ 的根是 $a - 5,$ $b - 5,$ 和 $c - 5,$，它们的和是 $a + b + c - 15 = 49 - 15 = \boxed{34}.$

答案：

34

236.

问题：

计算：$0.\overline{7}-0.\overline{4}+0.\overline{2}$。将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

一般来说，要将数字 $0.\overline{n}$ 表示为分数，我们将其称为 $x$ 并从 $10x$ 中减去它：

这表明 $0.\overline{n} = \frac{n}{9}$。

因此，我们原来的问题简化为计算 $\frac 79 - \frac 49 + \frac 29 = \boxed{\frac 59}$。

答案：

$\压裂59$

237.

问题：

计算 $[\frac{1}{\cos^2 10^\circ} + \frac{1}{\sin^2 20^\circ} + \frac{1}{\sin^2 40^\circ}。]$

解决方案：

我们可以写

所以

根据三角公式，

这意味着 $8 \cos^3 20^\circ = 6 \cos 20^\circ + 1.$ 因此，\(\开始{对齐*} \frac{12 \cos^2 20^\circ - 8 \cos^3 20^\circ + 1}{\sin^2 40^\circ} &= \frac{12 \cos^2 20^\circ - 6 \cos 20^\circ}{\sin^2 40^\circ} \\ &= \frac{12 \cos^2 20^\circ - 6 \cos 20^\circ}{4 \sin^2 20^\circ \cos^2 20^\circ} \\ &= \frac{12 \cos 20^\circ - 6}{4 \sin^2 20^\circ \cos 20^\circ} \\ &= \frac{12 \cos 20^\circ - 6}{4 (1 - \cos^2 20^\circ) \cos 20^\circ} \\ &= \frac{12 \cos 20^\circ - 6}{4 \cos 20^\circ - 4 \cos^3 20^\circ} \\ &= \frac{12 \cos 20^\circ - 6}{4 \cos 20^\circ - 3 \cos 20^\circ - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{12 \cos 20^\circ - 6}{\cos 20^\circ - \frac{1}{2}} \\ &= \盒装{12}。 \结束{对齐*}\)

答案：

12

##238.

问题：

如果 $x$、$y$ 和 $z$ 为正且 $xy = 24$、$xz = 48$ 和 $yz = 72$，则找到 $x + y + z。$

解决方案：

将所有三个方程相乘，我们得到 $x^2 y^2 z^2 = 82944.$ 因为 $x$、$y$ 和 $z$ 都是正数，所以 $xyz = \sqrt{82944} = 288.$ 那么

因此，$x + y + z = \boxed{22}.$

答案：

22

##239.

问题：

$x$ 的哪些实际值不在以下范围内

$f(x)=\frac{1}{\left|x^2+3x-4\right|+\left|x^2+9x+20\right|}$？

解决方案：

如果分母为零，则 $x$ 不在 $f$ 的域中。由于两个绝对值都是非负的，因此两者都必须为零才能使分母为零。所以

$x$ 中唯一使两个绝对值都为零的值是 $x=\boxed{-4}$。

答案：

-4

240.

问题：

由线 $y=ax+c$、$y=ax+d$、$y=bx+c$ 和 $y=bx+d$ 围成的平行四边形的面积为 18。由线 $y=ax+c$、$y=ax-d$、$y=bx+c$ 和 $y=bx-d$ 围成的平行四边形的面积为 72。假设 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 为正数整数，$a+b+c+d$ 的最小可能值是多少？

解决方案：

第一个平行四边形的两个顶点位于 $(0,c)$ 和 $(0,d)$。

受保护_47

另外两个顶点的$x$坐标满足$ax+c=bx+d$和$ax+d=bx+c$，因此$x$坐标为$\pm(c-d)/(b-a)$。因此，平行四边形由两个三角形组成，每个三角形的面积为 $[ 9=\frac{1}{2} \cdot \left|c-d\right| \cdot \left|\frac{c-d}{b-a}\right|。 ]$ 由此可见 $(c-d)^2=18\left|b-a\right|$。

通过使用第二个平行四边形的类似论证，$(c+d)^2=72\left|b-a\right|$。从第二个方程中减去第一个方程得到 $4cd=54\left|b-a\right|$，因此 $2cd = 27\left|b-a\right|$。因此$\left|b-a\right|$ 是偶数，并且当${a,b}={1,3}$ 时$a+b$ 最小。另外，$cd$ 是 27 的倍数，当 ${c,d}={3,9}$ 时，$c+d$ 最小。因此 $a+b+c+d$ 的最小可能值为 $1+3+3+9=\boxed{16}$。请注意，当 $(a,b,c,d)=(1,3,3,9)$ 时，满足所需条件。

答案：

16

##241.

问题：

在图中，$PT$ 与 $QR 平行。$$\angle PQR$ 的度数是多少？

受保护_48

解决方案：

由于$PT$和$RQ$平行，则$2x^\circ=128^\circ,$所以$x=64,$所以$\angle TPQ=64^\circ.$

受保护_49

由于$PT$和$QR$是平行的，那么$\angle TPQ$和$\angle PQR$是互补的。因此，$\angle PQR + 64^\circ = 180^\circ,$ 所以$\angle PQR = \boxed{116} \text{ Degrees}.$

答案：

116

##242.

问题：

$y=\frac{1}{2}x^2-9$ 的图上的原点与点之间的最小距离可以表示为 $a$。找到$a^2$。

解决方案：通过距离公式，我们试图最小化 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^4-9x^2+81}$。一般来说，像这样的最小化问题需要微积分，但有时有效的一种优化方法是尝试完成平方。从根式下面取出因子$\frac{1}{4}$，我们有

当平方等于 $0$ 时（即 $x^2=16$ 时），最后一个表达式将最小化。那么距离就是$\frac{\sqrt{68}}{2}=\sqrt{17}$。因此所需的答案是 $\sqrt{17}^2 = \boxed{17}$。

答案：

17 号

243.

问题：

投资 24{,}000 元购买政府债券，每两个月支付 1% 的利息（意味着投资每两个月增加 1%）。五年后，这项投资的总金额是多少？

将你的答案表达为最接近的整数。

解决方案：

五年就是60个月。由于投资每两个月增加1%，利息会复利 [ 60 \div 2 = 30 ] 次。因此五年后的价值是 [ 24000 \cdot 1.01^{30} \约 32348.3739。 ] 四舍五入到最接近的整数给出 (\boxed{32{,}348})。

答案：

(32{,}348)

244.

问题：

三角形的边长分别为 1 个单位和 3 个单位。第三边的长度是单位的整数值。第三边的长度是多少（单位）？

解决方案：

称第三条边的长度为$n$。根据三角不等式，$1+3>n$ 且 $1+n>3$，或 $2<n<4$。唯一满足此要求的整数 $n$ 是 $\boxed{3}$。

答案：

3

245.

问题：

如果凸多边形除了一个内角之外的所有边的总和为 $1070^{\circ}$，那么凸多边形有多少条边？

解决方案：

任何 $n$ 边多边形中的内角总和为 $180(n-2)$ 度，因此 7 条边的多边形中的角度总和为 $180(7-2) = 900$ 度，这意味着所需的多边形具有超过 7 条边。同时，8 条边的多边形的角度总和为 $180(8-2) = 1080$ 度。因此，多边形可能有 $\boxed{8}$ 边，并且最后一个角度的大小为 $10^\circ$。

要知道这是唯一的可能性，请注意 9 条边的多边形中的角度总和为 $180(9-2) = 1260$ 度。因此，如果多边形的边数超过 8 个，则最后一个内角的大小必须至少为 $1260^\circ - 1070^\circ = 190^\circ$。但这是不可能的，因为凸多边形的每个内角的尺寸都小于 $180^\circ$。

答案：

8

246.

问题：

设 $f(x) = x^{10}+5x^9-8x^8+7x^7-x^6-12x^5+4x^4-8x^3+12x^2-5x-5$。

不使用长除法（这会非常令人讨厌！），求 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 时的余数。

解决方案：

我们有 \(f(x) = q(x)(x^2-1) + r(x),\)其中$q(x)$是商，$r(x)$是余数。由于 $x^2-1$ 是二次的，因此余数最多是线性的；让我们写$r(x) = ax+b$。

观察 $x=-1$ 和 $x=1$ 都是 $x^2-1$ 的零。因此 $f(1)=r(1)$ 和 $f(-1)=r(-1)$。

我们可以使用 $f(x)$ 的给定公式来计算 $f(1)=-10$ 和 $f(-1)=16$。因此我们有方程组

将这些方程相加得出 $6=2b$，因此 $b=3$。代入任一方程即可得到 $a=-13$。

因此，$r(x) = ax+b = \boxed{-13x+3}$。

答案：

$-13x+3$

247.

问题：十二个朋友在奥斯卡的 Overstuffed Oyster House 共进晚餐，每人点了一顿饭。份量很大，足够18个人吃。如果他们一起吃，他们应该点多少顿饭才够他们 12 个人吃？

解决方案：

如果 12 个人点了 $\frac{18}{12}=1\frac{1}{2}$ 倍的食物，他们应该点 $\frac{12}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\times 12=\boxed{8}$ 份餐食。

答案：

8

##248.

问题：

令 $p(x)$ 为具有整数系数的二次多项式，以 $4-\sqrt{11}$ 作为根。计算$\frac{p(3)}{p(4)}.$

解决方案：

因为 $p(x)$ 具有整数系数（特别是因为它具有有理系数），所以 $p(x)$ 的另一个根必须是 $4-\sqrt{11},$ 的共轭根，即 $4+\sqrt{11}.$ 那么，$p(x)$ 必须采用以下形式 $[p(x) = A(x-(4-\sqrt{11}))(x-(4+\sqrt{11}))]$ 对于一些非零常数 $A$。这意味着 $[p(3) = A(-1+\sqrt{11})(-1-\sqrt{11}) = -10A]$ 和 $[p(4) = A(\sqrt{11})(-\sqrt{11}) = -11A,]$ 所以 $[\frac{p(3)}{p(4)} = \frac{-10A}{-11A} = \boxed{\frac{10}{11}}.]$

答案：

$\frac{10}{11}$

##249.

问题：

给定

计算$\mathbf{A}^{27} + \mathbf{A}^{31} + \mathbf{A}^{40}。$

解决方案：

请注意

然后

答案：

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$

250.

问题：

找到唯一的 $\textbf{odd}$ 整数 $t$，使得 $0<t<23$ 且 $t+2$ 是 $t$ 模 $23$ 的倒数。

解决方案：

我们可以通过反复试验找到答案——测试每个候选$t$，看看是否$t\cdot (t+2)\equiv 1\pmod{23}$。然而，这里还有另一种方法：

我们很容易看出$4\cdot 6=24\equiv 1\pmod{23}$，所以$4$满足了它的逆比它多$2$的主要要求。不幸的是，4 美元并不奇怪。但我们也有

所以 $-4$ 和 $-6$ 互为逆 $\pmod{23}$。由于 $-4\equiv 19\pmod{23}$ 和 $-6\equiv 17\pmod{23}$，答案 $t=\boxed{17}$ 满足问题的要求。

（我们甚至可以检查 $17\cdot 19 = 323 = 14\cdot 23 + 1$。）

答案：

17 号

251.

问题：

如果 $a$ 是 $x$ 截距，$b$ 是 $y$ 截距，$m$ 是方程 $\frac{x}4 + \frac{y}{12} = 1$ 的直线斜率，那么 $a + b + m$ 的值是多少？

解决方案：

我们可以通过在方程中设置 $y=0$ 来找到 $x$ 截距。这给我们$\frac{x}{4} = 1$，所以$x =4$，这意味着$a=4$。类似地，令$x=0$ 得到$\frac{y}{12} = 1$，因此$y=12$，这意味着$b=12$。我们可以通过多种方法找到坡度。首先，我们可以通过从两边减去 $\frac{x}{4}$，然后乘以 12，将方程转化为斜率截距形式。这给出 $y = -3x +12$，它告诉我们斜率是 $-3$（并证实了 $y$ 截距的解）。我们还可以注意到，由于我们已经证明 $(4,0)$ 和 $(0,12)$ 在线上，所以该线的斜率为 $\frac{12 -0}{0-4} = -3$。因此，所需的总和是 $4+12 -3 = \boxed{13}$。

答案：

13

252.

问题：六辆车闯红灯，一次一辆。红绿灯处有3条车道，1条左转车道，1条直行车道，1条右转车道。汽车可以以多少种方式堆叠以使所有三个车道都被占用？

请注意，如果第一辆车左转而第二辆车直行，则这被认为与第一辆车直行第二辆车左转不同。换句话说，汽车是可区分的，但以固定的顺序停在路口。

解决方案：

我们计算某个车道可以留空的方式数量，并从总数中减去$3^6=729$，因为每个司机都有三种选择。假设左转车道是空的。那么每个司机只能有2种选择，并且有$2^6$的方式让左转车道空着。同样的逻辑给出了 $2^6$ 的方法来保持中间车道和右转车道开放。但我们重复计算了两条车道空着的情况。幸运的是，由于每个司机都必须进入第三车道，所以我们只多算了3种情况。这使得 $3\cdot2^6-3=189$ 的方式可以让至少一条车道空闲，或者 $729-189=\boxed{540}$ 的方式可以占用每条车道。

答案：

540

253.

问题：

对于所有实数 $x$，$4(x + 7)(2 - x)$ 的最大值是多少？

解决方案：

$y = 4(x + 7)(2 - x)$ 的图形是抛物线。由于当 $x = -7$ 和 $x = 2$ 时 $y = 0$，因此抛物线的 $x$ 截距为 $(-7,0)$ 和 $(2,0)$。如果抛物线的顶点是 $(h,k)$，则 $x$ 截距 $(-7,0)$ 和 $(2,0)$ 围绕直线 $x = h$ 对称，因此 $h = (-7 + 2)/2 = -5/2$。

因此，$y = 4(x + 7)(2 - x)$ 的最大值出现在 $x = -5/2$ 处，在这种情况下 $[y = 4 \left( -\frac{5}{2} + 7 \right) \left( 2 + \frac{5}{2} \right) = 4 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} = \boxed{81}.]$ （请注意，这是最大值，而不是最小值，因为 $y = 4(x + 7)(2 - x) = -4x^2 - 20x + 56$ 中 $x^2$ 的系数为负数。）

答案：

81

254.

问题：

3 英寸是 2 英尺的几分之一？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：

由于 2 英尺为 $2\cdot12=24$ 英寸，因此 3 英寸为 2 英尺的 $3/24=\boxed{\frac{1}{8}}$。

答案：

$\frac{1}{8}$

255.

问题：

帕特要从一个仅包含巧克力片、燕麦片和花生酱饼干的托盘中选择六块饼干。托盘上这三种饼干各至少有六块。六块饼干可以选择多少种不同的品种？ （注意，同一类型的cookie是无法区分的。）

解决方案：

三种饼干的数量之和必须为六。总和为 6 的可能的整数集是 $[ 0,0,6;\ 0,1,5;\ 0,2,4;\ 0,3,3;\ 1,1,4;\ 1,2,3;\ \ \文本{和}\ 2,2,2。 ]$ 这些集合中的每一个的每个顺序都决定了不同种类的饼干。每组有 3 个订单 $[ 0,0,6;\ 0,3,3;\ \文本{和}\ 1,1,4。 ]$ 每组有 6 个订单 $[ 0,1,5;\ 0,2,4;\ \文本{和}\ 1,2,3。 ]$ 只有一份订单价格为 $2,2,2$。因此，六块饼干的总分类数为 $3\cdot 3 + 3\cdot 6 + 1 = \boxed{28}$。

答案：

28

256.

问题：

找到由方程定义的曲线 $[r^2 \cos 2 \theta = 4.]$ (A) 线 (B) 圆圈 (C) 抛物线 (D) 椭圆 (E) 双曲线

输入正确选项的字母。

解决方案：

从 $r^2 \cos 2 \theta = 4,$ $[r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = 4.]$ 那么 $x^2 - y^2 = 4,$ 或 $[\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1.]$ 因此，该图表示一条双曲线。答案是 $\boxed{\text{(E)}}.$

受保护_50

答案：

$\文本{(E)}$

257.

问题：化简$\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\div \frac{12}{20}$。

解决方案：

首先，我们可以使用除法规则，这样我们就可以得到一个仅包含分数乘法的表达式。我们得到 \(\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\div \frac{12}{20}=\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{20}{12}。\)现在，请注意 $5$ 和 $20$ 的公因数为 $5$。我们还可以看到 $8$ 和 $12$ 有一个公因数 $4$。因此，我们可以简化得到 \(\frac{1}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{20}{12}=\frac{1}{\cancel{5}}\cdot \frac{\cancelto{2}{8}}{7}\cdot \frac{\cancelto{4}{20}}{\cancelto{3}{12}}=\frac{1\cdot 2 \cdot 4}{7\cdot 3}=\盒装{\frac{8}{21}}.\)

答案：

$\frac{8}{21}$

258.

问题：

体积为 1 美元立方英尺的立方体的总表面积是多少（平方英寸）？

解决方案：

回想一下 \(1 \mbox{ 英尺} = 12 \mbox{ 英寸}\)

因此 \(1 \mbox{ 英尺}^2 = 12^2 \mbox{ 英寸}^2 = 144 \mbox{ 英寸}^2\)

最后，记住公式$V = l \times w \times h$，即体积是长、宽、高的乘积。

立方体的长度、高度和宽度相等，因此我们给出的立方体的边长为 $1 \mbox{ 英尺}$。现在，一个立方体有 6 个面，因此立方体的表面积为 \(6 \times (1 \mbox{ foot} \times 1 \mbox{ foot}) = 6 \mbox{ foot}^2\)

现在，转换：\(6 \mbox{ 英尺}^2 \frac{144 \mbox{ 英寸}^2}{1 \mbox{ 英尺}^2} = 864 \mbox{ 英寸}^2\)

所以，我们的最终答案是$\boxed{864 \mbox{英寸}^2}$

答案：

$864 \mbox{ 英寸}^2$

##259.

问题：

我有一个袋子，里面有黄色和蓝色的弹珠。目前，蓝色弹珠与黄色弹珠的比例为4:3。如果我添加 5 个蓝色弹珠并删除 3 个黄色弹珠，则比例将为 7:3。在我添加更多之前，袋子里有多少蓝色弹珠？

解决方案：

在添加更多之前，让 $x$ 为蓝色弹珠的数量，$y$ 为黄色弹珠的数量。我们已知蓝色与黄色的比例为 4:3，因此 $\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}$。另外，在我们添加蓝色弹珠并删除黄色弹珠后，蓝色弹珠和黄色弹珠的总数将分别为 x+5 和 y-3。我们知道此时的比率将为 $7:3$，因此 $\dfrac{x+5}{y-3}=\dfrac{7}{3}$。交叉相乘第一个方程得到 $3x=4y$，交叉相乘第二个方程得到 $3(x+5)=7(y-3)$。求解两个变量的两个线性方程是很常见的；我们得到解决方案$y=12$，$x=16$。由于 $x$ 代表添加更多蓝色弹珠之前的蓝色弹珠数量，因此问题的答案就是 $\boxed{16}$。

答案：

16

##260.

问题：

计算数字 $5+\sqrt{3}$ 与其共轭根的乘积。

解决方案：

该数字的根共轭为 $5-\sqrt{3},$，因此两个数字的乘积为 $[(5+\sqrt3)(5-\sqrt3) = 5^2 - (\sqrt3)^2 = 25 - 3 = \boxed{22}.]$

答案：

22

##261.

问题：

让 $A = (1,-11,2),$ $B = (3,-4,1),$ 和 $C = (-2,1,-1).$ 计算 $\angle ABC,$ 以度为单位。

解决方案：

根据距离公式，我们计算出 $AB = 3 \sqrt{6},$ $AC = 9 \sqrt{2},$ 和 $BC = 3 \sqrt{6}.$ 然后根据余弦定律， $[\cos \angle ABC = \frac{(3 \sqrt{6})^2 + (3 \sqrt{6})^2 - (9 \sqrt{2})^2}{2 \cdot 3 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{6}} = -\frac{1}{2}.]$ 因此，$\angle ABC = \boxed{120^\circ}.$

答案：

$120^\约$

##262.

问题：

一个三角形 $\triangle ABC$ 与 $\angle A = 14^\circ$ 内接于圆，其中 $AB$ 是直径。 $\angle B$ 有多少度？

解决方案：

如果 $AB$ 是直径，则意味着三角形在 $C 处必须有直角。因此，我们有

答案：

$76^\约$—

##263.

问题：

如果 $10^x - 10 = 9990，$x$ 等于多少？

解决方案：

由于 $10^x - 10 = 9990,$ 我们有 \(10^x = 9990+10=10000。\)如果 $10^x = 10000,$ 则 $x=\boxed{4},$ 因为 $10000$ 以四个零结尾。

答案：

4

##264.

问题：

在正多边形中，内角的大小是外角大小的 6.5 倍。多边形有多少条边？

解决方案：

正则 $n$ 边形的内角测量值为 $\frac{180(n-2)}{n}$ 度，外角测量值为 $\frac{360}{n}$ 度。解决$[ \frac{180(n-2)}{n}=6.5\cdot\left(\frac{360}{n}\right), ]$ 我们找到$n=\boxed{15}$。

答案：

15

265.

问题：

下图中，四边形 $CDEG$ 是一个 $CD = 3$ 的正方形，四边形 $BEFH$ 是一个矩形。如果 $BE = 5$，则 $BH$ 有多少个单位？将你的答案表达为带分数。

受保护_51

解决方案：

令$J$ 为$\overline{BE}$ 和$\overline{GC}$ 的交集。

受保护_52

观察 $BD=\sqrt{BE^2-DE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ 单位。根据三角形$BCJ$和$BDE$的相似性，我们有$[ \frac{CJ}{BC}=\frac{DE}{BD}, ]$ 替换后变为 $[ \frac{CJ}{4-3}=\frac{3}{4}。 ]$ 我们求解$CJ=\frac{3}{4}$，这意味着$GJ=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$。将毕达哥拉斯定理应用于三角形$GJE$，我们发现$EJ=\sqrt{3^2+\left(\frac{9}{4}\right)^2}=\frac{15}{4}$。将 $K$ 定义为从 $G$ 到边 $EJ$ 的垂线的底脚。根据三角形 $GKJ$ 和 $EGJ$ 的相似性，我们有 $[ \frac{GK}{GJ}=\frac{EG}{EJ} \ 意味着 \frac{GK}{\frac{9}{4}}=\frac{3}{\frac{15}{4}}, ]$ 我们求解$GK=\frac{9}{5}$。由于 $GKBH$ 是一个矩形，因此 $BH=GK=\frac{9}{5}=\boxed{1\frac{4}{5}}$ 单位。

答案：

$1\frac{4}{5}$

266.

问题：

奇数序列 1, 3, 5, 7, $\dots$ 的第 2003 项是多少？

解决方案：

奇数 1、3、5、7 等的序列是一个等差序列，公差为 2。因此，$2003^{\text{rd}}$ 项是 $1+2002\cdot2=\boxed{4005}$。

答案：

4005

##267.

问题：

从 1 到 100（含 1 和 100）中随机选择一个数字。该数字是 3 的倍数的概率是多少？

解决方案：

1 到 100 之间有 100 个可能的数字。1 到 100 之间有 33 个 3 的倍数：$(3,6,9,\ldots,99)=(1\times 3,2\times 3,3\times 3,\ldots,33\times 3)$。因此，随机选择的数字是 3 的倍数的概率为 $\boxed{\dfrac{33}{100}}$。

答案：

$\dfrac{33}{100}$

##268.

问题：

在圆 $J$ 中，$HO$ 和 $HN$ 在 $O$ 和 $N$ 处与圆相切。求 $m\angle J$ 和 $m\angle H$ 之和的度数。

受保护_53

解决方案：

由于 $\overline{OH}$ 和 $\overline{NH}$ 与 $O$ 和 $N$ 处的圆半径相切，因此我们有 $\angle O =\angle N = 90^\circ$。四边形 $JOHN$ 的内角尺寸之和为 $360^\circ$，因此 $\angle J + \angle H = 360^\circ - \angle O - \angle N = \boxed{180^\circ}$。

答案：

$180^\约$

##269.

问题：

$1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 9 + 10$ 除以 9 余数是多少？

解决方案：

看看我们的总和，我们可以看到数字 $1$ 到 $8$ 可以配对形成 $9,$ 因此我们可以消除它们。也就是说，$1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 9.$ 因此，剩下的项只有 $9$ 和 $10,$，$9$ 显然也能被 $9,$ 整除，因此我们只需要找到 $10$ 除以 $9,$ 的余数，即 $\boxed{1}.$

答案：

1

##270.

问题：一位数学神童希望将他的两枚毫无区别的 IMO 金牌和两枚毫无区别的 IPhO 金牌排成一排。有多少种不同的排列方式是可能的？

解决方案：

该行有 4 个插槽。他可以以 $\binom{4}{2} = \boxed{6}$ 的方式选择其中两个作为他的 IMO 奖牌。

答案：

6

##271.

问题：

一张演出门票的全价为 20 美元。苏珊使用一张优惠券购买了 4 美元的门票，该优惠券为她提供了 25\%$ 的折扣。 Pam 使用优惠券购买了 5 美元的门票，该优惠券为她提供了 30 美元\%$ 的折扣。帕姆比苏珊多付了多少美元？

解决方案：

我们需要计算 Susan 支付的购买价格和 Pam 支付的购买总价。

苏珊购买了 4$ 美元的门票，折扣为 $25\%$：\(4 \times \$20 = \$80.\)如果有 $25$% 的折扣，她支付了 $$80 * .75 = $60.$

Pam 购买了 5$ 的门票，折扣为 $30\%$：\(5 \times \$20 = \$100\)如果折扣为 $30$%，她支付了 $$100 * .70 = $70.$

因此，Pam 比 Susan 多支付了 $$70 - $60 = $\boxed{10}$。

答案：

10

##272.

问题：

计算 $997^{-1}$ 对 $1000$ 取模。将您的答案表示为从 $0$ 到 $999$ 的整数。

解决方案：

我们注意到\(997\equiv -3\pmod{1000},\)和\((-3)\cdot 333 = -999 = -1000+1\equiv 1\pmod{1000}。\)因此，\(997\cdot 333\equiv 1\pmod{1000},\)和$997$模的倒数$1000$ 是 $\boxed{333}$。

答案：

第333章

##273.

问题：

如果 $0.\overline{1331}$ 写成分数 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 是最大公约数为 1 的正整数，那么 $a+b$ 是多少？

解决方案：

令 $x = 0.\overline{1331}$，因此 $10000x = 1331.\overline{1331}$。因此，$9999x = 1331$，因此 $x = \frac{1331}{9999}$。我们可以从分子和分母中分解出 11，因此 $x = \frac{121}{909}$。因此$a+b=121+909 = \boxed{1030}$。

答案：

1030

##274.

问题：

1992年，在意大利可以花1200里拉购买一勺冰淇淋。同样的冰淇淋在美国要卖 1.50 美元。按照里拉和美元的等值汇率，多少美元相当于 1,000,000 里拉？

解决方案：

由于 1200 里拉等于 1.50 美元，因此两边乘以 $( \frac{1{,}000{,}000}{1200} )$：

计算：

因此，1,000,000 里拉相当于 $(\boxed{1250})$ 美元。

答案：

1250

##275.

问题：

令 $S$ 为边长 $2$ 单位的正九边形内所有点的集合以及距九边形周长上的点小于 $1$ 单位的所有点的集合的并集。 $S$ 的周长是多少单位？

解决方案：

$S$ 看起来像一个带有轻微圆角的九边形。我们绘制九边形的相邻边并查看 $S$ 的边界：

受保护_54

我们可以将$S$九边形之外的部分分割成9个矩形和9个圆扇形，从而将$S$的周长分成交替的直线（上面的蓝色）和曲线（上面的红色）。 $S$ 的周长由九条蓝线和九条红色弧线组成。

每个矩形的边长为 1 和 2，因此每条蓝线的长度为 2 个单位，周长的蓝色部分的总长度为 $2\cdot 9 = 18$ 个单位。围绕九边形的每个顶点，一个内角、两个直角和一个扇形角加起来为 360 度。九边形内的每个角度为 $180(9-2)/9=140$ 度。因此，每个扇形角的大小为 $360-90-90-140=40$ 度。每个扇区的半径为 1，弧长为 $\frac{40^\circ}{360^\circ}(2)(\pi)(1)=\frac{1}{9}(2\pi)$，因此其中 9 个扇区的总弧长为 $2\pi$。因此，周长红色部分的总长度为 $2\pi$ 单位。 （请注意，这等于半径为 1 的圆的周长，即九个扇区的总和。）

最后，$S$ 的周长为 $\boxed{18+2\pi}$ 单位。

答案：

$18+2\pi$

276.

问题：

令 $f(x) = 2x-3$ 且 $g(x) = x+1$。 $g(f(5)-1)$ 的值是多少？

解决方案：

我们有 $f(5) = 2(5) -3 = 7$，所以 $g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7}$。

答案：

7

##277.

问题：

$\sqrt{120-\sqrt{x}}$ 有多少个 $x$ 的实数值是整数？

解决方案：

假设 $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 是一个整数。然后$0\le k \le \sqrt{120}$，并且因为$k$是一个整数，所以我们有$0\le k \le 10$。因此 $k$ 有 11 个可能的整数值。对于每个这样的 $k$，$x$ 的对应值为 $\left(120 - k^2\right)^2$。因为 $\left(120 - k^2\right)^2$ 是正数，并且对于 $0\le k \le 10$ 是递减的，$x$ 的 $\boxed{11}$ 值是不同的。

答案：

11

##278.

问题：

最简根式形式的 $\sqrt{53}$ 是什么？

解决方案：

由于 53 是素数，$\boxed{\sqrt{53}}$ 已经是最简单的根式。

答案：

$\sqrt{53}$

##279.

问题：

最大的以 2 为基数的八位整数是多少？以 10 为底数表达你的答案。

解决方案：

最大的八位基数 2 整数比最小的九位基数 2 整数小 1，即 \(100000000_{2} = 1 \cdot 2^8 = 256。\)因此，最大的八位基数 2 整数为 $256 - 1 = \boxed{255}$。

答案：

255

##280.

问题：

在图中，三个同心圆的半径分别为$4、$、$6、$ 和$7。下面三个区域标记为$X、$、$Y、$ 或$Z$。在这三个区域中，面积最大的区域和面积最小的区域的面积有什么区别？以准确的形式表达你的答案。

受保护_55

解决方案：

内圆（区域$X$）的面积为$\pi\cdot 4^2=16\pi.$

使用类似的技术，中环（区域 $Y$）的面积为 \(\pi\cdot 6^2-\pi\cdot 4^2=36\pi-16\pi = 20\pi.\) 另外，外环（区域 $Z$）的面积为 \(\pi\cdot 7^2-\pi\cdot 6^2=49\pi - 36\pi = 13\pi.\) 因此，区域$Y$ 的面积最大，$Z$ 的面积最小。它们的面积差异为 $20\pi-13\pi = \boxed{7\pi}.$

答案：

$7\pi$

##281.

问题：

假设$a$和$b$是大于2的不同质数。整数$a(2a+b)-2a^{2}+ab$有多少个整数约数？

解决方案：

分配并组合类似项，我们有 $a(2a+b)-2a^2+ab=2a^2+ab-2a^2+ab=2ab$。现在 $a$ 和 $b$ 是大于 2 的不同质数，因此 $2ab=2^1\cdot a^1\cdot b^1$ 有 $(1+1)(1+1)(1+1)=\boxed{8}$ 除数。

答案：

8

##282.

问题：

在正五边形 $FGHIJ$ 中，如图所示，延长五边形的边形成一颗星。图中$A$ 角的大小是多少？

受保护_56

解决方案：五边形的角度总和为 $180(5-2) = 540$ 度，因此正五边形 $FGHIJ$ 的每个内角的尺寸为 $540^\circ / 5 = 108^\circ$。具体来说，$\angle JFG = 108^\circ$，所以 $[\angle AFJ = 180^\circ - \angle JFG = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ.]$ 类似地，我们有 $\angle AJF = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$。最后，$\triangle AFJ$ 的角度之和为 $180^\circ$，因此 $[\angle FAJ = 180^\circ - \angle AFJ - \angle AJF = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = \boxed{36^\circ}.]$

答案：

$36^\约$

##283.

问题：

在序列 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, … 中，第一项是 0。后续项是通过交替地添加和乘以从 1 开始的每个连续整数来生成的。例如，第二项是通过将第一项加 1 生成的；第三项是第二项乘以 1 得出的；第四项是第三项加 2 得出的；等等。第一项大于 125 的值是多少？

解决方案：

从 27 继续这个序列，我们加 4 得到 31，然后将 31 乘以 4 得到 124，然后将 5 加到 124 得到 129。因此，$\boxed{129}$ 是第一个大于 125 的项。

答案：

129

##284.

问题：

$\left(4\dfrac{5}{8}\right)^{55} \cdot \left(\dfrac{8}{37}\right)^{55}$ 是什么？

解决方案：

首先我们将 $4\dfrac{5}{8}$ 转换为假分数： $[4\dfrac{5}{8} = 4 + \dfrac{5}{8} = \dfrac{32}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{37}{8}.]$ 我们发现 $4\dfrac{5}{8}$ 和 $\dfrac{8}{37}$ 实际上是彼此的倒数。利用 $(ab)^n = a^nb^n$ 的事实，我们得到 答案： $[ \left(4\dfrac{5}{8}\right)^{55} \cdot \left(\dfrac{8}{37}\right)^{55} = \left(4\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{8}{37}\right)^{55} = 1^{55} = \boxed{1}.]$

答案：

1

285.

问题：

查找所有解决方案 $[\sin \left( \tan^{-1} (x) + \cot^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) \right) = \frac{1}{3}.]$ 输入所有解，以逗号分隔。

解决方案：

由于 $\cot^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) = \tan^{-1} x$ 对于所有 $x,$ 我们可以写 $[\sin \left( 2 \tan^{-1} x \right) = \frac{1}{3}.]$ 让 $\theta = \tan^{-1} x,$ so $x = \tan \theta.$ 另外，$\sin 2 \theta = \frac{1}{3},$ so $[2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3}.]$ 构造一个直角三角形，边 1 和 $x.$ 则边长 $x$ 的对角为 $\theta.$

受保护_57

另外，斜边将是 $\sqrt{x^2 + 1},$ 所以 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 和 $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$ 因此， $[2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{3},]$ 或 $[\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}.]$ 这给我们 $x^2 + 1 = 6x,$ 或 $x^2 - 6x + 1 = 0.$ 根据二次公式，根为 $x = \boxed{3 \pm 2 \sqrt{2}}.$

答案：

$3 \pm 2 \sqrt{2}$

286.

问题：

Steve 对 Jon 说：“我正在考虑一个根都是正整数的多项式。对于某些正整数 $a$ 和 $c$，多项式的形式为 $P(x) = 2x^3-2ax^2+(a^2-81)x-c$。你能告诉我 $a$ 和 $c$ 的值吗？”

经过一番计算后，乔恩说：“这样的多项式不止一个。”

史蒂夫说：“你是对的。这是 $a$ 的价值。”他写下一个正整数并问道：“你能告诉我 $c$ 的值吗？”

Jon 说，“$c$ 仍然有两个可能的值。”

求 $c$ 的两个可能值的总和。

解决方案：令$r, s, t$为$P(x).$的三个正整数根。$则根据Vieta的公式，$[\begin{aligned} r+s+t &= a, \ rs+st+rt &= \frac{a^2-81}{2}, \ rst &= \frac{c}{2}。 \end{aligned}]$ 将第一个方程代入第二个方程以消除 $a,$ 我们有 $[rs+st+rt = \frac{(r+s+t)^2 - 81}{2} = \frac{(r^2+s^2+t^2) + 2(rs+st+rt) - 81}{2}。]$ 这简化为 $[r^2 + s^2 + t^2 = 81.]$ 因此，$r, s, t$ 中的每一个都位于集合 ${1, 2, \ldots, 9}.$ 不失一般性地假设 $r \le s \le t,$ 我们有 $81=r^2+s^2+t^2 \le 3t^2,$ 所以 $t^2 \ge 27,$ 和 $t \ge 6.$ 我们采用以下情况：

如果 $t = 6,$ 则 $r^2+s^2 = 81 - 6^2 = 45;$ $r \le s \le 6$ 是 $(r, s) = (3, 6).$ 的唯一解。$ 如果 $t = 7,$ 则 $r^2+s^2 = 81-7^2 = 32;$ $r \le s \le 7$ 是 $(r, s) = (4, 4).$ 的唯一解。$ 如果 $t = 8,$ 则 $r^2+s^2 = 81-8^2 = 17;$ $r \le s \le 8$ 是 $(r, s) = (1, 4).$ 的唯一解。$

因此，该多项式的根的可能集合为 $(3, 6, 6)、(4, 4, 7)、$ 和 $(1, 4, 8)。$ 计算每个集合的 $a = r+s+t$ 和 $c=2rst$，我们有 $(a, c) = (15, 216), (15, 224), (13, 64).$

因为，给定 $a,$ 的值，$c,$ 仍然有两个可能的值，因此 $a = 15,$ 因为其中两对 $(a, c)$ 具有 $a = 15,$，但只有一个具有 $a = 13。$ 那么 $c$ 的两个可能值的总和为 $[216 + 224 = \boxed{440}.]$

答案：

第440章

##287.

问题：

设 $T$ 为所有正整数三元组 $(a,b,c)$ 的集合，其中存在边长为 $a,$ $b,$ $c.$ 的三角形 $[\sum_{(a,b,c) \in T} \frac{2^a}{3^b 5^c}.]$

解决方案：

对于边长为 $a,$ $b,$ $c,$ 的三角形，令 $s = \frac{a + b + c}{2},$ 并令

根据三角不等式，$x,$$y,$和$z$都是正数。 （此技术通常称为 Ravi 替换。）请注意

如果$s$是偶数，则$x、$$y、$和$z$都是正整数。因此，我们可以设置 $x = i,$ $y = j,$ 和 $z = k,$ 这给我们参数化 $(a,b,c) = (j + k, i + k, i + j).$

如果 $s$ 为奇数，则 $x、$、$y、$ 和 $z$ 均为 $n - \frac{1}{2},$ 形式，其中 $n$ 为正整数。因此，我们可以设置 $x = i - \frac{1}{2},$ $y = j - \frac{1}{2},$ 和 $z = k - \frac{1}{2}。$ 这给出了参数化 $(a,b,c) = (j + k - 1, i + k - 1, i + j - 1)。$

因此，我们的总和是

答案：

$\frac{17}{21}$

##288.

问题：

一个齿轮每分钟转动 $33\frac{1}{3}$ 次。另一个齿轮每分钟转动 45 圈。最初，每个齿轮上的标记都指向正北。多少秒后，两个齿轮的标记将同时指向正北？

解决方案：一个齿轮在 60 秒内转动 $33\frac{1}{3}=100/3$ 次，因此一秒内转动 5/9 次，即 9 秒内转动 5 次。另一个齿轮在 60 秒内转动 45 圈，因此它在一秒内转动 3/4 圈，即 4 秒内转动 3 圈。为了找出在多少秒后两个齿轮的标记都指向正北，我们必须找到 $4=2^2$ 和 $9=3^2$ 的最小公倍数，即 $2^2\cdot3^2=36$。因此，在 $\boxed{36}$ 秒后，两个齿轮的标记都指向正北。 （一个齿轮正好转动 $5\times4=20$ 次，另一个齿轮正好转动 $3\times9=27$ 次。）

答案：

36

##289.

问题：

一条线定义为 $[\begin{pmatrix} 3 \ -10 \ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \ -9 \ -2 \end{pmatrix}.]$ 另一行定义为 $[\begin{pmatrix} -5 \ -3 \ 6 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \ -18 \ -4 \end{pmatrix}.]$ 这两条线是平行的。求这两条线之间的距离。

解决方案：

我们看到 $(3,-10,1)$ 是第一行上的一个点。

第二行上的点由下式给出 $[\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \ -3 \ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \ -18 \ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 4t \ -3 - 18t \ 6 - 4t \end{pmatrix}.]$

受保护_58

从 $(3,-10,1)$ 指向 $(-5 + 4t, -3 - 18t, 6 - 4t)$ 的向量为 $[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -8 + 4t \ 7 - 18t \ 5 - 4t \end{pmatrix}.]$对于第二条线上最接近$(3,-10,1)的点，$该向量将与第二条线的方向向量正交，即$\begin{pmatrix} 4 \ -18 \ -4 \end{pmatrix}.$ 因此， $[\begin{pmatrix} -8 + 4t \ 7 - 18t \ 5 - 4t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \ -18 \ -4 \end{pmatrix} = 0.]$ 这给我们 $(-8 + 4t)(4) + (7 - 18t)(-18) + (5 - 4t)(-4) = 0.$求解，我们发现$t = \frac{1}{2}.$

将这个值代入$\mathbf{v},$我们发现平行线之间的距离是 $[\左|\mathbf{v}\右| = \左| \begin{pmatrix} -6 \ -2 \ 3 \end{pmatrix} \right| = \盒装{7}。]$

答案：

7

##290.

问题：

令 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 为正实数。找到最小值 $[(a + b + c + d) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \right).]$

解决方案：

通过 AM-GM， $[a + b + c + d \ge 4 \sqrt[4]{abcd},]$ 和 $[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \ge 4 \sqrt[4]{\frac{1}{abcd}},]$ 所以 $[(a + b + c + d) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \right) \ge 4 \sqrt[4]{abcd} \cdot 4 \sqrt[4]{\frac{1}{abcd}} = 16.]$ 当 $a = b = c = d,$ 时相等，因此最小值为$\盒装{16}.$

答案：

16

##291.

问题：

求 $r$ 的值，使得 \(\frac{6r^2 -19r - 7}{2r-7} = 4r-3.\)

解决方案：

对左边的二次因式进行因式分解，得到 \(\frac{(2r-7)(3r+1)}{2r-7} = 4r-3。\)取消左边的公因式，得到 $3r + 1 = 4r - 3$。解这个方程得到$r = \boxed{4}$。

答案：

4

##292.

问题：

考虑以下列点为顶点的矩形区域： \((5,4), (-5,4), (-5,-4), (5,-4).\) 有多少个具有整数坐标的点将严格位于该矩形区域的内部？

解决方案：

该矩形区域为 10 个单位 x 8 个单位，从而在内部形成一个 8 x 6 的矩形区域，从而形成一个 9 x 7 的格点阵列。这是具有整数坐标的 $\boxed{63}$ 点，如图所示。

受保护_59

注意：我们计算的是点数，而不是平方。计算内部方格数为 48，而不是计算内部格点，这是一个常见的错误，正确答案为 63。

答案：

63

—##293.

问题：

鉴于此

求 $x_{531}+x_{753}+x_{975}$ 的值。

解决方案：

将递归式移一并相加，我们有：

所以 $x_n = -x_{n-5}$ 对于所有 $n.$ 特别是， $x_n = -x_{n-5} = -(-x_{n-10}) = x_{n-10},$ 因此序列以周期 $10 重复。$ 因此，

答案：

898

##294.

问题：

查找所有满足不等式 $0\ge 54p-144$ 和 $0>12-20p$ 的 $p$。用区间表示法表达你的答案，减少答案中的任何分数。

解决方案：

我们一次处理一个不平等问题。在第一个不等式两边加上$144$，我们得到\(144\ge 54p，\)意味着\(\frac{144}{54}\ge p。\)减少分数并交换两边（以及不等式的方向），我们得到$p\le\frac{8}{3}$。

为了解决第二个不等式，我们将 $20p$ 添加到两边： \(20p > 12\)将两边除以 $20$，我们得到 \(p>\frac{12}{20}。\)减少分数得到 $p>\frac{3}{5}$。

我们正在寻找满足两个不等式的$p$。上述解的交集为$\boxed{\left(\frac{3}{5},\frac{8}{3}\right]}$。

答案：

$\left(\frac{3}{5},\frac{8}{3}\right]$

##295.

问题：

回文是向前和向后读相同的数字。一组特定的三个连续正整数的和是一个三位数的回文数。如果总和小于 220，则该集合中三个整数中最大的一个的最大可能值是多少？

解决方案：

三个连续整数的集合 ${n-1, n, n+1}$ 的总和是 $3n$。因此，我们正在寻找 $3$ 小于 $220$ 的最大三位数回文倍数。检查$212、202、191、181$和$171$，我们发现$171$是最大的回文，也是$3$的倍数。求解 $3n=171$ 得到 $n$，我们发现 $n=57$。三个整数分别是$56,57,58$，最大的是$\boxed{58}$。

答案：

58

##296.

问题：

方程 $z^4+4z^3i-6z^2-4zi-i=0$ 的解是复平面中凸多边形的顶点。该多边形的面积可以用$p^{a/b},$的形式表示，其中$a,\(b,\)p$是正整数，$p$是质数，$a$和$b$互质。查找 $a + b + p.$

解决方案：

由二项式定理，

所以，如果 $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0,$ 那么 $[(z + i)^4 = z^4 + 4iz^3 - 6z^2 - 4iz + 1 = 1 + i.]$ let $w = z + i,$ so $w^4 = 1 + i.$ （如果我们在复平面中绘制解 $w$，我们将获得与复平面中解 $z$ 相同的面积，因为替换 $w = z + i$ 只是平移了多边形。）

如果 $w^4 = 1 + i,$ 则 $[(wi)^4 = w^4 i^4 = w^4 = 1 + i.]$ 因此，如果 $w$ 是解，那么 $iw,$ $i^2 w = -w,$ 和 $i^3 w = -iw,$ 也是解，它们在复平面中形成一个正方形。

受保护_60

根据方程 $w^4 = 1 + i,$ $\left|w^4\right| = \left|1 + i\right|.$ 那么 $\left|w\right|^4 = \sqrt{2},$ 所以 $\left|w\right| = 2^{1/8}.$ 因此，正方形的边长为 $[\左|w - iw\右| = \左|w\右|\左|1 - i\右| = 2^{1/8} \sqrt{2} = 2^{5/8},]$ 因此正方形的面积为 $(2^{5/8})^2 = 2^{5/4}.$ 最终答案为 $5 + 4 + 2 = \boxed{11}.$

答案：

11

##297.

问题：

假设 $0 < r < 3$。下面是 $x$ 的五个方程。哪个方程的解 $x$ 最大？

解决方案：

直观上，$x$ 对于括号中的值最小的选项来说是最大的。

形式上，首先注意括号中的每个值都大于 $1$。现在，每个选项的形式为 $3f(r)^x = 7$。这可以重写为 $x\log f(r) = \log\frac 73$。当 $f(r)>1$ 时，我们有 $\log f(r)>0$。因此，$x$ 对于 $\log f(r)$ 最小的选项来说是最大的。由于 $\log f(r)$ 是一个递增函数，因此这是 $f(r)$ 最小的选项。

现在我们得到以下更容易的问题：**给定 $0<r<3$，找到集合 ${ 1+r, 1+r/10, 1+2r, 1+\sqrt r, 1+1/r}$ 中的最小值。

显然，$1+r/10$ 小于第一个和第三个选项。

我们有 $r^2 < 10$，所以两边除以 $10r$，我们得到 $r/10 < 1/r$。

最后，$r/100 < 1$，因此 $r^2/100 < r$。由于两边都是正数，我们可以开平方得到$r/10 < \sqrt r$。

因此答案是 $\boxed{\text{(B)}} 3(1 + r/10)^x = 7$。

答案：

$\文本{(B)}$

##298.

问题：

如果一本书由 $n$ 张纸组成，则称其有 $n$ 个叶子。另一方面，页数是页数的两倍，因为一张纸的每一面都被定义为一页。

如果一本书的页数比 $7$ 的倍数多 $3$，并且书页数大于 $100$，那么书页数最少是多少？

解决方案：

令 $m$ 为叶子的最少数量。那么 $2m$ 就是最少可能的页数。我们知道 $2m\equiv 3\pmod 7\ 意味着 8m \equiv 3\cdot 4\pmod 7\ 意味着 m\equiv 12\equiv 5\pmod 7$。所以$m=5+7a$ 对于某个正整数$a$。大于 $100$ 的最小数字是 $5+7\cdot 14=\boxed{103}$。

答案：

103

##299.

问题：

设 $\mathbf{a},$ $\mathbf{b},$ $\mathbf{c}$ 为三个向量，使得 $[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \ -7 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{a} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 \ 7 \ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \ -7 \ 18 \end{pmatrix}.]$ 计算 $(2 \mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (3 \mathbf{c} + \mathbf{a}).$

解决方案：

展开，我们得到

答案：

$\begin{pmatrix} -18 \ -49 \ 96 \end{pmatrix}$

300。

问题：

考虑顶点位于 $(5,4),$ $(5,-4),$ $(-5,4),$ $(-5,-4)$ 的矩形。有多少个整数坐标将严格位于矩形区域内？

解决方案：具有整数坐标的点称为格点。矩形的长度为 $5 - (-5) = 10$ 个单位。矩形的两条垂直边之间将有 9 个格子位置。矩形的高度为 $4 - (-4) = 8$ 个单位。矩形的顶部和底部之间将有 7 个格子位置。总共 $9 \times 7 = \boxed{63}$ 个格点。

答案：

63

301.

问题：

在一个平面上绘制四个不同的圆圈。至少有两个圆相交的最大点数是多少？

解决方案：

每对圆最多有两个交点。有 $\binom{4}{2} = 6$ 对圆，因此最多有 $6\times 2 = 12$ 个交点。以下配置表明 $\boxed{12}$ 交点确实是可能的：

受保护_61

答案：

12

302.

问题：

$\textbf{胡安的旧印地}$

胡安按照国家和发行年份来整理他收藏的邮票。他在邮票店购买这些邮票的价格是：巴西和法国各 6 美元美分，秘鲁各 4 美元美分，西班牙各 5 美元美分。 （巴西和秘鲁是南美国家，法国和西班牙是欧洲国家。）

受保护_62

他的 70\text{‘s}$ 邮票的平均价格是多少（美分）？将您的答案四舍五入到最接近的十分之一美分。

解决方案：

$\text{70’s}$ 邮票费用：

$\bullet$ 巴西, $12($ 0.06) = $ 0.72;$

$\bullet$ 秘鲁, $6($ 0.04) = $ 0.24;$

$\bullet$ 法国, $12($ 0.06) = $ 0.72;$

$\bullet$ 西班牙, $13($ 0.05) = $ 0.65.$

43 张邮票的总价为 2.33 美元，平均价格为 $[\frac{2.33}{43} \approx 0.054\text{ 美元} = 5.4\text{ 美分}.]$ 因此平均价格为 $(\boxed{5.4\text{ 美分}})$。

答案：

$5.4 \text{分}$

303.

问题：

将 $\frac{31}{11111}$ 转换为小数时，小数变成循环小数。这个循环小数中有多少位重复？

例如，如果您得到重复小数 $0.\overline{123},$ 那么您的答案应该是 $3,$，如果您得到 $0.436\overline{7},$ 您的答案应该是 $1.$

解决方案：

我们首先注意到\(\frac{31}{11111} = \frac{31 \times 9}{11111 \times 9} = \frac{279}{99999}。\)我们将证明\(\frac{279}{99999} = 0.\overline{00279}，\)所以我们的最终答案是$\boxed{5}。$

证明 $279/99999 = 0.\overline{00279}$：

让 $s = 0.\overline{00279}$.然后两边乘以 $10^5$ 得到 \(10^5 s = 279.\overline{00279}.\)将左边减去 $s$，右边减去 $0.\overline{00279}$ 得到 \(99999s = 279，\)所以 $s = 279/99999$。由此可知 $0.\overline{00279} = 279 / 99999,$ 根据需要。

答案：

5

304.

问题：

假设 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $\overline{AD}\left|\right| \上划线{BC}$。给定$\overline{AC}\perp\overline{CD}$，$\overline{AC}$平分角$\angle BAD$，且$[ABCD]=42$，然后计算$[\triangle ACD]$。

解决方案：绘制图表的方法有很多种；下面显示了一种可能性。我们知道 $\angle BAC \cong \angle CAD\cong \angle BCA$ 因为 $\overline{AC}$ 平分 $\angle BAD$ 和 $\overline{AD} \left|\right| \上划线{BC}$。因此$\triangle BAC$ 是等腰的。在图中，我们添加了线段 $\overline{BE}$ 将 $\triangle BAC$ 分成两个较小的全等直角三角形。我们还知道 $\triangle ACD$ 是一个直角三角形，因此我们得出 $\triangle ACD \sim \triangle CEB$ 的结论，因为我们已经知道 $\angle CAD\cong\angle ECB$。事实上，$\triangle ACD $ 正好是$\triangle CEB$ 大小的四倍，因为$AC=2(EC)$。如果我们让$[\triangle CEB]=K$，则$[\triangle AEB]=K$，而$[\triangle ACD]=4K$。因此$6K=42$，所以$K=7$并且$[\triangle ACD]=4K=\boxed{28}$。

受保护_63

答案：

28

305.

问题：

找到最小值 $[\frac{(x + 5)(x + 2)}{x + 1}]$ 对于 $x > 0.$

解决方案：

展开，我们得到 $[\frac{(x + 5)(x + 2)}{x + 1} = \frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1}.]$ 通过长除法， $[\frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1} = x + 6 + \frac{4}{x + 1} = (x + 1) + \frac{4}{x + 1} + 5。]$ 由 AM-GM 提供， $[(x + 1) + \frac{4}{x + 1} \ge 2 \sqrt{(x + 1) \cdot \frac{4}{x + 1}} = 4,]$ 所以 $(x + 1) + \frac{4}{x + 1} + 5 \ge 9.$

当 $x = 1,$ 时相等，因此最小值为 $\boxed{9}.$

答案：

9

306.

问题：

如果$\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{3x-1}}=\frac32$，求解$x$。用最简单的分数形式表达你的答案。

解决方案：

我们可以从交叉相乘开始：

检查后，我们发现 $x$ 的值确实有效，因此它不是一个无关的解决方案。

答案：

$\frac9{19}$

307.

问题：

求 $x^2 + ax + b = 0,$ 形式的二次方程的数量，使得只要 $c$ 是方程的根，$c^2 - 2$ 也是方程的根。

解决方案：

设根为$r$和$s$（不一定是实数）。我们采用 $r = s$ 和 $r \neq s.$ 的情况

情况 1：$r = s.$

由于 $r$ 是唯一的根，所以我们必须有 $r^2 - 2 = r.$ 然后 $r^2 - r - 2 = 0,$ 因式分解为 $(r - 2)(r + 1) = 0,$ 所以 $r = 2$ 或 $r = -1.$ 这导致了二次方程 $x^2 - 4x + 4$ 和 $x^2 + 2x + 1.$

情况 2：$r \neq s.$

$r^2 - 2$ 和 $s^2 - 2$ 中的每一个都必须等于 $r$ 或 $s.$ 我们有三种情况：

(i) $r^2 - 2 = r$ 和 $s^2 - 2 = s.$

(ii) $r^2 - 2 = s$ 和 $s^2 - 2 = r.$

(iii) $r^2 - 2 = s^2 - 2 = r$。

在情况 (i) 中，从情况 $r,$ $s \in {2,-1}.$ 可以得出二次方程 $(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2.$

在情况 (ii) 中，$r^2 - 2 = s$ 和 $s^2 - 2 = r.$ 减去这些方程，我们得到 $[r^2 - s^2 = s - r.]$ 那么 $(r - s)(r + s) = s - r.$ 由于 $r - s \neq 0,$ 我们可以将两边除以 $r - s,$ 得到 $r + s = -1.$ 将方程 $r^2 - 2 = s$ 和 $s^2 - 2 = r,$ 相加，我们得到 $[r^2 + s^2 - 4 = r + s = -1,]$ 所以 $r^2 + s^2 = 3.$ 对方程进行平方 $r + s = -1,$ 我们得到 $r^2 + 2rs + s^2 = 1,$ 所以 $2rs = -2,$ 或 $rs = -1.$ 因此，$r$ 和 $s$ 是 $x^2 + x - 1 的根。$

在情况 (iii) 中，$r^2 - 2 = s^2 - 2 = r.$ 那么 $r^2 - r - 2 = 0,$ 所以 $r = 2$ 或 $r = -1.$

如果 $r = 2,$ 则 $s^2 = 4,$ 所以 $s = -2.$ （我们假设 $r \neq s.$）这导致二次方程 $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4.$

如果 $r = -1$，则 $s^2 = 1,$ 所以 $s = 1.$ 这导致二次方程 $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1.$

因此，有 $\boxed{6}$ 二次方程有效，即 $x^2 - 4x + 4、$ $x^2 + 2x + 1、$ $x^2 - x - 2、$ $x^2 + x - 1、$ $x^2 - 4、$ 和 $x^2 - 1.$

答案：

6

—## 308.

问题：

对于 $0^\circ< x < 180^\circ$，函数 $y=\log_2 (\sqrt{\sin x})$ 的范围是多少？

解决方案：

在 0 到 180 度之间，$\sin x$ 的值在 0（不包括）和 1（包括）之间。因此，$\sqrt{\sin x}$ 的值介于 0（不包括）和 1（包括）之间。由于$0<x\le1$的$\log_2 x$的范围都是非正数，所以整个函数的范围都是非正数，或者说$x \in \boxed{(-\infty, 0]}$。

答案：

$(-\infty, 0]$

309.

问题：

令 $ABCD$ 为边长为 2 的正四面体。平行于边 $AB$ 和 $CD$ 且位于它们中间的平面将 $ABCD$ 切成两部分。求其中一块的表面积。

解决方案：

该平面与四面体的每个面相交于面的中线；根据对称性，平面与四面体的交线是一个边长为1的正方形。每块的表面积是四面体总表面积加上正方形面积的一半，即$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{2^2 \sqrt{3}}{4}+1=\boxed{1+2\sqrt{3}}$。

答案：

$1+2\sqrt{3}$

310.

问题：

一组不同正整数的乘积是 84。这些整数的最小可能和是多少？

解决方案：

我们知道这组数字的质因数必须等于 84 的质因数，即 $2^2\cdot3\cdot7$。总和最小的集合就是因子本身 - 2、2、3 和 7。但是，该集合不能有两个 2，因为整数必须不同，但它可以有 4、3 和 7。这些数字的总和是 $\boxed{14}$。我们也可以将 2 中的一个与 3 配对，得到 2、6 和 7，但它们的总和为 15。将额外的 2 与 7 分组得到 2、3 和 14（总和为 19），任何其他分组显然给出的总和高于 14。

答案：

14

311.

问题：

对于简化分数$\frac{p}{q}$，运算@定义为$\frac{m}{n}@\frac{p}{q} = (m)(p)\left(\frac{q}{n}\right)$。 $\frac{7}{30}@\frac{10}{21}$ 的简化值是多少？

解决方案：

我们有 $\frac{7}{30}@\frac{10}{21}=(7)(10)\left(\frac{21}{30}\right)=\boxed{49}$。

答案：

49

312.

问题：

如果 \(1+12+123+1234+12345+123456+1234567+12345678\) 与 $n$ 模 9 全等，其中 $0\le n<9$，那么 $n$ 的值是多少？

解决方案：

一个数字与其数字之和 $\pmod 9$ 全等。因此，

答案：

3

313.

问题：

解决 $[\frac{1}{x - 5} > 0.]$ 使用区间表示法输入您的答案。

解决方案：

如果 $x < 5,$ 则 $\frac{1}{x - 5} < 0,$ 如果 $x > 5,$ 则 $\frac{1}{x - 5} > 0,$ 所以解为 $x \in \boxed{(5,\infty)}.$

答案：

$(5,\infty)$

314.

问题：

查理骑着他的独轮车。如果独轮车的车轮半径为 9 英寸，每 3 秒转 2 圈，那么独轮车的速度是多少英寸/秒？

解决方案：

我们需要知道独轮车车轮一圈有多少英寸。换句话说，我们需要知道轮子的周长。由于半径为 $9$ 英寸，因此周长为 $18\pi$ 英寸。因此，如果一转中有 $18\pi$ 英寸，并且车轮每 $3$ 秒转 $2$ 转，则独轮车的速度为每秒 $18\pi\cdot\frac{2}{3} = \boxed{12\pi}$ 英寸。

答案：

$12\pi$

315.

问题：点 $(0,0)$ 反映在垂直线 $x=1$ 上。当它的图像反射到 $y=2$ 线上时，结果点是什么？

以 $(x, y)$ 的形式写下您的答案，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。

解决方案：

当 $(0,0)$ 反射到 $x=1$ 线上时，图像为 $(2,0)$。

受保护_64

当 $(2,0)$ 反射到 $y=2$ 线上时，图像为 $\boxed{(2,4)}$。

答案：

(2,4)

316.

问题：

正整数$a$、$b$和$2009$，其中$a<b<2009$，形成具有整数比的等比数列。 $a$是什么？

解决方案：

$2009$ 的质因数分解为 $2009 = 7\cdot 7\cdot 41$。由于 $a<b<2009$，比率必须为正且大于 $1$。因此，只有一种可能性：比率必须为 $7$，因此 $b=7\cdot 41$ 和 $a=\boxed{41}$。

答案：

41

317.

问题：

表达式 $10x^2-x-24$ 可写为 $(Ax-8)(Bx+3),$，其中 $A$ 和 $B$ 是整数。 $AB+B$是什么？

解决方案：

我们看到 $10x^2-x-24=(5x-8)(2x+3)$，因此 $A = 5$ 和 $B = 2$。因此，$AB + B = \boxed{12}.$

答案：

12

318.

问题：

令$a、$$b、$和$c$为不同的实数。求多项式的次数 $[p(x) = \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)}。]$

解决方案：

请注意，$p(x)$ 的次数最多为 2。此外，$p(a) = p(b) = p(c) = 1.$ 因此，多项式 $p(x)$ 和 1 在三个不同的值上一致，因此根据恒等定理，它们是相同的多项式。因此，$p(x)$（即常数多项式 1）的次数为 $\boxed{0}.$

您可以手动检查 $[p(x) = \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)}]$ 简化为 1。

答案：

0

319.

问题：

将表达式 $[\frac{4+6a}{5}-\frac{1+3a}{4}]$ 写为单个分数。

解决方案：

$5$ 和 $4$ 的公分母是 $20$，因此我们将第一个分数的顶部和底部乘以 $4$，并将第二个分数的顶部和底部乘以 $5$。我们得到 $[\frac{4(4+6a)}{4 \cdot 5} - \frac{5(1+3a)}{4 \cdot 5} = \frac{16+24a}{20}-\frac{5+15a}{20}。]$ 我们合并分数，小心地将第二个分数的分子放在括号中（因为我们要减去整个分子），得到$[\frac{16+24a-(5+15a)}{20} = \frac{16+24a-5-15a}{20}=\boxed{\frac{11+9a}{20}}.]$

答案：

$\frac{11+9a}{20}$

320.

问题：

在方程 $\left|x-4\right| 中-10 = 2$，$x$ 所有可能值的乘积是多少？

解决方案：

我们将给定的方程重新排列为 $\left|x-4\right| = 12 美元。因此，要么 $x-4 = 12$，意味着 $x = 16$，要么 $x-4 = -12$，意味着 $x=-8$。因此我们的答案是 $16\cdot (-8) = \boxed{-128}$。

答案：

-128

321.

问题：

在下图中，我们有 $\sin \angle RPQ = \frac{7}{25}$。什么是$\cos\angle RPS$？

受保护_65

解决方案：

对于任何角度 $x$，我们有 $\cos(180^\circ - x)=-\cos x$，因此 $\cos \angle RPS = \cos(180^\circ - \angle RPQ) =- \cos\angle RPQ$。

由于 $\sin^2 \angle RPQ + \cos^2 \angle RPQ = 1$，我们有 $\cos^2\angle RPQ = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576}{625}$。由于$\angle RPQ$是锐角，我们有$\cos\angle RPQ = \frac{24}{25}$，这给我们$\cos\angle RPS = -\cos\angle RPQ = \boxed{-\frac{24}{25}}$。

答案：

$-\frac{24}{25}$

322.

问题：

机器人匀速前进1公里需要2.5小时。以同样的恒定速度向前移动，机器人需要 90 秒才能走完特定的走廊。走廊长多少米？

解决方案：我们看到 2.5 小时等于 $2.5\cdot 60 = 150$ 分钟，或 $150\cdot 60 = 9000$ 秒。这比机器人在走廊上行走的时间长 100 倍，这意味着走廊有 $\frac{1}{100}$ 公里，或 $\frac{1000}{100} = \boxed{10}$ 米长。

答案：

10

323.

问题：

令 $f(x) = x - 3$ 且 $q(x) = bx +1$。如果 $f(q(1)) = -3$，$b$ 是多少？

解决方案：

我们有 $q(1) = b\cdot 1 + 1 = b+1$，因此 $f(q(1)) = f(b+1)$。应用 $f$ 的定义，我们有 $f(q(1)) = f(b+1) = (b+1) - 3 = b-2$。因此，等式 $f(q(1)) = -3$ 给出 $b-2 = -3$，因此 $ b= \boxed{-1}$。

答案：

-1

324.

问题：

在圆的圆周上随机且独立地选择四个点：$A$、$B$、$C$ 和 $D$。线段 $AB$ 和 $CD$ 相交的概率是多少？

解决方案：

在将四个随机点标记为 $A$、$B$、$C$ 或 $D$ 之前，请考虑它们。在一般情况下，它们将是不同的，形成凸四边形。假设 $A$ 被标记。如果 $B$ 被标记为与 $A$ 相对的顶点，则线段 $AB$ 和 $CD$ 将相交；否则，他们不会。由于有 3 个点标记为 $B$，因此这些线段相交的概率为 $\boxed{\frac{1}{3}}$。

受保护_66

在此图中，绿色边缘表示 $AB$ 和 $CD$ 相交的标签，蓝色和红色边缘表示 $AB$ 和 $CD$ 不相交的同等可能的标签。

答案：

$\frac{1}{3}$

325.

问题：

在图中，两个圆的圆心为 $D$，半径分别为 $1$ 和 $2$。阴影区域的总面积是大圆面积的$\frac5{12}$。 （较小的）$\angle ADC$ 的测量度数是多少？

受保护_67

解决方案：

假设$\angle ADC = x^\circ$。因此，内圆无阴影部分的面积是内圆总面积的 $\frac x{360}$，或 $\frac x{360}(\pi(1^2)) = \frac x{360} \pi$ （因为 $\angle ADC$ 是最大可能圆心角 ($360^\circ$) 的 $\frac x{360}$）。

因此，内圆阴影部分的面积为 \(\pi - \frac x{360}\pi = \frac{360 - x}{360}\pi。\) 外环的总面积为外圆和内圆面积之差，即 $\pi(2^2) - \pi(1^2) = 3\pi$。外环的阴影区域将是总面积的$\frac x{360}$。所以外环的阴影区域是$\frac x{360} (3\pi) = \frac{3x}{360}\pi$。

因此，总阴影面积（必须等于 $\frac53 \pi$）以 $x$ 表示，\(\frac{3x}{360} \pi + \frac{360 - x}{360} \pi = \frac{360 + 2x}{360} \pi.\) 因此， \(\frac{360 + 2x}{360} = \frac53 = \frac{600}{360},\) 所以 $360 + 2x = 600$，或 $x = \boxed{120}$。

答案：

120

326.

问题：

一个圆柱形烧杯高8厘米，半径3厘米。需要多少个这样的烧杯水才能装满半径为 6 厘米的球形水箱？

解决方案：

我们首先必须记住 3 维物体的体积公式。半径为 $r$、高度为 $h$ 的圆柱体的体积为 $r^2h\pi$，半径为 $r$ 的球体的体积为 $\frac{4}{3} r^3 \pi$。由于圆柱形烧杯的高度为 8 厘米，半径为 3 厘米，这意味着它的体积为 $3^2\cdot8\cdot\pi=72\pi$ 立方厘米。由于球体的半径为 6 厘米，因此其体积为 $\frac{4}{3}\cdot6^3\pi = 288\pi$ 立方厘米。装满球形水箱所需的烧杯数量就是水箱容积与圆柱体容积之比，由 $\dfrac{288\pi}{72\pi}=\boxed{4}$ 给出。

答案：

4

327.

问题：评价 $[\sin (\arcsin 0.4 + \arcsin 0.5) \cdot \sin (\arcsin 0.5 - \arcsin 0.4).]$

解决方案：

由角度加减公式可得：

所以

取 $x = \arcsin 0.5$ 和 $y = \arcsin 0.4,$ 我们得到

答案：

$\frac{9}{100}$

328.

问题：

设 $P(x)$ 为 3 次多项式。假设 $P(x)$ 除以 $(x - 1)(x - 4),$ 时余数为 $R(x)$，除以 $(x - 2)(x - 3) 时余数为 $2R(x)$。$ 假设 $P(0) = 5，$ 求 $P(5)。$

解决方案：

设 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5.$ 余数 $R(x)$ 的次数最多为 1，因此设 $R(x) = cx + d.$

当 $P(x)$ 除以 $(x - 1)(x - 4),$ 时，商的形式为 $x + p,$ 所以写 $[P(x) = (x + p)(x - 1)(x - 4) + R(x) = (x + p)(x - 1)(x - 4) + cx + d.]$比较$x^2,$的系数我们得到$a = p - 5.$

当 $P(x)$ 除以 $(x - 2)(x - 3),$ 商的形式为 $x + q,$ 所以写 $[P(x) = (x + q)(x - 2)(x - 3) + 2R(x) = (x + q)(x - 2)(x - 3) + 2(cx + d)。]$比较$x^2,$的系数，我们得到$a = q - 5.$因此，$p = q。$

比较两个方程中 $x$ 的系数，我们得到 \(\开始{对齐*} b &= c - 5p + 4, \\ b &= 2c - 5p + 6。 \end{align*}\) 减去这些方程，我们得到 $c + 2 = 0,$ 所以 $c = -2.$

比较第一个方程中的常数系数，我们得到 $5 = 4p + d.$ 因此， $[P(5) = (5 + p)(4)(1) - 10 + d = 10 + 4p + d = \boxed{15}.]$

答案：

15

329.

问题：

设 $f(x)=\left\lfloor\left(-\frac58\right)^x\right\rfloor$ 是为 $[0,\infty)$ 中 $x$ 的所有值定义的函数，使得 $f(x)$ 为实数。 $f(x)$范围内存在多少个不同的值？

解决方案：

由于 $-\frac58$ 是负数，因此 $f(x)$ 仅针对 $x$ 的整数值定义，并且会在正值和负值之间交替。另外，$\left|-\frac{5}{8}\right|<1$，因此$\left|f(x)\right|$将随着$x$在$x\ge0$区间内的增加而不断减小并接近0。因此，最大正值将出现在 $x=0$ 处，从而给出 $\left\lfloor\left(-\frac58\right)^0\right\rfloor=1$ 的正上限。然后，最大负值出现在 $x$ 的下一个整数值处：$x=1$，从而给出 $\left\lfloor\left(-\frac58\right)^1\right\rfloor=-1$ 的负下界。这告诉我们 $-1 \le f(x) \le 1$。由于 $f(x)$ 必须是整数，因此该范围中包含的唯一可能的不同值是 -1、0 和 1。这为我们提供了当 $x\ge0$ 时 $f(x)$ 的总共 $\boxed{3}$ 个值。

答案：

3

330。

问题：

自行车以每分钟 20 英尺的速度行驶。自行车的速度以英寸每秒表示是多少？

解决方案：

每英尺有 $12$ 英寸，因此自行车每分钟行驶 $12(20)=240$ 英寸。一分钟有 $60$ 秒，因此自行车以每秒 $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ 英寸的速度行驶。

答案：

4

331.

问题：参议院委员会有 8 名共和党人和 6 名民主党人。我们可以通过多少种方式组建一个由 5 名成员组成的小组委员会，并且每方至少有一名成员？

解决方案：

共有 $\binom{14}{5}=2002$ 种选择 5 人小组委员会的方式，对成员资格没有限制。在这些委员会中，唯一会违反特定条件的是完全由共和党人或完全由民主党人组成的委员会。共有 $\binom{8}{5}=56$ 个可能的小组委员会，所有 5 名成员均从 8 名共和党人中选出，而 $\binom{6}{5}=6$ 个可能的小组委员会，所有 5 名成员均从 6 名民主党人中选出。从可能的小组委员会总数中减去不起作用的小组委员会的数量，我们得到了答案： $2002-56-6=\boxed{1940}$。

答案：

1940年

332.

问题：

将以下表达式化简为简化分数： \(\sqrt{\dfrac{\dfrac{5}{\sqrt{80}}+\dfrac{\sqrt{845}}{9}+\sqrt{45}}{\sqrt5}}。\)

解决方案：

首先，我们将 $\sqrt{5}$ 除以大根式内分数分子的每一项： \(\sqrt{\dfrac{\dfrac{5}{\sqrt{80}}+\dfrac{\sqrt{845}}{9}+\sqrt{45}}{\sqrt5}}= \sqrt{\frac{5}{\sqrt{80}\cdot\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{845}}{9\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}}。\)让我们分别攻击平方根内的每个分数。首先，\(\dfrac{5}{\sqrt{80}\cdot\sqrt5}=\dfrac{5}{\sqrt{400}}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}。\)第二个比较棘手： \(\dfrac{\sqrt{845}}{9\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{169}}{9}=\dfrac{13}{9}。\)最后，$\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt5}=\sqrt9=3$。将它们加在一起，我们得到 \(\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{13}{9}+3}=\sqrt{\dfrac{9+52+108}{36}}=\sqrt{\dfrac{169}{36}}=\boxed{\frac{13}{6}}。\)

答案：

$\frac{13}{6}$

333.

问题：

设 $x,$ $y,$ 和 $z$ 为正实数，使得 $xyz(x + y + z) = 1.$ 找到以下值的最小值 $[(x + y)(y + z).]$

解决方案：

我们可以将 $(x + y)(y + z)$ 写为 $xz + y(x + y + z).$ 通过 AM-GM， $[xz + y(x + y + z) \ge 2 \sqrt{(xz)y(x + y + z)} = 2 \sqrt{xyz(x + y + z)} = 2.]$ 当 $xz = y(x + y + z) = 1$ 且 $xyz(x + y + z) = 1$ 时，等式成立。$ 例如，我们可以取 $x = 1,$ $y = \sqrt{2} - 1,$ 且 $z = 1.$ 因此，最小值为 $\boxed{2}.$

答案：

2

334.

问题：

如果 $[\sqrt[3]{2} = a + \cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \dotsb}}},]$ 其中 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 是正整数，则计算 $b。$

解决方案：

我们知道 $[\sqrt[3]{2} = a + \cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \dotsb}}} > a,]$ 和 $[\sqrt[3]{2} = a + \cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \dotsb}}} < a + 1.]$ 满足 $a < \sqrt[3]{2} < a + 1$ 的整数 $a$ 为 $a = 1.$

然后 $[\sqrt[3]{2} - 1 = \cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \dotsb}}},]$ 所以 $[\frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1} = b + \cfrac{1}{c + \cfrac{1}{d + \dotsb}}.]$ 与之前一样，$b$ 必须满足 $[b < \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1} < b + 1.]$ 对分母进行有理化，我们得到 $[\frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{(\sqrt[3]{2} - 1)(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1.]$ 我们有 $[\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 > 1 + 1 + 1 = 3.]$ 另外，$1.3^3 = 2.197 > 2$ 和 $1.6^3 = 4.096 > 4,$ 所以 $[\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 < 1.3 + 1.6 + 1 = 3.9 < 4,]$ 所以 $b = \boxed{3}.$

答案：

3

335.

问题：

如果$a+b=8$、$b+c=-3$、$a+c=-5$，则产品$abc$的价值是多少？

解决方案：将第一个给定方程与第二个方程相加，得到 $a+2b+c=5$。然后，从最后一个方程中减去第三个给定方程，我们得到 $2b=10$，因此 $b=5$。将 $b$ 的值代入第一个给定方程，我们发现 $a=3$。将 $a$ 的值代入第三个给定方程，我们发现 $c=-8$。因此，产品 $abc=3\cdot5\cdot-8=\boxed{-120}$。

答案：

-120

336.

问题：

斐波那契数列是序列 1, 1, 2, 3, 5, $\ldots$，其中每一项都是前两项之和。序列的 $100^{\mathrm{th}}$ 项除以 4 余数是多少？

解决方案：

如果我们查看模 4 序列的项，我们会发现它们遵循周期 6 的模式：

然后我们看到这些术语重复出现。因此，$100^{\text{th}}$ 项与 $4^{\text{th}}$ 项相同，因此除以 4 时余数为 $\boxed{3}$。

答案：

3

337.

问题：

$513^2 - 487^2$ 的价值是多少？

解决方案：

我们注意到这是平方差，因此 $513^2 - 487^2 = (513+487)(513-487) = (1000)(26) = \boxed{26000}$。

答案：

26000

338.

问题：

三个连续整数的乘积是 120。该乘积除以三个整数的平均值是 24。三个连续整数中最大的是多少？

解决方案：

将整数称为 $n-1$、$n$ 和 $n+1$。他们的平均值是$n$；他们的乘积为 $(n-1)(n)(n+1)=120$，他们的乘积除以平均值为 $(n-1)(n+1)=24$。将第一个方程除以第二个方程，我们得到 $n=5$。三者中最大的是$n+1=\boxed{6}$。

答案：

6

339.

问题：

$999_{10}$ 的六进制等值是多少？

解决方案：

我们知道 $6^{4} > 999{10} > 6^{3}$，因此以六为基数的 $999{10}$ 将有四位数字。

因此 $999_{10}$ 的六进制等价物是 $4343_{6}$。

答案：

$4343_{6}$

340.

问题：

方程 $y=ax^2+bx+c$ 和顶点 $(h,k)$ 的抛物线反映在直线 $y=k$ 上。这会产生方程 $y=dx^2+ex+f$ 的抛物线。用 $k.$ 表示 $a+b+c+d+e+f$

解决方案：

原抛物线的方程可写为 $[y = a(x - h)^2 + k.]$ 反射抛物线的方程为 $[y = -a(x - h)^2 + k.]$ 因此， $[ax^2 + bx + c + dx^2 + ex + f = 2k.]$设置$x = 1,$我们得到$a + b + c + d + e + f = \boxed{2k}.$

答案：

2000 美元

341.

问题：

设 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为向量，使得 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的角度为 $29^\circ,$，$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 之间的角度为 $84^\circ。$ 求 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{a}$ 之间的角度$\mathbf{a} - \mathbf{b}.$

解决方案：

由于$\mathbf{a}、\mathbf{b},$和$\mathbf{a-b}$都在同一平面上，从下图中我们可以看出$\mathbf{a}$和$\mathbf{a} - \mathbf{b}$之间的角度为$84^\circ - 29^\circ = \boxed{55^\circ}。$

受保护_68

答案：

$55^\约$

342.

问题：

小于其倒数两倍的最小数是多少？

解决方案：问题是要求我们找到 $x$ 的最小值，使得 $x = 2\cdot\frac{1}{x} - 1$。我们乘以 $x$ 来清除分数，然后重新排列各项：$x^2 + x - 2 = 0$。这可以分解为 $(x + 2)(x - 1) = 0$。我们还可以使用二次公式来求 $x$： \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2}。\) 无论哪种方式，我们都会发现 $x = 1$ 或 $x = -2$。由于我们想要 $x$ 的最小值，因此我们的答案是 $\boxed{-2}$。

答案：

-2

343.

问题：

什么整数 $x$ 满足 $\frac{1}{4}<\frac{x}{7}<\frac{1}{3}$？

解决方案：

将不等式中的所有表达式乘以 $7$，我们有 $\frac74 < x < \frac73$。由于 $\frac 74$ 介于 $1$ 和 $2$ 之间，而 $\frac 73$ 介于 $2$ 和 $3$ 之间，因此这两个分数之间的唯一整数 $x$ 是 $\boxed{2}$。

答案：

2

344.

问题：

如果每个车牌有 2 个不同的字母（A 到 Z）后跟 2 个不同的一位数字 (0-9)，可以形成多少个车牌？

解决方案：

第一个字母可以是字母表中 26 个字母中的任何一个，而第二个字母可以是其余 25 个字母中的任何一个。第一个数字可以是 10 个数字中的任何一个，而第二个数字可以是其余 9 个数字中的任何一个。车牌数量为$26\times 25\times 10\times 9=\boxed{58,500}$。

答案：

58,500

345.

问题：

让 $[f(n) = $$\开始{案例} 4n+3 &\text{如果 }n<a,
7n-12 &\text{if }n\ge{a}. \结束{案例} ]$ 如果 $y=f(n)$ 的图是连续的，则求 $a$。

解决方案：

为了使图形连续，函数的两个部分必须在 $n=a$ 处相遇。为了实现这一点，我们知道 $4a+3=7a-12$。求解$a$，我们发现$a=\frac{15}{3}=\boxed{5}$。

答案：

5

346.

问题：

如果 $t(x) = 3-g(x)$ 且 $g(x) = \sqrt{x}$，那么 $t(g(16))$ 是什么？

解决方案：

我们有 $g(16) = 4$，所以 $t(g(16)) = t(4) = 3- g(4) = 3-\sqrt{4} = 3-2 = \boxed{1}$。

答案：

1

347.

问题：

求解 $x$ 的正值，使得 $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} = 16$。

解决方案：

我们首先将方程每边进行立方，得到 $x^2 - 4x + 4 = 16^3$。请注意 $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.$

因此，我们有 $x-2 = \pm 16^{3/2} = \pm 64$。因此，$x$ 的可能值为 $-62$ 和 $66,$，因此唯一的正值是 $\boxed{66}$。

答案：

66

348.

问题：

化简$4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r)$，并以$Ar^2 + Br + C$的形式表达你的答案，其中$A$、$B$和$C$是整数。

解决方案：

使用分配律并组合类似项，我们有 $4(3r^3+5r-6)-6(2r^3-r^2+4r) = 12r^3+20r-24-12r^3+6r^2-24r。$ 简化，我们得到 $\boxed{6r^2-4r-24}。$

答案：

$6r^2-4r-24$

349.

问题：

计算$\dbinom{31}{28}$。

解决方案：

答案：

4495

350。

问题：

一张方桌，每边2人，8个人围坐，有多少种坐法？ （如果一种配置是另一种配置的旋转，则两种配置被认为是等效的。）

解决方案：

有 $8!$ 种方法可以将人员安排在桌子周围，但这会将每个有效的排列计算 4 次（如果将每个人顺时针移动 2、4 或 6 个位置，则会得到相同的排列）。答案是 $\dfrac{8!}{4} = \boxed{10080}$。

答案：

10080

351.

问题：

求$18^6.$的个位数

解决方案：$18^6$ 的个位数与 $8^6$ 中的个位数相同。我们可以通过多种方法找到该个位数，但请注意 $8^6 = 2^{18}$。很容易找到 2 的幂的个位数模式：

使用此模式，发现个位数字为 $\boxed{4}$。

答案：

4

352.

问题：

简化 $[\cos \left( \frac{2 \pi}{15} \right) \cos \left (\frac {4 \pi}{15} \right) \cos \left( \frac{8 \pi}{15} \right) \cos \left( \frac {16 \pi}{15} \right).]$

解决方案：

let $x = \cos \left( \frac{2 \pi}{15} \right) \cos \left (\frac {4 \pi}{15} \right) \cos \left( \frac{8 \pi}{15} \right) \cos \left( \frac {16 \pi}{15} \right).$ 然后通过重复应用双角公式，

所以 $x = \boxed{\frac{1}{16}}.$

答案：

$\frac{1}{16}$

353.

问题：

三角形$ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，高$AM=11。$假设$\overline{AM}$上有一点$D$，$AD=10$，$\angle BDC=3\angle BAC。$求三角形$ABC的周长。$

受保护_69

解决方案：

让 $\theta = \angle BAM.$ 则 $\angle BDM = 3 \theta.$ 由于 $\angle BDM$ 在三角形 $ABD 的外部，$ $\angle BDM = \angle BAD + \angle ABD.$ 因此，$\angle ABD = \angle BDM - \angle BAD = 2 \theta.$

根据三角形 $ABD,$ 的正弦定理 $[\frac{BD}{\sin \theta} = \frac{AD}{\sin 2 \theta}.]$ 那么 $[\frac{BD}{\sin \theta} = \frac{10}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{5}{\sin \theta \cos \theta},]$ 所以 $\cos \theta = \frac{5}{BD}.$

然后 $[AB = \frac{AM}{\cos \theta} = \frac{11}{5/BD} = \frac{11}{5} BD.]$ 根据直角三角形 $AMB$ 和 $DMB,$ 的勾股定理，$ \(\开始{对齐*} BM^2 + 11^2 &= AB^2, \\ BM^2 + 1^2 &= BD^2。 \end{align*}\) 减去这些方程，我们得到 $[AB^2 - BD^2 = 120.]$ 那么 $[\frac{121}{25} BD^2 - BD^2 = 120,]$ 所以 $BD = \frac{5 \sqrt{5}}{2}.$ 那么 $AB = \frac{11 \sqrt{5}}{2},$ 和 $BM = \frac{11}{2}.$ 因此，三角形 $ABC$ 的周长为 $[AB + AC + BC = \frac{11}{2} \sqrt{5} + \frac{11}{2} \sqrt{5} + 11 = \boxed{11 \sqrt{5} + 11}。]$

答案：

$11 \sqrt{5} + 11$

354.

问题：

假设我有 $6$ 不同的书，其中 $2$ 是数学书。如果我不希望数学书彼此相邻，我可以通过多少种方式将 6 美元的书堆放在书架上？

解决方案：

我们首先放置非数学书籍。第一本书有 4 美元的选择，第二本书有 3 美元的选择，第三本书有 2 美元的选择，最后一本书有 1 美元的选择。然后我们必须将两本数学书放在四本非数学书之间，使得两本数学书之间至少有一本非数学书。我们看到四本非数学书籍总共创造了 5 美元的空缺。因此，第一本数学书有 5 美元的选择，第二本数学书有 4 美元的选择。

因此书籍的放置方式总数为 $4\times3\times2\times1\times5\times 4 =\boxed{480}.$

答案：第480章

355.

问题：

27 个连续正整数的和是 $3^7$。他们的中位数是多少？

解决方案：

一组连续正整数的中位数等于该组整数的平均值。因此，我们可以通过将总和除以整数个数来找到中位数：$3^7/3^3=3^4=\boxed{81}$。

答案：

81

356.

问题：

设$a、$$b、$和$c$为正实数。找到最小值 $[\frac{(a + b + c)[(a + b)^2 + (a + b + 4c)^2]}{abc}。]$

解决方案：

通过 AM-GM， $[a + b \ge 2 \sqrt{ab},]$ 所以 $(a + b)^2 \ge 4ab.$

同样由 AM-GM 提供， $[(a + 2c) + (b + 2c) \ge 2 \sqrt{(a + 2c)(b + 2c)},]$ 所以 $(a + b + 4c)^2 \ge 4(a + 2c)(b + 2c).$

因此，

通过 AM-GM，

同样由 AM-GM 提供，

因此，

当 $a = b = 2$ 且 $c = 1,$ 时相等，因此最小值为 $\boxed{100}.$

答案：

100

357.

问题：

对于 $x$ 的哪些实际值，$-4<x^{4}+4x^{2}<21$ 满足？用区间表示法表达你的答案。

解决方案：

让我们首先定义$y=x^{2}$。然后，我们可以将该值代入不等式，并将 4 添加到 $-4$、$x^4+4x^2$ 和 21，得到 \(0<y^{2}+4y+4<25。\)我们可以因式分解 $y^2+4y+4$ 以获得 \(0<(y+2)^{2}<25。\)取平方根，得到 $0<\left|y+2\right|<5$，其中反过来，$y$ 的解给出了两个区间：$-2<y<3$，或 $-7<y<-2$。

然而，$y$ 必须是非负数，因为 $y=x^{2}$，所以我们有 $0\leq y<3$。这意味着 $-\sqrt{3}< x<\sqrt{3}$ 满足原始不等式。在区间表示法中，这是 $\boxed{(-\sqrt{3}, \sqrt{3})}$。

答案：

$(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$

358.

问题：

我有一副 $54$ 的牌，我将所有牌发给 $x$ 玩家，每个玩家得到 $y$ 牌。如果 $x$ 至少为 $2$ 并且 $y$ 至少为 $5$，那么 $x$ 有多少个可能的值？

解决方案：

我们希望 $xy=54=2 \cdot 3^3$ 使得 $x$ 至少为 $2$，$y$ 至少为 $5$。因此，可能的组合 $(x,y)$ 为 $(2,27)$、$(3,18)$、$(6,9)$ 和 $(9,6)$。有$\boxed{4}$这样的组合。

答案：

4

359.

问题：

确定下面方程的图形是抛物线、圆、椭圆、双曲线、点、直线、两条直线还是空的。

解决方案：

这看起来像圆的方程，但我们用 $\frac x2$ 替换了 $x$。因此，我们怀疑这个方程定义了一个$\boxed{\text{ellipse}}$。为了验证这一点，我们写下 $[\left(\frac x2 - 3\right)^2 = \frac 14 \left( x - 6\right)^2,]$ 并且我们看到方程 $[ \frac{\left(x - 6 \right)^2}{4} + y^2 = 10 ]$ 是椭圆的方程。

答案：

$\文本{椭圆}$

360。

问题：

假设 $x,$ $y,$ 和 $z$ 满足方程

计算 $xy + yz + zx.$ 的值

解决方案：

让 $s_1 = x + y + z$ 和 $s_2 = xy + xz + yz.$ 然后\(\开始{对齐*} s_1 s_2 &= (x + y + z)(xy + xz + yz) \\ &= x^2 y + xy^2 + x^2 z + xz^2 + y^2 z + yz^2 + 3xyz \\ &= 12 + 3 \cdot 4 = 24。 \结束{对齐*}\)

另外，

所以 $s_1 = 4.$ 因此，$s_2 = \frac{24}{s_1} = \boxed{6}.$

答案：

6

361.

问题：

以下行被参数化，因此其方向向量的形式为 $\begin{pmatrix} -7 \ b \end{pmatrix}.$ Find $b.$

受保护_70

解决方案：

该线穿过 $\begin{pmatrix} -5 \ 4 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} -1 \ 3 \end{pmatrix},$ 因此其方向向量与 $[\begin{pmatrix} -1 \ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}.]$ 要获得 $-7,$ 的 $x$ 坐标，$ 我们可以将此向量乘以标量 $-\frac{7}{4}.$ 这给出了我们 $[-\frac{7}{4} \begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \ 7/4 \end{pmatrix}.]$ 因此，$b = \boxed{\frac{7}{4}}.$

答案：

$\frac{7}{4}$

362.

问题：

等边三角形内切于抛物线 $x^2 = 8y,$，使得三角形的一个顶点与抛物线的顶点重合。求这个等边三角形的边长。

解决方案：

抛物线的顶点是原点。设 $A = \left( a, \frac{a^2}{8} \right)$ 为三角形的一个顶点。那么根据对称性，$B = \left( -a, \frac{a^2}{8} \right)$ 是三角形的另一个顶点。

受保护_71

然后 $AB^2 = (a + a)^2 = 4a^2,$ 和 $[OA^2 = a^2 + \frac{a^4}{64}.]$ 因此，$4a^2 = a^2 + \frac{a^4}{64}.$ 那么 $3a^2 = \frac{a^4}{64},$ 所以 $a^2 = 3 \cdot 64,$ 这意味着 $a = 8 \sqrt{3}.$

因此，三角形的边长为 $2a = \boxed{16 \sqrt{3}}.$

答案：

$16 \sqrt{3}$

363.

问题：

丹和唐纳德两位候选人竞选班长。另外两名候选人弗雷迪和伯尼竞选副总统。每个候选人有 50$\%$ 获胜的机会。丹和弗雷迪双双获胜的概率是多少？ （用分数表达你的答案。）

解决方案：

Dan 获胜的概率为 $\frac12$。 Freddie 获胜的概率也是 $\frac12$。因此，双方获胜的概率为 $\frac12 \cdot \frac12 =\boxed{\frac14}$。

答案：

$\frac14$

364.

问题：

三加上一个数字的倒数等于 7 除以该数字。号码是多少？

解决方案：

设 $x$ 为数字。将问题中的单词转换为方程即可得到 $3+\dfrac{1}{x} = \dfrac{7}{x}$。两边减去 $\dfrac{1}{x}$ 得到 $3 = \dfrac{6}{x}$。等式两边都乘以 $x$ 得到 $3x =6$，等式两边除以 3 得到 $x = \boxed{2}$。

答案：

2

365.

问题：

如果圆的每个点 $x^2 + y^2 = 25$ 都反映在点 $(4,1),$ 上，则图像点集满足方程 $[x^2 + ay^2 + bx + cy + d = 0.]$ 计算实数的有序四元组 $(a,b,c,d)$。

解决方案：

原圆的圆心是$(0,0)。$点$(0,0)$在点$(4,1)$上的反射是$(8,2),$所以新圆的方程是 $[(x - 8)^2 + (y - 2)^2 = 25.]$ 这简化为 $x^2 + y^2 - 16x - 4y + 43 = 0.$ 因此，$(a,b,c,d) = \boxed{(1,-16,-4,43)}.$

答案：

(1,-16,-4,43)

366.

问题：

如果 $a$ 和 $b$ 是正整数，使得 $\gcd(a,b)=210$、$\mathop{\text{lcm}}[a,b]=210^3$ 且 $a<b$，则 $a$ 有多少个可能的值？

解决方案：请注意，$210$ 的质因数分解为 $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$，因此 $210^3$ 的质因数分解为 $2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^3$。

假设 $\gcd(a,b)=210$ 和 $\mathop{\text{lcm}}[a,b]=210^3$，我们必须有 $a=2^k\cdot 3^\ell\cdot 5^m\cdot 7^n$ 和 $b=2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\cdot 7^s$，其中每个有序对$(k,p),(\ell,q),(m,r),(n,s)$ 是 $(1,3)$ 或 $(3,1)$。因此，如果我们忽略条件$a<b$，则$k$、$\ell$、$m$和$n$中的每一个都有独立的两个选择，并且这些选择决定了数字$a$和$b$。我们有 $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ 种方法来做出所有四种选择。

然而，这 $16$ 的选择集将以两种可能的顺序生成 $a$ 和 $b$ 的每个可能的值对。这些选择中有一半将满足 $a<b$，一半将满足 $a>b$。因此，施加条件 $a<b$，我们看到 $a$ 有 $\frac{16}{2}=\boxed{8}$ 可能的选择。

答案：

8

367.

问题：

求和 $1+3+5+7+9+\dots+195+197+199.$ 的模 $7$ 余数

解决方案：

我们不需要将总和求和并求余数，而是求每个数字的余数，以使计算更容易。

每组 7 个数字的残数之和为 $1+3+5+0+2+4+6 \equiv 21 \equiv 0 \pmod7$。由于总和中只有奇数，因此每个 7$ 奇数是 14$ 整数。因为每个组都有 $7$ 的残差，所以我们可以忽略它们。

有 $\left\lfloor \frac{199}{14}\right\rfloor=14$ 组 $14$ 整数，相当于我们的总和中的 $7$ 个奇数。剩下 $197$ 和 $199$，它们有残基 $1+3 \equiv \boxed{4} \pmod7$。

答案：

4

368.

问题：

假设 $f$ 是一个函数，$f^{-1}$ 是 $f$ 的逆函数。如果$f(1)=2$、$f(2) = 6$、$f(3)=5$，那么$f^{-1}(f^{-1}(6))$是多少？

解决方案：

由于 $f(2) = 6$，我们有 $f^{-1}(6)=2$。 （请注意，假设 $f$ 有逆元意味着 $x$ 没有其他值且 $f(x) = 6$。）类似地，$f(1) =2$ 意味着 $f^{-1}(2)=1$。 所以$f^{-1}(f^{-1}(6))=f^{-1}(2)=\boxed{1}$。

答案：

1

369.

问题：

三角形的两条边各长 $8$ 个单位。如果第三条边的长度为整数，那么三角形的最大周长（单位）是多少？

解决方案：

三角形不等式规定任意两条边的长度之和必须大于第三条边的长度。这意味着 $8+8=16$ 必须大于第三边的长度。第三边的长度为整数，因此最大可能长度为 15 个单位。这使得周长为 $8+8+15=\boxed{31}$ 单位。

答案：

31

370.

问题：

这个梯形的面积是多少平方厘米？

受保护_72

解决方案：

画出下图中的虚线段，将梯形分成一个矩形和一个直角三角形。矩形面积为$(5\text{ cm})(3\text{ cm})=15\text{ cm}^2$，三角形面积为$\frac{1}{2}(3\text{ cm})(9\text{ cm}-5\text{ cm})=6\text{ cm}^2$。将长方形的面积和三角形的面积相加，我们发现梯形的面积为$\boxed{21}$平方厘米。

受保护_73

答案：

21

371.

问题：

求 $\begin{pmatrix} -2 \ 0 \ 7 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 3 \ 4 \ -5 \end{pmatrix}.$ 的点积

解决方案：

$\begin{pmatrix} -2 \ 0 \ 7 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 3 \ 4 \ -5 \end{pmatrix}$ 的点积为 $[(-2)(3) + (0)(4) + (7)(-5) = \boxed{-41}.]$

答案：

-41

372.

问题：令 $a,$ $b,$ $c$ 为实数，使得 $[\left|ax^2 + bx + c\right| \le 1]$ 对于所有 $0 \le x \le 1.$ 找出 $\left|a\right| 的最大可能值+ \左|b\右| + \左|c\右|.$

解决方案：

设置 $x = 0,$ 我们得到 $\left|c\right| \le 1.$ 设置 $x = 1,$ 我们得到 $[\左|a + b + c\右| \le 1.]$ 设置 $x = \frac{1}{2},$ 我们得到 $[\左| \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c \right| \le 1.]$ 让

所以 $-1 \le p,$ $q,$ $r \le 1.$ 求解 $a,$ $b,$ 和 $c,$ 我们发现

因此，根据三角不等式，

因此，$\left|a\right| + \左|b\右| + \左|c\右| = 8 + 8 + 1 = 17.$

考虑二次方程 $f(x) = 8x^2 - 8x + 1.$ 我们可以写 $[f(x) = 8 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - 1.]$ 对于 $0 \le x \le 1,$ $0 \le \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{1}{4},$ 所以 $-1 \le f(x) \le 1.$

因此，$\left|a\right| 的最大可能值+ \左|b\右| + \left|c\right|$ 是 $\boxed{17}.$

答案：

17 号

373.

问题：

在图中，$AD=BD=CD$ 且 $\angle BCA = 40^\circ.$ $\angle BAC 的度量是多少？$

受保护_74

解决方案：

由于 $\angle BCA = 40^\circ$ 且 $\triangle ADC$ 与 $AD=DC 等腰，$ 我们知道 $\angle DAC=\angle ACD=40^\circ.$

由于三角形的内角和为 $180^\circ,$ 我们有

由于 $\angle ADB$ 和 $\angle ADC$ 是互补的，我们有

由于 $\triangle ADB$ 与 $AD=DB,$ 是等腰三角形，我们有 $\angle BAD = \angle ABD.$ 因此，

因此，

答案：

$90^\约$

374.

问题：

William Sydney Porter 尝试执行计算 $\frac{-3+4i}{1+2i}$。然而，他不小心错过了减号，找到了$\frac{3+4i}{1+2i}=\frac{11}{5}-\frac{2}{5}i$。他应该得到什么答案呢？

解决方案：

要执行复数除法，我们将分子和分母都乘以分母的共轭。在这种情况下，$1+2i$ 的共轭是 $1-2i$。乘法：

答案：

$1+2i$

375.

问题：

64的正平方根和64的立方根有什么区别？

解决方案：

64 的正平方根是 $\sqrt{64}=8$。 64 的立方根是 $\sqrt[3]{64}=4$。区别是$8-4=\boxed{4}$。

答案：

4

376.

问题：

如果 $A$ 是 $500$ 的正因数之和，那么 $A$ 的不同质因数之和是多少？

解决方案：首先，我们找到$A$。 $500$ 的质因数分解为 $2^2 \cdot 5^3$。因此，\(A=(1+2+2^2)(1+5+5^2+5^3)=(7)(156)。\)要了解为什么 $(1+2+2^2)(1+5+5^2+5^3)$ 等于 500 的除数之和，请注意，如果进行分配（不进行简化），您将得到 12 项，每个除数为 $2^2\cdot 5^3$只出现一次。

现在我们对 $7 \cdot 156 = 7 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 13$ 进行素因式分解。 $A$ 的素因数之和为 $2+3+7+13=\boxed{25}$。

答案：

25

377.

问题：

确定直线 $y=-x+6$ 上点 $P$ 的坐标，使得 $P$ 与点 $A(10,-10)$ 和 $O(0,0)$ 等距（即 $PA=PO$）。将您的答案表达为有序对 $(a,b)$。

解决方案：

如果 $P$ 与 $A$ 和 $O$ 等距，则它必须位于 $AO$ 的垂直平分线上。由于$A$ 的坐标为$(10,-10)$，$O$ 的坐标为$(0,0)$，因此$AO$ 的斜率为$\frac{-10-0}{10-0}=-1$。 $AO$ 的垂直平分线必须具有斜率 $-\frac{1}{-1}=1$，并且还必须经过 $AO$ 的中点，即 $(5,-5)$。因此，垂直平分线有方程 $y-(-5)=x-5$ 或 $y=x-10$。

$P$ 是线 $y=x-10$ 和线 $y=-x+6$ 的交点。使这些方程相等并求解 $x$ 得到 $-x+6=x-10 \Rightarrow x=8$。由此可见 $y=-8+6=-2$ 和 $P=(x,y)=\boxed{(8,-2)}$。

答案：

(8,-2)

378.

问题：

$n$ 的超阶乘定义为

4的超阶乘的个位数是多少？

解决方案：

由于$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$，我们需要个位数

基数 $24$ 的个位数为 $4$。对于任何偶数指数，$4^{\text{even}}$ 以 $6$ 结尾。 由于这里的指数是 $24$ 的倍数（特别是偶数），因此 4 的超阶乘的个位数是 6。

答案：

$6$

379.

问题：

有多少个两位数素数的各位数字之和等于 8？

解决方案：

首先，我们列出所有数字和为8的两位数：

17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80

显然，26、44、62 和 80 不是素数。 35 不是素数，但 17、53 和 71 是（我们可以通过将每个数字除以所有小于其平方根的素数来验证这一点（这是为什么？））。因此，答案是 $\boxed{3}$ 两位素数。

答案：

3

380。

问题：

下表中的数据显示了 Central H.S. 调查中公交车乘客的百分比。学生;每个年级有300名男性和300名女性接受了调查。哪个年级的男性公交车乘客人数最接近 $135\%$ 女性公交车乘客人数？

解决方案：男性公交车乘客人数最接近女性公交车乘客人数 $135\%$ 的年级与男性公交车乘客百分比最接近女性公交车乘客百分比 $135\%$ 的年级相同。为了找出 $135\%$ 占女性公交车乘客百分比的百分比，我们将每个百分比乘以 $1.35。$ 在九年级，百分比为 $39.4\cdot1.35=53.19$%。在十年级，该百分比为 $33.1\cdot1.35=44.685$%。在十一年级，该百分比为 $13.8\cdot1.35=18.63$%。在十二年级，该百分比为 $8.6\cdot1.35=11.61$%。通过检查，我们发现十二年级女生乘坐公交车的比例$135\%$与十二年级公交车男生比例最接近。所以答案是$\boxed{12}.$

答案：

12

381.

问题：

解决 $[\frac{\left|x^2 - 81\right|}{x^2 - 36x} < 0。]$

解决方案：

请注意 $\left|x^2 - 81\right| \ge 0$ 对于所有 $x,$ 以及 $\left|x^2 - 81\right| = 0$ 仅适用于 $x = \pm 9.$

分母因子为 $x(x - 36).$ 仅当 $0 < x < 36.$ 时为负。因此，解为 $[x \in \boxed{(0,9) \cup (9,36)}.]$

答案：

$(0,9) \杯(9,36)$

382.

问题：

从区间 $(0,3)$ 中随机选择两个数字 $x$ 和 $y$。边长为 1、$x$ 和 $y$ 的三角形存在的概率是多少？

解决方案：

如果存在边长为 1、$x$ 和 $y$ 的三角形，则必须满足三角形不等式，即 $x+y>1$、$1+x>y$ 和 $1+y>x$。我们可以用 $x$ 和 $y$ 轴绘制一个平面，并在满足所有这些不等式的区域中绘制阴影。

受保护_75

正方形的总面积为$3^2=9$。无阴影区域的面积为$2^2+1/2=9/2$。因此，阴影面积为 $9/2$，这样的三角形存在的概率为 $(9/2)/9=\boxed{\frac{1}{2}}$。

答案：

$\frac{1}{2}$

383.

问题：

田径场内围有一块矩形场地，如下图所示。跑道由场地的两个边缘和两个半圆组成。赛道长度为400米。该场地最大可能的面积是多少（平方米）？

受保护_76

解决方案：

设矩形的宽度为$w,$，每个半圆的半径为$r.$

受保护_77

那么轨道的长度是 $2w + 2 \pi r = 400,$ 所以 $w + \pi r = 200.$ By AM-GM, $[200 = w + \pi r \ge 2 \sqrt{w \pi r},]$ 所以 $\sqrt{w \pi r} \le 100.$ 然后 $w \pi r \le 10000,$ 所以 $[wr \le \frac{10000}{\pi}.]$ 那么场的面积$2wr,$必须满足 $[2wr \le \frac{20000}{\pi}.]$ 当 $w = 100$ 且 $r = \frac{100}{\pi},$ 时相等，因此最大可能面积为 $\boxed{\frac{20000}{\pi}}.$

答案：

$\frac{20000}{\pi}$

384.

问题：

对于 $x$ 的什么值，$x^2 - 5x - 4 \le 10$ 成立？用区间表示法表达你的答案。

解决方案：

重新排列，$x^2 - 5x - 14 \le 0$。左侧二次因子为 $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \le 0$。因此，$x-7$ 和 $x+2$ 具有相反的符号，因此 $-2 \le x \le 7$ 和 $\boxed{x \in [-2,7]}$。

答案：

$x \in [-2,7]$

385.

问题：

简化 $x$ 中的以下表达式：\(19x + 1 - 4x - 81.\)

解决方案：

重新排列和分组，我们得到 $(19x - 4x) + (1 - 81) = \boxed{15x - 80}$。

答案：

$15x - 80$

386.

问题：

凯西需要钱去欧洲旅行。如果她银行里有300美元，但想取出一半是英镑，一半是欧元，那么她的欧元比英镑多多少？假设 1 英镑 = 1.64 美元，1 欧元 = 1.32 美元，并四舍五入到最接近的整数。

解决方案：Kathy 将一半的钱 ($300\text{ USD}\div 2 = 150\text{ USD}$) 兑换成英镑后，她将拥有 $150\text{ USD}\times\frac{1\text{ pound}}{1.64 \text{ USD}}\approx 91.46 \text{ pound}$。将另一半钱兑换成欧元后，她将拥有 $150\text{ USD} \times\frac{1\text{ 欧元}}{1.32 \text{ USD}}\约 113.64\text{ 欧元}$。减去这两个值，我们得到 $113.64-91.46=22.18$。由于该问题要求最接近的整数，因此我们将 22.18 舍入为最终答案 $\boxed{22}$。

答案：

22

387.

问题：

$\left|x-2\right|\leq5.6$ 的解集中有多少个整数？

解决方案：

去掉绝对值，我们有 $-5.6 \le x-2 \le 5.6$，或 $-3.6 \le x \le 7.6$。因此，$x$ 可以是 -3 到 7 之间的任何整数（包括 -3 和 7）。此范围内有 $7-(-3)+1=\boxed{11}$ 个整数。

答案：

11

388.

问题：

如果$f(x)=5x^2+3x+4$，$f(-2)$的值是多少？

解决方案：

我们有 $f(-2) = 5(-2)^2 + 3(-2) + 4 = 5(4) -6 + 4 = \boxed{18}$。

答案：

18

389.

问题：

函数 \(g(x) = \sqrt{(x-3)^2-(x-8)^2}~?\) 域中最小实数 $x$ 是多少

解决方案：

实数$x$在$g$的域中当且仅当\((x-3)^2 - (x-8)^2 \ge 0。\)展开并简化，我们得到\(10x - 55\ge 0;\)最小的解是$x=\frac{55}{10}=\boxed{\frac{11}{2}}$。

或者，一旦我们有了二次方程 \((x-3)^2 - (x-8)^2 \ge 0,\) 而不是将其展开，我们可以观察到 $(x-3)^2$ 是数轴上从 $x$ 到 $3$ 距离的平方，而 $(x-8)^2$ 是从 $x$ 到 $8$ 距离的平方。因此，如果 $x$ 比 $3$ 更接近 $8$，则 $(x-3)^2-(x-8)^2\ge 0$ 为真，当且仅当 $x\ge \frac{8+3}{2} = \boxed{\frac{11}{2}}$ 为真。

答案：

$\frac{11}{2}$

390.

问题：

在$\triangle{RST}$中，如图所示，$\sin{R}=\frac{2}{5}$。 $\sin{T}$ 是什么？

受保护_78

解决方案：

因为$\triangle RST$是直角三角形，所以$\sin R = \frac{ST}{RT}$。所以 $\sin R = \frac{2}{5} = \frac{ST}{5}$。那么$ST=2$。

我们知道 $\sin T = \frac{RS}{RT}$。根据毕达哥拉斯定理，$RS = \sqrt{RT^2 - ST^2} = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}$。那么$\sin T = \boxed{\frac{\sqrt{21}}{5}}$。

答案：

$\frac{\sqrt{21}}{5}$

391.

问题：

$y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x^2-3\right)$ 图形上的原点与点之间的最小距离可以表示为 $\sqrt{a}/b$，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数，使得 $a$ 不能被任何大于 1 的整数的平方整除。找到$a+b$。

解决方案：

通过距离公式，我们试图最小化 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(1/2)(x^4-6x^2+9)}$。一般来说，像这样的最小化问题需要微积分，但有时有效的一种优化方法是尝试完成平方。从激进式中取出 $1/2$ 因子，我们有

当平方等于 $0$ 时，即当 $x=\sqrt{2}$ 时，最后一个表达式将被最小化。那么距离就是$\sqrt{5}/\sqrt{2}=\sqrt{10}/2$。因此，所需的答案是 $\boxed{12}$。

答案：

12

392.

问题：

令 $f$ 定义为 $[f(x) = \left{ $$\begin{数组}{cl} 3-x & \text{ if } x \leq 3,
-x^3+2x^2+3x & \text{ 如果 } x>3。 \结束{数组} \right.]$计算$f^{-1}(0)+f^{-1}(6)$。

解决方案：

数字 $f^{-1}(0)$ 是 $x$ 的值，使得 $f(x) = 0$。由于函数 $f$ 是分段定义的，为了找到这个值，我们必须考虑 $x \le 3$ 和 $x > 3$ 两种情况。如果 $x \le 3$ 且 $f(x) = 0$，则 $3 - x = 0$，从而得出 $x = 3$。请注意，该值满足条件 $x \le 3$。如果 $x > 3$ 且 $f(x) = 0$，则 $-x^3 + 2x^2 + 3x = 0$。该方程因式分解为 $-x(x - 3)(x + 1) = 0$，因此 $x = 0$、$x = 3$ 或 $x = -1$。但这些值都不满足 $x > 3$，因此解为 $x = 3$，这意味着 $f^{-1}(0) = 3$。

现在我们计算 $f^{-1}(6)$，它是 $x$ 的值，使得 $f(x) = 6$。

如果 $x \le 3$ 且 $f(x) = 6$，则 $3 - x = 6$，从而得出 $x = -3$。请注意，该值满足条件 $x \le 3$。如果 $x > 3$ 且 $f(x) = 6$，则 $-x^3 + 2x^2 + 3x = 6$，或 $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$。该方程因式分解为 $(x - 2)(x^2 - 3) = 0$，因此 $x = 2$、$x = \sqrt{3}$ 或 $x = -\sqrt{3}$。但这些值都不满足 $x > 3$，因此解为 $x = -3$，这意味着 $f^{-1}(6) = -3$。

因此，$f^{-1}(0)+f^{-1}(6) = 3 + (-3) = \boxed{0}$。

受保护_79

答案：

0

393.

问题：

从点 $P$ 到正八面体五个顶点的距离为 3、7、8、9 和 11。求从 $P$ 到第六个顶点的距离。

受保护_80

解决方案：

令 $P = (x,y,z),$ 并令八面体的顶点为 $A = (a,0,0),$ $B = (-a,0,0),$ $C = (0,a,0),$ $D = (0,-a,0),$ $E = (0,0,a),$ 和 $F = (0,0,-a)。$ 然后从 $P$ 到顶点是

请注意 $[d_A^2 + d_B^2 = d_C^2 + d_D^2 = d_E^2 + d_F^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2a^2。]$ 在距离 3、7、8、9 和 11 中，我们成对检查它们的平方和：

我们只看到一个重复值，即 $3^2 + 11^2 = 7^2 + 9^2 = 130.$ 因此，第六个距离一定是 $\sqrt{130 - 8^2} = \boxed{\sqrt{66}}.$

答案：

$\sqrt{66}$

394.

问题：

这是一个众所周知的物理公式：力等于质量乘以加速度。珍想用与杰克扔棒球相同的力量来扔垒球。如果垒球的质量为 $200$g，棒球的质量为 $150$g，那么 Jen 的球与 Jack 的球的加速度之比是多少？用最简的形式回答分数。

解决方案：

如果 $j_1$ 是 Jen 的球的加速度，$j_2$ 是 Jack 的球的加速度，那么我们有

答案：

$\压裂34$

395.

问题：

考虑描述抛物面的函数 $z(x,y)$ $[z = (2x - y)^2 - 2y^2 - 3y.]$ 阿基米德和梵天笈多正在玩游戏。阿基米德首先选择 $x.$ 然后，Brahmagupta 选择 $y.$ 阿基米德希望最小化 $z$，而 Brahmagupta 希望最大化 $z.$ 假设 Brahmagupta 将发挥最佳效果，阿基米德应该选择 $x$ 的值是多少？

解决方案：

展开 $z,$ 我们得到

阿基米德选择$x后，梵天笈多会选择$ $[y = -\frac{4x + 3}{2}]$ 以便最大化 $z.$ 然后

为了最小化这个表达式，阿基米德应该选择 $x = -\frac{6}{16} = \boxed{-\frac{3}{8}}.$

答案：

$-\frac{3}{8}$

396.问题：

如果$a = 8$，$\left(16\sqrt[3]{a^2}\right)^{\frac 13}$的值是多少？

解决方案：

请注意 $a^2 = 64$ 和 $\sqrt[3]{64} = 4$。因此，\(\left(16\sqrt[3]{a^2}\right)^{\frac {1}{3}} = \left(16 \times 4\right)^{\frac{1}{3}} = 64^\frac{1}{3} = \boxed{4}。\)

答案：

4

397.

问题：

四边形 $ABCD$ 是面积为 16 平方英寸的正方形。该图表示中国七巧板的各个部分，其中所有三角形都是等腰三角形，而“e”部分是正方形。灰色部分的面积是多少，单位为平方英寸？

受保护_81

解决方案：

设中心点为$H$。 $ADH$ 是等腰直角三角形。由于 $ABCD$ 的面积为 $16$，因此 $AD$ 的长度为 $4$。所以 $DH$ 的长度为 $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。设$DH$和$DC$上的标记点分别为$F$和$G$。由于角度 $ADH$ 为 $45^{\circ}$，因此角度 $FDG$ 也为 $45^{\circ}$。因此，由于 $e$ 是正方形，因此三角形 $DFG$ 是等腰直角三角形。因此$HF=DF=FG$。

由于 $DH=2\sqrt{2}$，它们等于 $\sqrt{2}$。因此 $DG$ 的长度为 $2$，而 $CD$ 的长度为 $4$，这意味着 $CG$ 的长度为 $2$。由于角度$FGD$是$45^{\circ}$并且$e$是一个正方形，如果我们将$BC$上的标记点标记为$J$，那么角度$CGJ$就是$45^{\circ}$。

因此三角形 $CGJ$（灰色部分）是一个等腰直角三角形，其一条边为 $2$，因此其面积为 $\frac{2^2}{2}=\boxed{2}$。

答案：

2

398.

问题：

如果 $3x + 2(1 + x) = 17$，那么 $6x + 5$ 的价值是多少？

解决方案：

展开并收集第一个方程左侧的项，得到 $5x+2=17$。每边减去 2 得到 $5x=15$，然后每边除以 5 得到 $x=3$。现在我们知道 $x$ 是什么，我们可以将它代入 $6x+5$ 并得到 $6(3)+5=18+5=\boxed{23}$。

答案：

23

399.

问题：

来自毛里求斯的纳文、来自克罗地亚的卢卡、来自博茨瓦纳的伊恩在青年旅社的大厅里聊天，讨论着自己的兼职工作。他们了解到纳文每小时赚 160 卢比，卢卡每小时赚 25 库纳，伊恩每小时赚 34 普拉。如果一美元相当于 32.35 毛里求斯卢比、5.18 克罗地亚库纳和 6.95 博茨瓦纳普拉，谁在每天工作 8 小时后收入最高？

解决方案：

解决这个问题最简单的方法就是将工资换算成美元，并忽略八小时工作制。一小时内纳文赚了 $160\text{ 卢比} \times \frac{1\text{ USD}}{32.35\text{ 卢比}}\约 4.95\; \text{美元}$。卢卡赚了 25 美元 \text{ kuna} \times \frac{1\text{ USD}}{5.18 \text{ kuna}}\approx 4.83 \text{ USD}$。伊恩赚了 $34\text{ pula} \times\frac{1\text{ USD}}{6.95 \text{ pula}}\约 4.89 \text{ USD}$。比较这些数字，我们发现 $\boxed{\text{Navin}}$ 的每小时工资最高，因此八小时内收入最高。

答案：

$\text{纳文}$

400。

问题：

将 313.9 添加到 12.6。将结果表示为小数。

解决方案：

我们有$[ \begin{数组}{@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} &&&1&
& 3 & 1 & 3. & 9 \

• & & 1 & 2. & 6 \ 1-5 & 3 & 2 & 6. & 5
  \结束{数组} ]$ 由于最右列中的 $9+6=15$ 大于 9，因此我们记录 5 并将 10 作为 1“进位”到下一列（显示在加数 313.9 中的第二个 3 上）。答案是326.5。

答案：

326.5

401.

问题：

在以 $Q$ 为圆心的圆中，半径 $AQ$ 和 $BQ$ 形成直角。两个较小的区域是相切的半圆，如图所示。以 $Q$ 为圆心的圆的半径为 14 英寸。较小的半圆的半径是多少？将你的答案表达为一个常见分数。

解决方案：设$C$和$D$分别为较大半圆和较小半圆的中心，并令$r$为较小半圆的半径。我们有 $QD=QB-DB=14-r$ 和 $QC=7$，因此我们可以将毕达哥拉斯定理应用于三角形 $QCD$ 以获得 $[ (14-r)^2+7^2=(7+r)^2。 ]$ 对两个二项式进行平方并从两边减去 $7^2+r^2$ 后简化为 $196-28r=14r$。两边加上 $28r$ 并除以 42，我们得到 $r=\boxed{\frac{14}{3}}$ 英寸。

受保护_82

答案：

$\frac{14}{3}$

402.

问题：

令 $z$ 为复数，使得 $\left|z\right| = 1.$ 求最大值 $[\左|1 + z\右| + \左|1 - z + z^2\右|。]$

解决方案：

让 $z = x + yi,$ 其中 $x$ 和 $y$ 是实数。由于$\left|z\right| = 1,$ $x^2 + y^2 = 1.$ 那么

设 $u = \sqrt{2 + 2x}.$ 然后 $u^2 = 2 + 2x,$ 所以 $[\sqrt{2 + 2x} + \左|1 - 2x\右| = u + \left|3 - u^2\right|.]$ 自 $-1 \le x \le 1,$ $0 \le u \le 2.$

如果 $0 \le u \le \sqrt{3},$ 则 $[u + \left|3 - u^2\right| = u + 3 - u^2 = \frac{13}{4} - \left( u - \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{13}{4}.]$ 当 $u = \frac{1}{2},$ 或 $x = -\frac{7}{8}.$ 时，相等

如果 $\sqrt{3} \le u \le 2,$ 则 $[u + u^2 - 3 = \left( u + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{13}{4} \le \left( 2 + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{13}{4} = 3 < \frac{13}{4}.]$ 因此，最大值为 $\boxed{\frac{13}{4}}.$

答案：

$\frac{13}{4}$

403.

问题：

顺时针方向围绕 $-4 - 5i$ 旋转 $90^\circ$ 应用于 $3$（作为复数）。得到的复数是多少？

解决方案：

顺时针方向 $90^\circ$ 旋转对应于乘以 $\operatorname{cis} (-90^\circ) = -i.$

受保护_83

设$z$为$3$在旋转下的图像。由于旋转中心是 $-4 - 5i,$ $[z - (-4 - 5i) = (-i)(3 - (-4 - 5i)).]$求解，我们发现$z = \boxed{1 - 12i}.$

答案：

$1 - 12i$

404.

问题：

在 $629{10}$ 的基数 7 和基数 8 表示中找到多少个相同的数字？例如，$121{3}$ 和 $413_{5}$ 将有一位共同数字。

解决方案：

首先，将 $629_{10}$ 转换为每个碱基。

要转换为基数 7，请注意 $7^{4} > 629_{10} > 7^{3}$，因此基数 7 表示有四位数字。

因此，$629{10}=1556{7}$。

要转换为基数 8，请注意 $8^{4} > 629_{10} > 8^{3}$，因此基数 8 表示有四位数字。

因此，$629{10}=1165{8}$。

最后，比较 $1556{7}$ 和 $1165{8}$，数字 $1$、$5$ 和 $6$ 都出现在两个数字中。因此，共有位数为3。

答案：

3

405.

问题：

罗斯林有十个盒子。其中五个盒子装有铅笔，四个盒子装有钢笔，其中两个盒子同时装有钢笔和铅笔。有多少盒子里既没有钢笔也没有铅笔？

解决方案：在 5 个装有铅笔的盒子中，有 2 个装有钢笔，因此 $5-2=3$ 只有铅笔。同样，$4-2 =2$ 的盒子里只有笔：

受保护_84

这给了我们 3+2+2=7$ 的盒子，里面装有钢笔、铅笔或两者。这使得 $10-7 = \boxed{3}$ 两者都没有。

答案：

3

406.

问题：

如果没有人共用一个办公室，有多少种方法可以将3个人分配到5个不同的办公室？ （每个人只有一间办公室）。

解决方案：

如果我们将三个人编号为 1、2 和 3，则人员 1 可以分配到 $5$ 办公室，人员 2 可以分配到 $4$ 办公室，人员 3 可以分配到 $3$ 办公室。这为我们提供了 $5 \times 4 \times 3 = \boxed{60}$ 的方法来将三个人分配到办公室。

答案：

60

407.

问题：

2004 年的余数除以 12 是多少？

解决方案：

一个整数能被 12 整除当且仅当它能被 3 和 4 整除时。因为 $2+0+0+4=6$ 能被 3 整除，所以 2004 能被 3 整除。另外，2004 的最后两位数字形成 4 的倍数，所以 2004 也能被 4 整除。因此，2004 可以被 12 整除，因此除以 12 后留下 $\boxed{0}$ 的余数。

答案：

0

408.

问题：

如果$f(x)=\dfrac{2}{x+1}$，那么$f^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$的值是多少？

解决方案：

$f^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ 被定义为数字 $x$，使得 $f(x)=\frac{1}{5}$。因此，我们求解方程 \(\frac{2}{x+1} = \frac{1}{5}。\)两边乘以 $5(x+1)$，得到 \(10 = x+1。\)两边减去 $1$ 得到 $x=\boxed{9}$。

答案：

9

409.

问题：

反射采用 $\begin{pmatrix} 5 \ 0 \end{pmatrix}$ 到 $\begin{pmatrix} 4 \ 3 \end{pmatrix}.$ 反射采用 $\begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix}$ 到哪个向量？

解决方案：

$(5,0)$ 和 $(4,3)$ 的中点是 $[\left( \frac{5 + 4}{2}, \frac{0 + 3}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{3}{2} \right).]$ 这告诉我们被反射的向量是 $\begin{pmatrix} \frac{9}{2} \ \frac{3}{2} \end{pmatrix}.$ 然后我们可以假设被反射的向量是$\begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}.$

受保护_85

$\begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix}$ 到 $\begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}$ 的投影为 $[\operatorname{proj}_{\begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix} = \frac{-3}{10} \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{9}{10} \ -\frac{3}{10} \end{pmatrix}.]$ 因此， $\begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix}$ 的反射为 $2 \begin{pmatrix} -\frac{9}{10} \ -\frac{3}{10} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1/5 \ -18/5 \end{pmatrix}}.$

答案：

$\begin{pmatrix} 1/5 \ -18/5 \end{pmatrix}$

410。

问题：

双曲线的渐近线为 $y = 2x - 3$ 和 $y = 17 - 2x.$ 另外，双曲线经过点 $(4,7).$ 求双曲线焦点之间的距离。

解决方案：渐近线的交点是 $(5,7),$ 所以这是双曲线的中心。由于渐近线的斜率为 $\pm 2,$ 双曲线方程可以写成以下形式 $[(x - 5)^2 - \frac{(y - 7)^2}{4} = d]$ 对于某个常数 $d。$ 设置 $x = 4$ 和 $y = 7,$ 我们得到 $d = 1,$ 所以方程是 $[\frac{(x - 5)^2}{1} - \frac{(y - 7)^2}{4} = 1.]$则$a^2 = 1$且$b^2 = 4,$所以$c^2 = a^2 + b^2 = 5,$这意味着$c = \sqrt{5}。$因此，焦点之间的距离为$2c = \boxed{2 \sqrt{5}}.$

答案：

$2 \sqrt{5}$

411.

问题：

令 $N$ 为数字 $21420N$ 的个位数字。 $N$ 的哪个非零值使得这个数字可以被 $6$ 整除？

解决方案：

数字 $21420N$ 能被 $6$ 整除当且仅当它是偶数且其数字之和能被 $3$ 整除。所以 $N$ 必须是偶数，并且 $2 + 1 + 4 + 2 + 0 + N = 9 + N$ 必须能被 $3$ 整除。由于 $9$ 可以被 $3$ 整除，因此我们看到 $N$ 也必须可以被 $3$ 整除。唯一有效的数字是 $N = \boxed{6}$。

答案：

6

412.

问题：

六名女巫和十名术士正在奥术混合器前。女巫们决定与每位巫师握手。没有一个女巫费心去握手，因为她们都已经是好朋友了，而巫师们都有点互相憎恨，也没有和其他巫师握手。在搅拌机上进行了多少次握手？

解决方案：

神秘混合器上唯一的握手是在 $6$ 女巫和 $10$ 巫师之间进行的，因此混合器上有 $6 \cdot 10 = \boxed{60}$ 握手。

答案：

60

413.

问题：

设 $P(x)$ 是一个二次多项式，对于所有实数 $x$，实数系数满足 $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$，并假设 $P(11) = 181$。找到$P(16)$。

解决方案：

以顶点形式重写给定的二次方程，我们有 $[1 + (x-1)^2 \le P(x) \le 1 + 2(x-1)^2。]$ 这两个二次方程的顶点都位于 $(1, 1)$；考虑到二次图的形状，我们发现 $P$ 的顶点也必须在 $(1,1)$ 处。因此，对于某个常数 $k$，$[P(x) = 1 + k(x-1)^2]$。设置$x = 11$，我们有$181 = 1 +100k$，所以$k = \tfrac{9}{5}$。那么 $[P(16) = 1 + \tfrac{9}{5} \cdot 15^2 = \boxed{406}.]$

答案：

406

414.

问题：

化简$\frac{(10r^3)(4r^6)}{8r^4}$。

解决方案：

我们有 $[\frac{(10r^3)(4r^6)}{8r^4}= \frac{40r^{3+6}}{8r^4} = \frac{40}{8}r^{3+6-4} = \boxed{5r^5}。]$

答案：

$5r^5$

415.

问题：

满足方程 \((3)5^2-4(5-a)^2 \div 3=63 的 $a$ 值的总和是多少？\)

解决方案：

首先，我们将方程中的所有项乘以 3 以避免出现分数，然后求解 $a$。

因此，

$a$ 的值之和为 $2+8=\boxed{10}$。

答案：

10

416.

问题：

$129^{34}+96^{38}$ 除以 $11$ 余数是多少？

解决方案：

我们使用 $a \equiv b \pmod{m}$ 暗示 $a^c \equiv b^c \pmod{m}$ 的性质。

由于 $129 \equiv -3 \pmod{11}$ 和 $96 \equiv -3 \pmod{11}$，我们有 \(129^{34}+96^{38} \equiv (-3)^{34}+(-3)^{38} \equiv 3^{34}+3^{38} \pmod{11}。\)自 $3^5 \equiv 1 \pmod{11},$ 我们可以看到 $3^{34} = (3^5)^{6} \cdot 3^4$ 和 $3^{38} = (3^5)^{7} \cdot 3^3.$

然后，

答案：

9

—##

问题：

计算 $\sin^3 18^\circ + sen^2

解决方案：

我们可以

通过总和乘积，

然后根据双角公式，

或者，我们可以以 18.$ 的值下雨

答案：

$\

##

问题：

有一个多项式

解决方案：

$g(1)$。第六$g(x)=f(x-1)$，系数为

答案：

-2

##

问题：

点 $(6, 0)$ 到线 $y = 2x-2$ 的点？形式。

解决方案：

垂直于 $y=2x-2$ 的最短直线 这就像一个表格。垂线方程的方程为 $y=-fraculd {1}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2 \(-\ Frank 2\)5 坐标计划

保护_86

距点 $(6,0)$ 的距离

答案：

$2\sqrt{5}$

420。

问题：

有 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [[开始{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ y \ y \ \ \ \ „pmatrix}

解决方案：

然后是 \ b \ b \ c \end{pmate}.$ 然后 $ \ \ [begin {pmatrix} \ \ \ \ \ \ nd {pmatrix} 本身到 \ \ b \ \ c \end{pmatrix} 5b + 2c \ -5a - c \ -2

对于第二个方程，$c = -5a - 30.$ 对于第三个方程，$b = 2a + 30.$ (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 30))^2) 那么 $b = 16$ 和 $c = 5,$ 所以我们寻找的向量 $\mathbf{v}$ 是 $\boxed{\begin{pmatrix} -7 \ 16 \ 5 \end{pmatrix}}.$

答案：

\ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ 2000$

421.

问题：如果 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8，求 $\mathbf{a}$ 到 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 6 \ 3 \end{pmatrix}$ 的投影。$

解决方案：

$\mathbf{a}$ 到 $\mathbf{b}$ 的投影由下式给出 $[\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} = \frac{8}{2^2 + 6^2 + 3^2} \begin{pmatrix} 2 \ 6 \ 3 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 16/49 \ 48/49 \ 24/49 \end{pmatrix}}.]$

答案：

$\begin{pmatrix} 16/49 \ 48/49 \ 24/49 \end{pmatrix}$

422.

问题：

如果 $\arccos x + \arccos 2x + \arccos 3x = \pi,$ 则 $x$ 满足以下形式的三次多项式 $[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,]$ 其中 $a,$ $b,$ $c,$ 和 $d$ 是整数，$a \neq 0.$ 找到 $\left|a\right| 的最小可能值+ \左|b\右| + \左|c\右| + \左|d\右|.$

解决方案：

根据方程 $\arccos x + \arccos 2x + \arccos 3x = \pi,$ $\arccos x + \arccos 2x = \pi - \arccos 3x,$ 所以 $[\cos (\arccos x + \arccos 2x) = \cos (\pi - \arccos 3x).]$ 根据角度加法公式，左侧变为

右边就变成了 $[\cos (\pi - \arccos 3x) = -\cos (\arccos 3x) = -3x,]$ 所以 $[2x^2 - \sqrt{(1 - x^2)(1 - 4x^2)} = -3x.]$ 然后 $\sqrt{(1 - x^2)(1 - 4x^2)} = 2x^2 + 3x.$ 两边平方，我们得到 $[(1 - x^2)(1 - 4x^2) = (2x^2 + 3x)^2.]$ 这简化为 $12x^3 + 14x^2 - 1 = 0.$ 因此，$\left|a\right| 的最小可能值+ \左|b\右| + \左|c\右| + \left|d\right|$ 是 $12 + 14 + 0 + 1 = \boxed{27}.$

答案：

27 号

423.

问题：

复数 $\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3$ 和 $\alpha_4$ 是方程 $x^4+2x^3+2=0$ 的四个不同根。确定无序集合 $[ {\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3\alpha_4、\alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_4、\alpha_1\alpha_4 + \alpha_2\alpha_3}。 ]$

解决方案：

使用初等对称多项式 ($s_1 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 = -2$, $s_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_1\alpha_4 + \alpha_2\alpha_3 + \alpha_2\alpha_4 + \alpha_3\alpha_4 = 0$, $s_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3\alpha_4 + \alpha_3\alpha_4\alpha_1 + \alpha_4\alpha_1\alpha_2 = 0$, 和 $s_4 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4 = 2$) 我们考虑多项式 $[ P(x) = (x-(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4))(x-(\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4))(x-(\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3)) ]$ 由于 $P$ 相对于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 对称，因此我们可以用初等对称多项式来表示其展开形式的系数。我们计算

$P(x)$ 的根是 $-2$ 和 $1 \pm \sqrt{5}$，所以答案是 $\boxed{{1\pm\sqrt{5},-2}}.$

$\textbf{备注:}$通过展开很容易找到$x^2$和$x$的系数，并且无需对$(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4)(\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4)(\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3)$进行完全展开和分解，只需注意唯一的非零6即可计算常数项$s_1、s_2、s_3、$ 和 $s_4$ 中的度表达式为 $s_1^6$ 和 $s_4s_1^2$。这里构造的一般多项式 $P$ 称为三次分解，出现在伽罗瓦理论中。

答案：

${1\pm\sqrt{5},-2}$

424.

问题：小于 $2010$ 的最大整数是多少，除以 $7 余数为 $5$，除以 $11$ 余数 $10$，除以 $13$ 余数 $10$？

解决方案：

我们希望除以 $11$ 和 $13$ 后得到 $10$ 的余数。 $11$ 和 $13$ 的最小公倍数是 $143$。我们将 $10$ 添加到数字中，这样除以 $11$ 和 $13$ 后余数就是 $10$，这样我们就得到 $143+10=153$。然而，除以 $7$ 后并没有得到 $5$ 的余数，因此我们添加更多的 $143$ 直到得到一个有效的值。我们得到 $153+143+143=439$ 除以 $7$ 得到余数 $5$。

由于我们想要小于 2010 的最大整数，因此我们不断添加 $7$、$11$ 和 $13$ 的最小公倍数，直到结束。最小公倍数是 $7 \cdot 11 \cdot 13 =1001$。我们将其与 $439$ 相加，得到 $1440$，再次相加将得到大于 $2010$ 的值，因此我们的答案是 $\boxed{1440}$。

答案：

1440

425.

问题：

$y$ 的值与 $\sqrt x$ 成反比变化，当 $x=24$ 时，$y=15$。当$y=3$时$x$是多少？

解决方案：

由于 $y$ 和 $\sqrt{x}$ 成反比，这意味着对于某个常数 $k$，$y\sqrt{x}=k$。代入给定值，当$x=24$和$y=15$时，我们发现$15\sqrt{24}=30\sqrt{6}=k$。因此，当$y=3$时，我们可以求解$x$：

答案：

600

426.

问题：

设$G$和$H$分别表示三角形$ABC,$的质心和垂心。 设$F$为$\overline{GH}的中点。$用三角形$ABC的边长$a、\(b、\)c$和外接圆半径$R$表示$AF^2 + BF^2 + CF^2$。$

解决方案：

设三角形 $ABC$ 的外心 $O$ 为原点。然后 $[\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}]$ 和 $\overrightarrow{H} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C},$ 所以 $[\overrightarrow{F} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}).]$ 然后

同样，

因此，$AF^2 + BF^2 + CF^2 = \boxed{3R^2}.$

答案：

$3R^2$

427.

问题：正方形和等边三角形的周长相等。 三角形的面积为 $16\sqrt{3}$ 平方厘米。正方形的对角线有多长（以厘米为单位）？用最简单的激进形式表达你的答案。

受保护_87

解决方案：

如果我们让 $x = $ 三角形的边长，那么我们就可以用 $x$ 求出三角形的面积，然后将其设置为等于 $16 \sqrt{3}$ 来求出 $x$。三角形的底边长度为$x$。为了找到高度，我们注意到绘制高度会将等边三角形分成两个 $30-60-90$ 三角形，其中最长边的长度为 $x$。由于 $30-60-90$ 三角形的边长比为 $1:\sqrt{3}:2$，因此高度长度为 $\frac{x\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为 $\frac{1}{2}x\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$。将其设置为 $16 \sqrt{3}$，我们有 $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}.$

求解$x$，我们得到$x=8$。由于三角形的边长为 $8$，并且正方形和三角形的周长相等，因此正方形的边长为 $\frac{8 \cdot 3}{4}=6$。如果我们画出正方形的对角线，我们会注意到它将正方形分成两个 $45-45-90$ 三角形，边长为 $6$。 $45-45-90$ 三角形的边长比为 $1:1:\sqrt{2}$，因此正方形的对角线长度为 $\boxed{6\sqrt{2}}$ 厘米。

答案：

$6\sqrt{2}$

428.

问题：

三支铅笔和一块大橡皮要 1.24 美元。五支铅笔和一块大橡皮售价 1.82 美元。价格均不含税。以美分为单位，一支铅笔的成本是多少？

解决方案：

一支铅笔的价格为 $p$，一块大橡皮的价格为 $e$，以美分为单位。我们可以使用以下方程组来表示给定的信息：

从第二个方程中减去第一个方程得到 $2p = 58$，或 $p = 29$。因此，一支铅笔的成本为 $\boxed{29}$ 美分。

答案：

29

429.

问题：

设 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 为正实数，使得 $a + b + c + d = 1。$ 找到以下值的最小值 $[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d}。]$

解决方案：

柯西-施瓦茨， $[(a + b + c + d) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \right) \ge (1 + 1 + 2 + 4)^2 = 64.]$ 当 $a = b = \frac{c}{2} = \frac{d}{4}$ 和 $a + b + c + d = 1.$ 时，相等求解得到 $a = \frac{1}{8},$ $b = \frac{1}{8},$ $c = \frac{1}{4},$ 和 $d = \frac{1}{2},$ 因此最小值为 $\boxed{64}。$

答案：

64

430。

问题：

令 $a$ 和 $b$ 为正实数，使得 $ab^2 = 5.$ 找到 $a^4 + b^8.$ 的最小值

解决方案：

通过 AM-GM， $[a^4 + b^8 \ge 2 \sqrt{a^4 b^8} = 2a^2 b^4 = 2(ab^2)^2 = 50.]$当$a^4 = b^8$和$ab^2 = 5时相等；$我们可以求解得到$a = \sqrt{5}$和$b = \sqrt[4]{5},$所以最小值是$\盒装{50}.$

答案：

50

431.

问题：

$\frac{9}{2}$ 用小数表示是多少？

解决方案：

我们可以通过除法来解决这个问题。或者，我们可以将分子和分母乘以 5，得到 $\frac{45}{10}$。由于数字除以 10 会将小数点向左移动一位，因此得到 $\boxed{4.5}$。

答案：

4.5

432.

问题：

让 $[f(x) = (\arccos x)^2 + (\arcsin x)^2.]$ 求 $f(x) 的范围。$ 所有函数均以弧度为单位。

解决方案：

首先，我们声明 $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$ 对于所有 $x \in [-1,1].$请注意 $[\cos \left( \frac{\pi}{2} - \arcsin x \right) = \cos (\arccos x) = x.]$ 此外，$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2},$ 所以 $0 \le \frac{\pi}{2} - \arcsin x \le \pi.$ 因此， $[\frac{\pi}{2} - \arcsin x = \arccos x,]$ 所以 $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}.$

设 $\alpha = \arccos x$ 和 $\beta = \arcsin x,$ 所以 $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}.$ 那么

由于$-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}，$$f(x)$的范围为$\boxed{\left[ \frac{\pi^2}{8}, \frac{5 \pi^2}{4} \right]}。$

答案：

$\left[ \frac{\pi^2}{8}, \frac{5 \pi^2}{4} \right]$

433.

问题：

如果 $[f(n + 1) = (-1)^{n + 1} n - 2f(n)]$ 对于 $n \ge 1,$ 和 $f(1) = f(1986),$ 计算 $[f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(1985).]$

解决方案：

我们可以列出方程

将这些方程相加，我们得到 $[f(2) + f(3) + \dots + f(1986) = (1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 1983 - 1984 + 1985) - 2f(1) - 2f(2) - \dots - 2f(1985).]$ 求 $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 1983 - 1984 + 1985,$ 我们可以将这些术语配对

因此， $[f(2) + f(3) + \dots + f(1986) = 993 - 2f(1) - 2f(2) - \dots - 2f(1985).]$ 然后 $[2f(1) + 3f(2) + 3f(3) + \dots + 3f(1985) + f(1986) = 993.]$ 因为 $f(1986) = f(1),$ $[3f(1) + 3f(2) + 3f(3) + \dots + 3f(1985) = 993.]$ 因此，$f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(1985) = \boxed{331}.$

答案：

第331章

434.

问题：

将 $\frac{57}{160}$ 转换为终止小数。

解决方案：

终止小数可以写成 $\frac{a}{10^b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。因此，我们尝试获得 $10^b$ 形式的分母： \(\frac{57}{160}=\frac{57}{2^5\cdot5}\cdot\frac{5^4}{5^4}=\frac{57\cdot5^4}{10^5}=\frac{35625}{10^5}=\boxed{.35625}.\)

答案：

.35625

435.

问题：

在某个等腰直角三角形中，斜边的高长度为$4\sqrt{2}$。三角形的面积是多少？

解决方案：

在下面的等腰直角三角形$\triangle ABC$中，$\overline{AD}$是斜边的高度。

受保护_88

因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$\angle ABC = 45^\circ$。由于$\angle ADB = 90^\circ$，我们知道$\angle DAB = 45^\circ$，所以$\triangle ABD$也是一个45-45-90的三角形。类似地，$\triangle ACD$ 是一个 45-45-90 三角形。因此，$DB=DC = DA = 4\sqrt{2}$，因此$BC = BD+DC = 8\sqrt{2}$，并且$[[ABC] = \frac{(AD)(BC)}{2} = \frac{(4\sqrt{2})(8\sqrt{2})}{2} = \boxed{32}。]$

答案：

32

436.

问题：

实值函数 $f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{x^2-5x+6}}$ 的定义域是什么？

解决方案：

当平方根内的值为正数时，该函数被定义，即我们必须有 $x^2-5x+6>0$。因式分解，我们得到 $(x-3)(x-2)>0$。因此，左侧的两个因素要么都是负面的，要么都是正面的。当$x<2$时它们都是负数。当 $x>3$ 时，它们都是正值。所以 $f(x)$ 的定义域是 $x<2 \text{ 或 } x>3$，或者区间表示法中的 $x \in \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, \infty)}$。

答案：

$(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

437.

问题：$n$ 公平的 6 面骰子同时滚动。其中恰好有两个显示 1 以外的数字的概率为 $\frac{25}{216}$。找到$n$。

解决方案：

对于 $n$ 骰子，有 $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ 种方法可以选择其中两个。对于每一种方式，除了所选的两个骰子之外，都有 $\left( \frac{5}{6} \right)^2 \left( \frac{1}{6} \right)^{n-2}$ 的机会掷出 1。因此，我们需要找到 $n$ 的值，其中 $\frac{25n(n-1)}{2 \cdot 6^n}=\frac{25}{216}$，或者$108n(n-1)=6^n$。代入 $n$ 的值，我们可以看到 $n=\boxed{4}$ 有效，并且 $n$ 的值小于 4 都有效。现在我们只需要证明 $n$ 的值不大于 4。请注意，如果 $n \geq 5$，则 $n < 3^{n-3}$ 且 $n-1 < 2\cdot 2^{n-3}$。我们可以将这些不等式相乘，得到当 $n \geq 5$ 时，我们有 $n(n-1) < 2\cdot 6^{n-3}$，或 $108n(n-1)<6^n$。

答案：

4

438.

问题：

符号 $\triangle$、$\square$、$\diamond$、$\clubsuit$ 代表从 1 到 9 的四个不同整数。使用下面的等式，$\square$ 的值是多少？

解决方案：

为简单起见，将三角形替换为字母 $a$，将正方形替换为字母 $b$，将菱形替换为字母 $c$，将梅花替换为字母 $d$。三个给定方程变为

我们想要找到 $b$ 的值。我们可以将第二个方程代入第三个方程，消去$a$，得到$5c=c+d \Rightarrow 4c=d$。由于 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 都是从 1 到 9 的整数，因此我们知道 $d$ 必须是 4 或 8，而 $c$ 相应地是 1 或 2。第一种情况 $c=1$ 和 $d=4$ 不起作用，因为将这两个值代入第三个给定方程得到 $2a=5$，如果 $a$ 是整数，则这是不可能的。因此，$c=2$ 和 $d=8$。将这些值代入第三个给定方程来求解 $a$，我们有 $2a=2+8\Rightarrow a=5$。将 $a=5$ 和 $d=8$ 代入第一个方程来求解 $b$，我们有 $5+b=8 \Rightarrow b=3$。因此，正方形的值为 $\boxed{3}$。

答案：

3

439.

问题：

$\frac{137}{500}$ 的小数展开式中小数点右侧的最后一个非零数字是多少？

解决方案：

我们可以将$\frac{137}{500}$重写为$\frac{274}{1000}$的形式，因此$\frac{137}{500} = \frac{274}{1000} = 0.274$，最后一个非零数字是$\boxed{4}$。

答案：

4

440。

问题：

求 $x^9 + 1$ 除以 $x - 1 所得的商。$

解决方案：

我们可以进行长除法。我们也可以写

因此，商为 $\boxed{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}.$

答案：

$x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

441.

问题：

化简 $(u+4)(u-1) - (u-3)(u+6)$。

解决方案：

展开第一个乘积，分布属性显示 \((u+4)(u-1) = u^2 + 4u - u - 4 = u^2 + 3u - 4。\)第二个乘积变为 \((u-3)(u+6) = u^2 - 3u + 6u - 18 = u^2 + 3u - 18。\)减去，$u^2$ 和 $3u$ 项都取消，留下答案 $-4 - (-18) = \boxed{14}$。

答案：

14

442.

问题：

Karla 去年驾驶车辆行驶了 12,000 英里。如果她去年驾驶的是平均每加仑 48 英里的节能混合动力汽车，而不是平均每加仑 15 英里的 SUV，她会节省多少加仑汽油？解决方案：

Karla 行驶了 12000 英里，使用了 12000 美元/15 = 800 美元加仑。如果她驾驶混合动力车，她将使用 12000 美元/48 = 250 美元加仑。因此，她可以节省 800 - 250 = \boxed{550}$ 加仑。

答案：

550

443.

问题：

让 $f(x) = 2^x.$ 求 $\sqrt{f(f(f(f(1))))}.$

解决方案：

我们发现 $f(1) = 2^1 = 2.$ 那么， $f(f(1)) = f(2) = 2^2 = 4$ 和 $f(f(f(1))) = f(4) = 2^4 = 16.$ 因此， $f(f(f(f(f(1)))) = f(16) = 2^{16}$ 等等$\sqrt{f(f(f(f(1))))} = \sqrt{2^{16}} = 2^8 = \boxed{256}.$

答案：

256

444.

问题：

等差数列 $3^2, x, 3^4$ 中 $x$ 的整数值是多少？

解决方案：

$x$ 项只是 $3^2 = 9$ 和 $3^4 = 81$ 的平均值，即 $(9 + 81)/2 = 90/2 = \boxed{45}$。

答案：

45

445.

问题：

矩形 $ABCD$ 具有中心 $O$ 和 $AB/AD=k$。从矩形 $ABCD$ 的内部随机选择一个点。它比四个顶点中的任何一个更接近 $O$ 的概率是多少？

受保护_89

解决方案：

原始矩形可以细分为四个较小的全等矩形，所有矩形共享 $O$ 作为顶点。这些矩形中的每一个都是类似的，因此我们可以不失一般性地认为我们的随机点 $P$ 位于以 $A$ 作为顶点的较小矩形中。这个较小矩形中的所有点与 $A$ 的距离都比与 $B$、$C$ 或 $D$ 的距离要近，因此我们只需要确定 $OP<AP$ 的概率。

受保护_90

由于围绕较小矩形中心的 $180^\circ$ 旋转需要 $O$ 到 $A$，因此它将阴影区域带到非阴影区域。因此，恰好有一半的区域被遮挡，总体概率为 $\boxed{\frac{1}{2}}$，与 $k$ 无关。

答案：

$\frac{1}{2}$

446.

问题：

圆 $x^2 + y^2 = 2$ 和抛物线 $y^2 = 8x$ 有两条公切线，形成四个切点。求四个切点形成的四边形的面积。

受保护_91

解决方案：

设切线方程为 $y = mx + b.$

代入方程 $x^2 + y^2 = 2,$ 我们得到 $[x^2 + (mx + b)^2 = 2.]$ 那么 $(m^2 + 1) x^2 + 2bmx + (b^2 - 2) = 0.$ 因为我们有切线，所以这个二次方程有双根，这意味着它的判别式是 0。这给了我们 $[(2bm)^2 - 4(m^2 + 1)(b^2 - 2) = 0,]$ 简化为 $b^2 = 2m^2 + 2.$

求解 $y = mx + b,$ 中的 $x$，我们得到 $x = \frac{y - b}{m}。$ 代入 $y^2 = 8x,$ 我们得到 $[y^2 = \frac{8y - 8b}{m},]$ 所以 $my^2 - 8y + 8b = 0.$ 同样，这个二次方程的判别式也将是 0，所以 $[64 - 4(m)(8b) = 0.]$ 因此，$bm = 2.$

然后 $b = \frac{2}{m}.$ 代入 $b^2 = 2m^2 + 2,$ 我们得到 $[\frac{4}{m^2} = 2m^2 + 2.]$ 那么 $4 = 2m^4 + 2m^2,$ 所以 $m^4 + m^2 - 2 = 0.$ 因数为 $(m^2 - 1)(m^2 + 2) = 0.$ 因此，$m^2 = 1,$ 所以 $m = \pm 1.$

如果 $m = 1,$ 则 $b = 2.$ 如果 $m = -1,$ 则 $b = -2.$ 因此，两条切线为 $y = x + 2$ 和 $y = -x - 2.$

受保护_92

我们看一下切线 $y = x + 2.$ 代入 $x^2 + y^2 = 2,$ 我们得到 $[x^2 + (x + 2)^2 = 2.]$ 这可以简化为 $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0,$ 所以 $x = -1.$ 因此，圆上的切点是 $(-1,1).$

我们有 $x = y - 2.$ 代入 $y^2 = 8x,$ 我们得到 $[y^2 = 8(y - 2).]$ 这简化为 $(y - 4)^2 = 0,$ 所以 $y = 4.$ 因此，抛物线上的切点是 $(2,4).$

根据对称性，另外两个切点是 $(-1,-1)$ 和 $(2,-4).$

所讨论的四边形是一个梯形，底为 2 和 8，高为 3，因此其面积为 $\frac{2 + 8}{2} \cdot 3 = \boxed{15}.$

答案：

15

447.

问题：无限几何序列 ${\,\tfrac14,\tfrac18,\tfrac1{16},\ldots\,}$ 中前 $n$ 项的总和为 $\tfrac{255}{512}$。找到$n$。

解决方案：

这是一个几何序列，第一项 $\frac{1}{4}$ 和公比 $\frac{1}{2}$。因此，前 $n$ 项的总和为：$\frac{255}{512}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\right)=\frac{2^n-1}{2^{n+1}}$。我们看到$\frac{255}{512}=\frac{2^8-1}{2^9}$，所以$n=\boxed{8}$。

答案：

8

448.

问题：

三十五名学生参加数学俱乐部会议。参加会议的女生人数是13的倍数，并且参加会议的女生多于男生。参加会议的男孩有多少？

解决方案：

我们假设女孩的数量是一个非负整数，且不大于35。小于35的13的非负倍数是0、13和26。由于女孩的数量大于男孩的数量，所以唯一有效的选择是女孩有26个。剩下 35-26 美元 = \boxed{9}$ 男孩参加会议。

答案：

9

449.

问题：

计算$17^{-1}\pmod{83}$。将您的答案表达为从 $0$ 到 $82$（含）的余数。

（您可能会发现考虑 $17\cdot 5=85$ 这一事实很有帮助。）

解决方案：

我们可以首先注意到 $17\cdot 5=85\equiv 2\pmod{83}$。然而，我们正在寻找$n$，使得$17\cdot n\equiv 1\pmod{83}$。

请注意 $2\cdot 42=84\equiv 1\pmod{83}$。因此，

这告诉我们 $17$ 和 $5\cdot 42$ 是彼此以 $83$ 为模的倒数。我们可以计算 $5\cdot 42=210$，但这不在 $0$ 到 $82$ 范围内，因此我们取其余数 $\pmod{83}$，即 $44$。

因此，$17^{-1}\equiv \boxed{44}\pmod{83}$。

我们可以检查我们的答案： $17\cdot 44 = 748 = 9\cdot 83+1 \equiv 1\pmod{83}$，所以我们的答案是正确的。

答案：

44

450。

问题：

如果 $a\star b = 9a+2b-ab+5$，则 $5\star1$ 的值为多少？

解决方案：

从定义的函数我们知道$5\star 1 = 9(5)+2(1)-(5)(1)+5= 45+2-5+5=\boxed{47}$。

答案：

47

451.

问题：

两个最小正整数的平均值是多少 同余的解 \(14u \equiv 46 \pmod{100}~?\)

解决方案：

请注意，$14$、$46$ 和 $100$ 都有一个公因数 $2$，因此我们可以将其分开： \(14u \equiv 46 \pmod{100}\) 的解与 \(7u \equiv 23 \pmod{50}\) 的解相同。$$ 确保您明白为什么会出现这种情况。

现在我们可以将同余两边乘以 $7$ 得到 \(49u \equiv 161 \pmod{50},\) 也有与之前同余相同的解，因为我们可以通过将两边都乘以 $7^{-1}$ 来反转上面的步骤。 （我们知道 $7^{-1}$ 对 $50$ 存在模，因为 $7$ 和 $50$ 互质。）

将 $49u\equiv 161$ 的每一边替换为 $\pmod{50}$ 等值，我们有 \(-u \equiv 11\pmod{50},\) ，因此 \(u \equiv -11\pmod{50}.\) 这是我们原始同余的一组解。两个最小的正解是 $-11+50 = 39$ 和 $-11+2\cdot 50 = 89$。他们的平均值是$\boxed{64}$。

答案：

64

452.

问题：

在特定地图上，地图上的 3 美元英寸相当于现实生活中的 10 美元英里。如果您知道地图上两座建筑物之间的实际距离为 $53.25$ 英里，那么地图上建筑物之间的距离（以英寸为单位）是多少（以分数表示）？

解决方案：如果我们让地图上建筑物之间的距离为 $d$，则 $\frac{d}{53.25} = \frac{3}{10}$。叉乘并求解 $d$，我们得到 $10d = 159.75 \Rightarrow d=15.975$ 英寸。以分数表示，$d = 15\frac{975}{1000} = \boxed{15\frac{39}{40}},$ 或 $\boxed{\frac{639}{40}}$ 英寸。

答案：

$\frac{639}{40}$

453.

问题：

一个两位数的各位数字之和是 $13.$ 这个数字与颠倒后的数字的差是 $27.$ 原数与颠倒后的数字之和是多少？

解决方案：

两位数字可以表示为 $10x + y,$ 其中 $x$ 和 $y$ 是数字，$x \neq 0.$ 我们知道数字之和是 $13,$ 所以 $x + y = 13.$ 如果我们反转这个数字的数字，我们有 $10y + x.$ 我们知道差值是 $27,$ 但我们不知道是原始数字还是带数字的数字反转就更大了。我们可以这样表示：\(\left\|(10x + y) - (10y + x)\right\| = 27.\) 但是，这两个数字中哪个更大并不重要，因为我们希望找到它们的总和。因此，不失一般性，我们让第一个数字是两个数字中较大的一个。这意味着 $x > y,$ 因此我们可以去掉最后一个方程中的绝对值以获得 $9x - 9y = 27,$ 相当于 $x - y = 3.$

现在我们有两个变量的两个方程：$x + y = 13$ 和 $x - y = 3。$ 将两者相加，我们得到 $2x = 16,$ 所以 $x = 8.$ 相减，我们得到 $2y = 10,$ 所以 $y = 5.$ 因此，原始数字是 $85,$，我们的答案是 $85 + 58 = \boxed{143}.$

或

和前面一样，两个数字可以表示为 $10x + y,$，其数字颠倒后的数字是 $10y + x。$ 我们要求这两个数字的和，即 \((10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y = 11(x + y)。\) 已知数字之和为 $13,$ 所以 $x + y = 13.$ 由于我们想要的只是 $11(x + y),$ 我们可以替换 $x + y$ 以获得答案 $11\cdot 13 = \boxed{143}.$

答案：

143

454.

问题：

7年级和8年级的入学人数分别为520人和650人。两个年级的学生会代表共有18名。如果要公平地代表两个年级，八年级应该有多少名代表？

解决方案：

八年级学生总数为 $\frac{650}{520+650} = \frac{650}{1170} = \frac{65}{117}$。为了进一步简化这个分数，我们注意到 $65 = 5 \cdot 13$。由于 $117$ 不能被 $5$ 整除，我们测试它是否可以被 $13$ 整除，并发现 $117 = 9 \cdot 13$。因此，为了获得公平的代表权，8 年级应该有 $\frac{65}{117} \times 18 = \frac{5}{9} \times 18 = \boxed{10}$ 的 $18$ 代表。

答案：

10

455.

问题：

矩阵$\mathbf{M}$采用$\begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix}$到$\begin{pmatrix} 9 \ 3 \end{pmatrix}$，以及$\begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix}$到$\begin{pmatrix} 7 \ -1 \end{pmatrix}$。在 $\mathbf{M}.$ 下找到 $y = 2x + 1$ 行的图像，以 $y = mx + b$ 的形式表达你的答案。

解决方案：我们有 $\mathbf{M} \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \ 3 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \ -1 \end{pmatrix}.$ 然后$\mathbf{M} \begin{pmatrix} 6 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 \ 9 \end{pmatrix},$所以 $[\mathbf{M} \begin{pmatrix} 6 \ -3 \end{pmatrix} - \mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 \ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \ -1 \end{pmatrix}.]$ 这给了我们$\mathbf{M} \begin{pmatrix} 5 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \ 10 \end{pmatrix},$所以 $[\mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \end{pmatrix}.]$ 然后 $[\mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} - \mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \ -1 \end{pmatrix}.]$ 这给了我们$\mathbf{M} \begin{pmatrix} 0 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 3 \end{pmatrix},$所以 $[\mathbf{M} \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}.]$ 最后，

由于 $\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}$ 位于直线 $y = 2x + 1$ 上，$ 我们想要计算通过 $\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \ 5 的直线方程\end{pmatrix}.$ 该直线的方程为 $\boxed{y = 2x + 3}.$

答案：

$y = 2x + 3$

456.

问题：

从 6 名学生中可以通过多少种方式选出 5 名学生？

解决方案：

我们可以从 6 名学生中选择 5 名学生，而不考虑顺序，采用 $\binom{6}{5} = \boxed{6}$ 的方式。

答案：

6

457.

问题：

找出所有整数根 $[x^4 + 5x^3 + 9x^2 - x - 14 = 0.]$ 输入所有整数根，以逗号分隔。

解决方案：

根据整数根定理，可能的整数根是所有14的约数（包括负约数），分别是$-14,\(-7,\)-2,\(-1,\)1,\(2,\)7,$和$14。$检查发现，唯一的整数根是$\boxed{-2,1}.$

答案：

-2,1

458.

问题：

确定 54 (mod 6) 的余数。

解决方案：

$54 = 9 \cdot 6 + 0 \Rightarrow 54 \equiv \boxed{0} \pmod{6}$。

答案：

0

459.

问题：

每周都有 30 到 50 名学生参加 Betty 和 Wilma 开办的射箭班。通常，学生会分成人数相等的小组进行目标练习。然而，本周，贝蒂注意到她无法将学生分成多个大小相等的小组。威尔玛注意到，如果她和贝蒂都和学生们一起练习，他们仍然无法将弓箭手分成同等大小的小组。这周有多少学生参加了射箭班？

解决方案：

令 $n$ 为班级学生人数。 Betty 注意到 $n$ 在 1 和它自身之间没有约数，因此 $n$ 是质数。 Wilma 注意到 $n + 2$ 是质数。这意味着我们正在寻找 30 到 50 之间相差 2 的两个素数中较小的一个。该范围内的素数是 31、37、41、43 和 47。由于 41 和 43 相差 2，因此 $n = \boxed{41}$。

答案：

41

460。

问题：假金砖是通过在混凝土立方体上涂上金漆制成的，因此油漆的成本与其表面积成正比，而混凝土的成本与其体积成正比。如果制作 1 英寸立方体的成本为 1.30，而 2 英寸立方体的成本为 6.80，那么 3 英寸立方体的成本是多少？

解决方案：

令 $x$ 为每平方英寸金漆的成本，令 $y$ 为每立方英寸混凝土的成本。由于 1 英寸立方体的表面积为 6 $\text{in}^2$，体积为 1 $\text{in}^3$，因此总价格将为 $6x+y$ 美元。同样，一个 2 英寸的立方体的表面积为 24 $\text{in}^2$，体积为 8 $\text{in}^3$，因此它的总价格将为 $24x+8y$ 美元。我们得知

用第二个方程减去第一个方程的 4 倍得到 $4y=$1.60$，所以 $y=$0.40$。因此$6x=$0.90$，所以$x=$0.15$。由于 3 英寸立方体的表面积为 54 $\text{in}^2$，体积为 27 $\text{in}^3$，因此其总价为 $54($0.15)+27($0.40)=\boxed{$18.90}$。

答案：

18.90

461.

问题：

在下图中，我们有$\overline{ST}\parallel\overline{QR}$，$\angle P= 40^\circ$，$\angle Q =35^\circ$。求 $\angle STR$ 的度数。

受保护_93

解决方案：

从$\triangle PQR$，我们有$\angle R = 180^\circ - \angle Q - \angle P = 105^\circ$。由于$\overline{ST}\parallel \overline{QR}$，我们有$\angle STR = 180^\circ - \angle R = \boxed{75^\circ}$。

答案：

$75^\约$

462.

问题：

让 $[f(n)=\begin{cases}\lfloor n\rfloor, & \text{if } n\ge 4,\\lceil n\rceil, & \text{if } n<4.\end{cases}]$ 查找$f!\left(\frac{\pi}{3}\right)+f(\sqrt{45})+f!\left(8^{2/3}\right)$。

解决方案：

我们首先找到$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$。由于我们知道 $\pi \approx 3.14$，$\frac{\pi}{3}$ 一定略大于 $1$，因此 $f\left( \frac{\pi}{3} \right)= \left\lceil \frac{\pi}{3} \right\rceil = 2$。为了找到$f(\sqrt{45})$，我们意识到$\sqrt{36} < \sqrt{45} < \sqrt{49}$，所以$6 < \sqrt{45} < 7$。因此，由于 $\sqrt{45} \geq 4$，我们有 $f(\sqrt{45}) = \lfloor \sqrt{45} \rfloor = 6$。最后，我们考虑 $f(8^{2/3})$。我们知道 $8^{2/3}= (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$，因此 $f(8^{2/3})= \lfloor 8^{2/3} \rfloor = 4$。 因此，我们有 $f\left(\frac{\pi}{3}\right) + f(\sqrt{45}) + f(8^{2/3}) = 2 + 6 + 4 = \boxed{12}$。

答案：

12

463.

问题：

琳达、雪莉、琼和康妮在她们的社区里走来走去，卖女童子军饼干。琳达赚了 27.47，雪莉赚了 35.23，琼赚了 37.37，康妮赚了 26.52。出售后，他们将钱集中在一起，然后去银行将硬币兑换成美元。他们将尽可能多的硬币兑换成纸币后，还剩下多少钱（以美分为单位）？

解决方案：

我们不必将大量数字相加，而是可以找到每个人的余数，以便于计算。我们将他们赚取的金额换算为美分，并求出每个人的 100 美元模数。

我们想要找到美分总数的模 $100$。我们可以将单独的残基相加，得到 $47+23+37+52 \equiv 159 \equiv 59 \pmod{100}$。因此，在将尽可能多的钱兑换成账单后，他们还剩下 $\boxed{59}$ 美分。

答案：

59

464.

问题：

对于 $x$ 的多少个值，表达式 $\frac{x-5}{x^2-9}$ 未定义？

解决方案：当分母等于零时，表达式未定义。因此，我们需要找到 $x$ 的值的数量，使得 $x^2-9=0$。重新排列方程并取两边的平方根，我们有 $x​​^2-9=0\Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$。因此，$x$ 有 $\boxed{2}$ 个不同的值，使得给定的表达式未定义。

答案：

2

465.

问题：

如果 $\log_6 (x-y) + \log_6 (x+y) = 2$ 且 $\log_y 5x = 2$，则求 $x$。

解决方案：

根据第一个方程，我们通过平方差分解得出 $\log_6 (x-y) + \log_6 (x+y) = \log_6 (x^2-y^2) = 2$，因此 $x^2 - y^2 = 6^2 = 36$。通过改变基本公式，第二个方程变为 \(\frac{\log(5x)}{\log y} = 2 \longrightarrow \log(5x) = 2\log y = \log y^2。\)代入$y^2 = x^2 - 36$，则$\log (x^2 - 36) = \log y^2 = 2\log y = \log 5x$。由于对数是一对一函数，因此 $x^2 - 36 = 5x$，因此 $x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x + 4) = 0$。因此，$x = 9, - 4$，但第二个不起作用。因此，我们的答案是 $x = \boxed{9}$。

答案：

9

466.

问题：

当正好有三个正因数的正整数按升序列出时，列出的第五个数是多少？

解决方案：

如果一个整数至少有两个不同的质因数，例如 $p$ 和 $q$，那么它必须至少有四个正因数：$1$、$p$、$q$ 和 $pq$。因此，对于恰好具有三个正因数的数字，它必须是单个素数的幂。 $p^n$ 的正因数为 $1,p,p^2,p^3,\cdots,p^{n-1},p^n$。因此，$p^n$ 有 $n+1$ 个不同的正因数，而唯一具有三个正因数的正整数是素数的平方。

五个最小的此类整数按升序排列为 $2^2$、$3^2$、$5^2$、$7^2$ 和 $11^2$。列出的第五个数字是 $11^2=\boxed{121}$。

答案：

121

467.

问题：

如果 $re^{i \theta}$ 是 $[z^8 - z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0,]$ 其中 $r > 0$ 且 $0 \le \theta < 2 \pi,$ 然后求 $\theta 所有可能值的总和。$

解决方案：

给定的方程可以写成 $[\frac{z^9 + 1}{z + 1} = 0.]$ 那么 $z^9 + 1 = 0,$ 或 $z^9 = -1.$ 因为 $z = e^{i \theta},$ $[e^{9i \theta} = -1.]$ 这意味着 $9 \theta = \pi + 2 \pi k$ 对于某个整数 $k。$ 由于 $0 \le \theta < 2 \pi,$ $k$ 的可能值为 0、1、2、3、5、6、7 和 8。（我们省略 $k = 4,$ 因为如果 $k = 4,$ 那么 $\theta = \pi,$ 所以 $z = -1,$ 这使得 $z + 1 = 0.$) 因此，$\theta$ 所有可能值的总和为 $[\frac{\pi}{9} + \frac{3 \pi}{9} + \frac{5 \pi}{9} + \frac{7 \pi}{9} + \frac{11 \pi}{9} + \frac{13 \pi}{9} + \frac{15 \pi}{9} + \frac{17 \pi}{9} = \boxed{8 \pi}。]$

答案：

$8 \pi$

468.

问题：

图中阴影三角形的面积是多少？

受保护_94

解决方案：

阴影三角形的底长为 $10\text{ cm}.$ 由于三角形被包围在一个高度为 $3\text{ cm},$ 的矩形中，因此三角形的高度为 $3\text{ cm}.$ （我们知道包围的形状是矩形，因为任何有四个边的图形，包括两对相等的对边和两个直角一定是矩形。）因此，三角形的面积为 \(\frac{1}{2}\times 3 \times 10 = \boxed{15\mbox{ cm}^2}.\)

答案：

$15\m盒{厘米}^2$

469.

问题：

$t$ 的平方根大于 $2$ 且小于 $3.5$。 $t$ 有多少个整数值满足这个条件？

解决方案：我们有： $2 < \sqrt{t} < \frac{7}{2}$ 因此对不等式进行平方（我们可以这样做，因为其中的所有项都是正数）得到 $4 < t <\frac{49}{4}=12.25$。因此，$t$ 是 5 到 12 之间的整数（含 5 和 12），这给我们留下了 $\boxed{8}$ 可能的 $t$ 整数值。

答案：

8

470.

问题：

评估$\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2$。

解决方案：

由于$\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$，或者等效地，$4<\sqrt{20}<5$，大于或等于$\sqrt{20}$的最小整数必须是$5$。因此，$\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2=5^2=\boxed{25}$。

答案：

25

471.

问题：

设 $a,$ $b,$ $c,$ 和 $d$ 为正实数，使得 $a + b + c + d = 10.$ 求 $ab^2 c^3 d^4.$ 的最大值

解决方案：

通过 AM-GM，

由于 $a + b + c + d = 10,$ $[ab^2 c^3 d^4 \le 27648.]$ 当 $a = 1,$ $b = 2,$ $c = 3,$ 且 $d = 4,$ 时相等，因此最大值为 $\boxed{27648}.$

答案：

27648

472.

问题：

最近，一个班有30名学生参加了一次考试。如果 20 名学生得分 80，8 名学生得分 90，2 名学生得分 100，那么这次测试的班级平均分（平均值）是多少？

解决方案：

从给定的信息来看，全班获得的总分是\(20(80)+8(90)+2(100)=2520。\)因此，全班平均分是\(\frac{2520}{30} = \boxed{84}。\)

答案：

84

473.

问题：

以每小时 50 英里的速度，汽车在 $2\frac{3}{4}$ 小时内可以行驶多远？将你的答案表达为带分数。

解决方案：

在两个小时内，一辆以 50$ 英里每小时的速度行驶的汽车将行驶 50$ 英里每小时 $\times 2$ 小时 $= 100$ 英里。现在我们计算出一辆汽车在 $3/4$ 小时内可以行驶多远，即 $50$ 英里/小时 $\times \frac{3}{4}$ 小时 $ = \frac{150}{4} = 37 \frac{1}{2}$ 英里。因此，汽车总共行驶 $100 + 37 \frac{1}{2}= \boxed{137 \frac{1}{2}}$ 英里。

答案：

$137 \压裂{1}{2}$

474.

问题：

下面是一个幻方，意味着每行、每列、每条 $2$ 主对角线上的数字之和都相等。 $n$ 的价值是多少？

受保护_95

解决方案：

首先，我们可以计算第一行的总和，得到 $(n+1)+1+(n-1)=2n+1$。计算第二行的条目总和 $3+(2n-9)+n=3n-6$。现在，由于我们有一个幻方，因此这两个总和相等。所以 $2n+1=3n-6$。分离$n$，我们得到$n = \boxed{7}$。

正方形看起来像：

受保护_96

答案：

7

475.

问题：

查找 $\log_2{3} \cdot \log_3{4} \cdot \log_4{5} \cdot \log_5{6} \cdot \log_6{7} \cdot \log_7{8}$ 的值。

解决方案：

我们使用基数变化恒等式 $\log_a{b}=\frac{\log{b}}{\log{a}}$ 来查找

简化后，我们得到$\frac{\log8}{\log2}=\log_2{8}=\boxed{3}$。

答案：

3

476.

问题：当掷某个面编号为1、2、3、4、5、6的不公平六面骰子时，获得面$F$的概率大于$1/6$，获得反面$F$的概率小于$1/6$，获得其他各面的概率为$1/6$，每对相对面上的数字之和为7。当掷两个这样的骰子时，获得其和的概率为$1/6$。 7 是 $ \frac{47}{288} $。假设获得面$F$的概率为$m/n$，其中$m$和$n$为互质正整数，求$m+n$。

解决方案：

令 $p(a,b)$ 表示在第一个骰子上获得 $a$ 并在第二个骰子上获得 $b$ 的概率。那么得到总和为 7 的概率为 \(p(1,6)+p(2,5)+p(3,4)+p(4,3)+p(5,2)+p(6,1)。\) 设获得面$F$的概率为$(1/6)+x$。那么获得与面$F$相反的面的概率为$(1/6)-x$。因此

那么$2x^2=\frac{1}{288}$，所以$x=\frac{1}{24}$。因此获得人脸$F$的概率为$(1/6)+(1/24)=5/24$，$m+n=\boxed{29}$。

答案：

29

477.

问题：

吉姆和玛莎并肩站在一块长方形场地的角落里。吉姆斜着穿过田野。玛莎沿着它的长度和宽度行走到达相同的位置。场地宽 300 英尺，长 400 英尺。吉姆走路比玛莎少多少英尺？

解决方案：

场地的对角线长 $\sqrt{300^2+400^2}=500$ 英尺，因此吉姆走了 500 英尺。场地的两个相邻边长 $300+400=700$ 英尺，因此玛莎步行 700 英尺。吉姆比玛莎少走 $700-500=\boxed{200}$ 英尺。

答案：

200

478.

问题：

两位数 $``B6,’’$ 是正整数的平方，其中 $B$ 是十位数。 $B$ 有多少个不同的可能值？

解决方案：

在两位数完全平方数中，只有 $4^2=16$ 和 $6^2=36$ 以 $6$ 结尾。因此，$B$ 有 $\boxed{2}$ 个不同的可能值。

答案：

2

479.

问题：

求方程所有复数解的总和 $[\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2 - 2} + \frac{3}{x^2 - 3} + \frac{4}{x^2 - 4} = 2010x - 4。]$

解决方案：

我们可以两边加4得到 $[\frac{1}{x^2 - 1} + 1 + \frac{2}{x^2 - 2} + 1 + \frac{3}{x^2 - 3} + 1 + \frac{4}{x^2 - 4} + 1 = 2010x。]$ 这可以简化为 $[\frac{x^2}{x^2 - 1} + \frac{x^2}{x^2 - 2} + \frac{x^2}{x^2 - 3} + \frac{x^2}{x^2 - 4} = 2010x.]$ 我们看到 $x = 0$ 是一个解（这不会影响我们的总和）。否则，我们可以将两边除以 $x$： $[\frac{x}{x^2 - 1} + \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{x}{x^2 - 3} + \frac{x}{x^2 - 4} = 2010.]$ 清除分母，我们得到 \(\开始{对齐*} &x(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 4) + x(x^2 - 1)(x^2 - 3)(x^2 - 4) + x(x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 4) + x(x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 3) \\ &\quad = 2010(x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 4)。 \end{align*}\) 这扩展到 $[4x^7 + \dotsb = 2010x^8 + \dotsb,]$ 其中仅显示次数为 7 或更高的项。然后 $[2010x^8 - 4x^7 + \dotsb = 0,]$因此根据 Vieta 的公式，根之和为 $\frac{4}{2010} = \boxed{\frac{2}{1005}}.$

答案：

$\frac{2}{1005}$

480。

问题：

有有限多个素数 $p$，其同余 \(8x\equiv 1\pmod{p}\) 无解 $x$。确定所有此类 $p$ 的总和。

解决方案：当且仅当 $8$ 可逆模 $p$ 时存在解。换句话说，$\gcd(8,p)=1$。由于 $8=2^3$ 是 $2$ 的幂，因此当且仅当 $q$ 是奇数时，$8$ 才可逆模 $q$。除 $2$ 之外的所有素数都是奇数，因此我们要查找的数字是 $\boxed{2}$。

答案：

2

481.

问题：

设 $\omega$ 为复数，使得 $\omega^3 = 1.$ 找出所有可能的值 $[\frac{1}{1 + \omega} + \frac{1}{1 + \omega^2}.]$ 输入所有可能的值，以逗号分隔。

解决方案：

我们可以写

答案：

1

482.

问题：

令 $n$ 为正整数。简化表达式 $[\frac{(2^4 + \frac{1}{4})(4^4 + \frac{1}{4}) \dotsm [(2n)^4 + \frac{1}{4}]}{(1^4 + \frac{1}{4})(3^4 + \frac{1}{4}) \dotsm [(2n - 1)^4 + \frac{1}{4}]}.]$

解决方案：

让 $[f(m) = m^4 + \frac{1}{4} = \frac{4m^4 + 1}{4}.]$ 我们可以通过一些让步来将其分解：

现在，让 $g(m) = 2m^2 + 2m + 1.$ 然后 $[g(m - 1) = 2(m - 1)^2 + 2(m - 1) + 1 = 2m^2 - 2m + 1。]$因此， $[f(m) = \frac{g(m) g(m - 1)}{4}.]$ 因此，

答案：

$8n^2 + 4n + 1$

483.

问题：

如果 $\frac{a}{b}$ 是随机选择的小于 2010 的正奇数整数的倒数给出终止小数的概率，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数，那么 $a+b$ 是多少？

解决方案：

小于 2010 的正整数有 2009 个，其中奇数有 1005 个。如果 $\frac{1}{n}$ 等于终止小数，那么 $n$ 只能被 2 和 5 整除。但是，由于我们有额外的限制，$n$ 是奇数，所以 $n$ 必须是 5 的幂。比 2010 年少的有 5 个 5 的幂。

请注意，$5^5 = 3125$。由于有五个奇数整数满足我们所需的条件，因此所需的概率为 $\frac{5}{1005} = \frac{1}{201}$。这是最简单的说法，所以我们的答案是 $1+201 = \boxed{202}$。

答案：

第202章

484.

问题：

三角形 $ABC$ 的面积等于 $a^2 - (b - c)^2,$，其中 $a,$ $b,$ 和 $c$ 是三角形 $ABC,$ 的边。计算$\tan A.$

解决方案：

三角形 $ABC$ 的面积由下式给出 $[\frac{1}{2} bc \sin A.]$ 因此， $[\frac{1}{2} bc \sin A = a^2 - (b - c)^2 = a^2 - b^2 + 2bc - c^2.]$根据余弦定理，$b^2 + c^2 - 2bc \cos A = a^2,$ 所以 $[\frac{1}{2} bc \sin A = 2bc - 2bc \cos A.]$ 这简化为 $\sin A = 4 - 4 \cos A.$ 两边平方，我们得到 $[\sin^2 A = 16 - 32 \cos A + 16 \cos^2 A,]$ 所以 $1 - \cos^2 A = 16 - 32 \cos A + 16 \cos^2 A.$ 这可以简化为 $[17 \cos^2 A - 32 \cos A + 15 = 0.]$ 因数为 $(\cos A - 1)(17 \cos A - 15) = 0.$ 由于 $\cos A$ 不能等于 1，$\cos A = \frac{15}{17}.$那么 $\sin A = 4 - 4 \cos A = \frac{8}{17},$ 所以 $[\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \boxed{\frac{8}{15}}.]$

答案：

$\frac{8}{15}$

485.

问题：

解决 $[\sqrt{x + \sqrt{3x + 6}} + \sqrt{x - \sqrt{3x + 6}} = 6。]$

解决方案：

两边平方，我们得到 $[x + \sqrt{3x + 6} + 2 \sqrt{x + \sqrt{3x + 6}} \sqrt{x - \sqrt{3x + 6}} + x - \sqrt{3x + 6} = 36。]$ 那么 $[2x + 2 \sqrt{x^2 - 3x - 6} = 36,]$ 所以 $[\sqrt{x^2 - 3x - 6} = 18 - x.]$ 两边平方，我们得到 $x^2 - 3x - 6 = 324 - 36x + x^2.$ 因此，$x = \boxed{10}.$ 我们检查这个解决方案是否有效。

答案：

10

486.

问题：

如果从任意一点$A$、$B$、$C$ 或$D$ 出发，然后访问其他三个点一次，可以行驶的最短距离是多少？

受保护_97

解决方案：

要访问所有四个点，我们注意到我们必须沿着至少三个不同的路段行驶。最短的三段之和为 $3+4+5=12$，但我们很快注意到，不可能从一个点出发，沿着长度为 $12$ 的路径访问其他三个点（$DB$、$BC$ 和 $CD$ 不允许我们访问点 $A$，并且不可能在连续路径中沿着 $AD$、$CD$ 和 $BD$ 行进）。现在，我们寻找长度为 $13$ 的路径，并注意到从点 $A$ 到 $D$ 到 $B$ 到 $C$ 的旅行是有效的。或者，$B$ 到 $D$ 到 $C$ 到 $A$ 也可以。两条路径的长度都是$\boxed{13}$。

答案：

13

487.

问题：

半径为 3 英寸的钢球是通过从边长尽可能短的立方体的角上去除金属制成的。正方体的体积有多少立方英寸？

解决方案：

半径为 3 英寸的球体直径为 6 英寸，并且可以内接于边长至少为 6 的立方体中。因此，最小的可能立方体的边长为 6，体积为 $6^3=\boxed{216}$ 立方英寸。

受保护_98

答案：

216

488.

问题：

确定以下和的模 4 余数：\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12。\)

解决方案：

对残数进行分组有助于使一些级数计算变得更容易：

答案：

2

489.

问题：

一件衬衫的售价标记为 $$14.40$，比原价低 $60\%$。这件衬衫的原价是多少美元？

解决方案：

如果衬衫有 $60\%$ 折扣，则目前价格为原价 $.4$。因此原价为

答案：

36

490.

问题：

设 $f(x)=\left|x-p\right|+\left|x-15\right|+\left|x-p-15\right|,$ 其中 $0 < p < 15.$ 确定 $f(x)$ 对 $x$ 在区间 $p \leq x\leq15.$ 中取的最小值

解决方案：

由于 $0 < p \le x \le 15,$ 绝对值简化为 $[f(x) = (x-p) - (x-15) - (x-p-15) = -x+30.]$ 当 $x=15,$ 给出 $-15+30=\boxed{15}.$ 时，该表达式的值最小化

答案：

15

491.

问题：

假设多项式 \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0\)有整数系数，其根是不同的整数。

假设 $a_n=2$ 和 $a_0=66$，$\left|a_{n-1}\right|$ 的最小可能值是多少？

解决方案：

由于$f(x)$具有整数系数，整数根定理告诉我们$f(x)$的所有整数根必须除以常数项$66=2\cdot 3\cdot 11$。因此，$f(x)$ 可能的整数根是 \(\pm 1,~\pm 2,~\pm 3,~\pm 6,~\pm 11,~\pm 22,~\pm 33,~\pm 66.\)此外，由于我们知道$f(x)$的所有根都是整数，所以我们知道$f(x)$的所有根都出现在上面的列表中。现在我们应用Vieta 的公式。 $f(x)$ 的根的乘积为 $(-1)^n\cdot\frac{a_0}{a_n}$，即 $33$ 或 $-33$。另外，根之和为$-\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\frac{a_{n-1}}2$。因此，为了最小化 $\left|a_{n-1}\right|$，我们应该使根之和的绝对值尽可能小，在根乘积必须为 $33$ 或 $-33$ 的约束下工作。

我们现在考虑两种情况。

情况 1 是 $33,-33$ 之一是根，在这种情况下，唯一可能的其他根是 $\pm 1$。在这种情况下，根之和的绝对值至少为 $32$。

另一种情况是情况 2，$11,-11$ 之一是根，$3,-3$ 之一是根。同样，唯一可能的其他根是 $\pm 1$，因此根之和的绝对值至少为 $11-3-1=7$，这比情况 1 的结果更好。如果根之和的绝对值为 $7$，则 $ㅣa_{n-1}ㅣ=7ㅣa_nㅣ=7\cdot 2=14$。

因此，我们证明了 $\left|a_{n-1}\right|\ge 14$，并且我们可以通过以下方式检查是否实现了相等 \(\开始{对齐*} f(x) &= 2(x+11)(x-3)(x-1) \\ &= 2x^3+14x^2-82x+66, \end{align*}\) 具有整数系数和整数根。因此 $\left|a_{n-1}\right|$ 的最小可能值为 $\boxed{14}$。

答案：

14

492.

问题：

汤姆收到了一个土豆头先生作为生日礼物。它配有 3 种发型、2 套眉毛、1 双瞪眼、2 套耳朵、2 套嘴唇、一双普通鞋和一双额外的小丑鞋。如果土豆头先生的完整个性包括眉毛、眼睛、耳朵、嘴唇、鞋子和头发（可选），汤姆能想出多少种不同的古怪个性？请注意，土豆头先生可能是秃头。

注意：您不能“混合搭配”。例如，您不能从一对眉毛中取出左眉毛，而从另一对中取出右眉毛。

解决方案：

眉毛有 2 个选择，眼睛有 1 个选择，耳朵有 2 个选择，嘴唇有 2 个选择，鞋子有 2 个选择，头发有 4 个选择（发型或秃头有 3 个选择），并且每个选择都可以独立于其他选择，因此组合数量是这些选择的乘积，$2\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4 = \boxed{64}$。

答案：

64

493.

问题：

向量集 $\mathbf{v}$ 使得 $[\operatorname{proj}_{\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}]$ 位于一条直线上。以 $y = mx + b$ 的形式输入该直线的方程。

解决方案：

让 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}.$

根据投影公式，

然后 $[\frac{2x + y}{5} = 0,]$所以$2x + y = 0.$因此，直线的方程为$\boxed{y = -2x}.$

答案：

$y = -2x$

494.

问题：

数字 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3$ 可以写成 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{6}$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是整数。 $a+b+c$ 是什么？

解决方案：

首先，我们计算$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$：

将此值乘以 $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ 得出\(\开始{对齐*} (\sqrt{2}+ \sqrt{3})^3 &=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 (\sqrt{2} +\sqrt{3})\\ &=(5+2\sqrt{6})(\sqrt{2} +\sqrt{3})\\ &= 5\sqrt{2} + 5\sqrt{3} + (2\sqrt{6})(\sqrt{2}) + (2\sqrt{6})(\sqrt{3})\\ &=5\sqrt{2} + 5\sqrt{3} + 2\sqrt{12} + 2\sqrt{18}\\ &=5\sqrt{2} + 5\sqrt{3} + 2(2\sqrt{3}) + 2(3\sqrt{2})\\ &=11\sqrt{2} + 9\sqrt{3}。 \结束{对齐*}\)

因此，我们有 $a+b+c = \boxed{20}$。 （注意 $c=0;$ 很棘手！）

我们还可以使用二项式定理展开 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^3$，得到 ${\sqrt{2}}^3 + 3{\sqrt{2}}^2\sqrt{3}+3\sqrt{2}{\sqrt{3}}^2+{\sqrt{3}}^3$。简化后得到 $2\sqrt{2}+6\sqrt{3}+9\sqrt{2}+3\sqrt{3} = 11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$，并再次得到 $a + b + c = \boxed{20}$。

答案：

20

495.

问题：

令 $S$ 为点集 $(a,b)$，其中 $0 \le a,$ $b \le 1$ 使得方程 $[x^4 + ax^3 - bx^2 + ax + 1 = 0]$ 至少有一个实根。确定$S.$图形的面积

解决方案：

请注意，$x = 0$ 不能是方程的解。两边除以 $x^2,$ 我们得到 $[x^2 + ax - b + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2} = 0.]$ let $y = x + \frac{1}{x}.$ 那么 $x^2 - yx + 1 = 0.$ 这个二次方程的判别式是 $[y^2 - 4,]$ 所以只要 $\left|y\right| 就存在 $x$ 中的实根\ge 2.$

另外，$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2},$ 所以 $[y^2 + ay - (b + 2) = 0.]$ 根据二次公式，根为 $[y = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4(b + 2)}}{2}.]$ 首先，我们注意到判别式 $a^2 + 4(b + 2)$ 始终为正。此外，还有一个值 $y$ 使得 $ㅣyㅣ \ge 2$ 只要 $[\frac{a + \sqrt{a^2 + 4(b + 2)}}{2} \ge 2.]$ 然后 $a + \sqrt{a^2 + 4(b + 2)} \ge 4,$ 或 $\sqrt{a^2 + 4(b + 2)} \ge 4 - a.$ 两边都是非负的，所以我们可以将两边都平方，得到 $[a^2 + 4(b + 2) \ge a^2 - 8a + 16.]$ 这简化为 $2a + b \ge 2.$

受保护_99

因此，$S$ 是顶点为 $(1,0),$ $(1,1),$ 和 $\left( \frac{1}{2}, 1 \right),$ 的三角形，其面积为 $\boxed{\frac{1}{4}}。$

答案：

$\frac{1}{4}$

496.

问题：

函数 $f(x) = \frac{2-x}{\log(2-\log(x-2))}$ 的定义域是什么，其中 $\log$ 是以 $10$ 为底的对数函数？用区间表示法表达你的答案。

解决方案：

仅当 $x - 2 > 0$ 时才定义内对数，因此 $x > 2$。此外，仅当 $2 - \log(x-2) > 0$ 时才定义外对数，这意味着 $2 > \log(x-2)$，因此 $100 > x-2$。因此，$x < 102$。最后， $\log(2-\log(x-2)) \neq 0$ 也必须成立，因此 $2 - \log(x-2) \neq 1$。等价地，$\log(x-2)\neq 1$，所以$x\neq 12$。因此，答案是 $x \in \boxed{(2,12) \cup (12,102)}$

答案：

$(2,12) \杯 (12,102)$

497.

问题：

令 $z = 1+i$ 且 $w = \dfrac{3z+1}{5z+7}$。找到$\left|w\right|$。

解决方案：

代入，我们有 $w = \dfrac{3(1+i)+1}{5(1+i)+7} = \dfrac{4+3i}{12+5i}$。我们可以将其写成 $a+bi$ 的形式并取其大小，但更容易使用这样的事实：对于所有复数 $a$ 和 $b$，$\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$。分子的大小为 $\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$，分母的大小为 $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$。所以$\left|w\right| = \boxed{\frac{5}{13}}$。

答案：

$\frac{5}{13}$

498.

问题：

等角八边形有四个长度为 $1$ 的边和四个长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的边，排列使得没有两个连续边具有相同的长度。八边形的面积是多少？

解决方案：八边形可以分为五个正方形和四个半正方形，每个正方形的边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此其面积为 $[\left(5+4\cdot\frac{1{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}= \boxed{\frac{7}{2}}.]$

受保护_100

答案：

$\frac{7}{2}$

499.

问题：

序列$(a_n)$定义如下： $[a_{i + 1} = \frac{1}{1 - a_i}]$ 对于 $i \ge 1.$ 如果 $a_3 = a_1,$ 计算 $(a_9)^9.$

解决方案：

首先，如果 $a_3 = a_1,$ 那么 $[a_1 = a_3 = a_5 = a_7 = a_9,]$所以$(a_9)^9 = (a_1)^9.$

我们有那个

然后 $[\frac{1 - a_1}{-a_1} = a_1,]$ 所以 $1 - a_1 = -a_1^2.$ 然后 $a_1^2 - a_1 + 1 = 0.$ 两边都乘以 $a_1 + 1,$ 我们得到 $[(a_1 + 1)(a_1 ^2 - a_1 + 1) = 0,]$所以$a_1^3 + 1 = 0.$然后$a_1^3 = -1,$所以$a_1^9 = (-1)^3 = \boxed{-1}.$

答案：

-1

500。

问题：

$\三角形ABC$的高度$\overline{AD}$和$\overline{BE}$相交于$H$。如果$\angle BAC = 54^\circ$并且$\angle ABC = 52^\circ$，那么$\angle AHB$是多少？

解决方案：

首先，我们构建一个图表：

受保护_101

我们有 $\angle AHB = \angle DHE$，并且从四边形 $CDHE$，我们有

从三角形$ABC$，我们有$180^\circ - \angle ACB = \angle BAC + \angle ABC = 54^\circ + 52^\circ = \boxed{106^\circ}$。

答案：

$106^\约$

输入：2026.01.09 14:45