⑻ 【设置问题示例理论](https://blog.kakaocdn.net/dn/caHvls/btsLz4i1cEu/P7K84APjyv0FXN3HHcHakk/%E1%84%8C%E1%85%B5%E1%86%B 8%E1%84%92%E1%85%A1%E1%86%B8%E1%84%85%E1%85%A9%E1%86%AB%2035%E1%84%8C%E1%85%A6.pdf?attach=1&knm=tfile.pdf)

2.有条件概率

⑴条件概率

① P(A | B):当事件B已经发生时，事件A发生的概率

② 表达式： P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)> ③ P(A | B) ≠ P(B | A)

④ 概率乘法规则： P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B)

⑤ 多前提概率乘法定理

○ 下面的等式是不言而喻的，因为任何概率都隐含着某些先决条件（例如，α、β）

⑥【条件题示例概率](https://blog.kakaocdn.net/dn/OrMdP/btsLAZhv14L/yJiFUkEojXM2kPROi5vZ20/%E1%84%8C%E1%85%A9%E1%84%80%E1%85%A5%E1%86%A B%E1%84%87%E1%85%AE%20%E1%84%92%E1%85%AA%E1%86%A8%E1%84%85%E1%85%B2%E1%86%AF%2036%E1%84%8C%E1%85%A6.pdf?attach=1&knm=tfile.pdf)

⑵条件概率链式法则

① 示例： P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B | A) × P(C | A ∩ B)

⑶ 事件独立性：如果条件概率等于内在概率

① 概述

○ 定义：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

○ A ⊥⊥ B 表示A和B独立

②申请

○ P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = P(A)P(A B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = P(A)

○ P(B | A) = P(A ∩ B) ÷ P(A) = P(B)

○ E 和 F 独立 ⇔ E^c 和 F 独立 ⇔ E 和 F^c 独立 ⇔ E^c 和 F^c 独立

○ 如果 P(A) = 0，则 A 和 B 始终独立

○ P(A), P(B) > 0, 并且 A 和 B 独立 → A 和 B 不相交

○ 如果 A 和 B 不相交，P(A) = 0, P(B) = 0，或者 A 和 B 不独立（反命题）

○ 即使 A、B 和 G 相互独立，A 和 B 的交集，即 A ∩ B 和 G 也可能不是独立的。例如，设 A 为第一个硬币正面朝上的事件，B 为第二个硬币正面朝上的事件，G 为两次抛硬币正面朝上的事件。

③直观意义

○ 有关一个变量的信息不会告诉您有关另一个变量的任何信息

④与条件概率的关系

○ Pr(X = x | Y = y) = Pr(X = x)

⑷ 相互独立

① 条件1.

② 条件2. 包括条件1

③ 与成对独立性的比较

○ 定义：P(A_m ∩ A_k) = P(A_m) × P(A_k), ∀ m, k

○ 相互独立 ⊆ 成对独立

○ 一般来说，许多事件之间的独立性意味着相互独立

⑸ 条件独立性

①定义

②条件独立并不总是独立

③独立并不总是有条件的独立

⑹ 全概率定律

①隔断

○ 定义 1. （详尽） Ω = B₁ ∪ B₂ ∪ ··· ∪ B_n

○ 定义 2. （不相交） B_i ∩ B_j = ∅

②结论

○提示：画本图很容易理解

③ 重要：用于归纳贝叶斯定理

⑺ 贝叶斯定理

① a假设 1. S = B₁ ∪ B₂ ∪ ··· ∪ B_n

② 假设 2. ∀ i, j, B_i ∩ B_j = ∅

③结论

> ④ 重要性1.可以使用完全不相关的P(A | B)来计算P(B | A)

⑤ 重要性2. 结果（后验、后验）可以预测原因（先验、先验）

○ A：观察到的事件结果

○ B: 因果事件

○ P(B_i): 先前

○ P(B_i | A) ：当观察到 A 时，B_i 是原因（后验）的概率

○ P(A | B_i) ：当 B_i 为原因时，A 发生的概率 (likelihood)

⑥ 【贝叶斯统计】(https://jb243.github.io/pages/1192)

○ 在不识别总体的情况下推断概率

○ 声称概率只不过是人类的信念

⑦ 贝叶斯问题示例定理

⑻ 示例 1. 诊断率

①癌症患者比例

P(A) = 1%

②诊断时的阳性概率（命中率）

P(乙)

③诊断癌症患者时的阳性概率

P(B A) = 95%

④ 诊断非癌症患者时出现假阳性的概率

P(B A^c) = 5%

⑤ 问题： 阳性者在诊断过程中真正患癌症的概率

P(A B)

⑥诊断阳性比例：采用全概率定律

P(B) = P(B A) + P(B A^c) = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99

⑦ 任何人是癌症患者且诊断呈阳性的概率

P(A ∩ B) = P(B A) × P(A) = 0.95 × 0.01

⑧ 回答

P(A B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0.16

⑨ 解读： 由于非癌症患者较多，假阳性率相当高

⑼ 示例 2. 蒙蒂霍尔问题

①情况

○ 超级跑车站在三扇门之一后面

○ 表演者选择三扇门中的一扇

○ 节目主持人打开了节目参与者未打开的任何门

○ 展会参与者可以坚持或更改其现有选择

○问题：哪种选择合理？

②前提

○ 显示参与者首先选择门1

○ 节目主持人开门3

③定义

○ P(i): 超级跑车在门1后面的概率

○ P(ii): 超级跑车在门 2 后面的概率

○ P(iii): 超级跑车在门3后面的概率

○ P(Ⅰ)：主持人选择1号门的概率

○ P(Ⅱ)：主持人选择2号门的概率

○ P(Ⅲ): 主持人选择3号门的概率

○ P(i)、P(ii) 和 P(iii) 是先验（原因）

○ P(Ⅰ)、P(Ⅱ)、P(Ⅲ) 是后验（结果）

④条件概率

○ P(ⅰ | Ⅲ)：当主持人选择3号门时，1号门后面有一辆超级跑车的概率

○ P(Ⅲ | ⅰ)：如果1号门后面有一辆超级跑车，主持人选择3号门的概率

⑤ 贝叶斯定理

○ P(ⅰ | Ⅲ)

○ P(ⅱ | Ⅲ)

○ P(ⅲ | Ⅲ)

⑥结论：改变选择对表演者有利

输入：2019.06.16 22:02

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第 3 章. 概率空间

1.集合论

2.有条件概率

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1.集合论

2.有条件 概率

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2.有条件概率