第 5 章量子力学第 2 部分
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1. 薛定谔方程
2. 不确定性原理
3. 自由粒子
4. 盒子里的粒子
5. 隧道效应
6. 有效质量
7. 物质波的反射
8. 坐标系变换
9. 波动方程的解
a. 量子力学第 1 部分
b. 量子力学第 2 部分
c. 量子力学第 3 部分
d. 量子力学第 4 部分
1.薛定谔方程
⑴ 假设1：波函数存在 ψ = ψ(x, y, z, t)
① 哥本哈根解释： ㅣψ(x)ㅣ2表示在位置x找到电子的概率密度
② 爱因斯坦批判：电子的位置是确定的，所以从概率上定义电子的位置是不合适的
③经过长时间争论，哥本哈根解释被接受
⑵ 假设2： ψ 是下列方程的解：能量守恒定律
⑶ 假设3： 系统变量的值是通过对波函数应用算子来获得的。
① α :系统变量，αop :数学运算符（包括∂、ℏ、i）
⑷ 薛定谔方程： 用两个主要方程表示。
①第一行：能量与时间的关系
② 第二行：能量守恒定律
③ 与时间无关的薛定谔方程 : 总 E 为常数
④ 瞬态薛定谔方程 : 总 E 随时间变化
⑤ 可获得薛定谔方程精确解的系统 ： 简谐振荡、一维盒子内的粒子、刚体旋转、氢原子等。
⑥ 无法获得薛定谔方程精确解的系统 ： 氦原子等。
2.不确定性原理
⑴ 海森堡（Werner Karl Heisenberg）主讲
⑵ 证明：利用薛定谔方程和柯西-施瓦茨不等式
图1. 不确定性证明原理[注：1]
⑶ 不可能同时准确地知道动量和位置
① 公式
② 动量是由空间对称性衍生出来的概念，因此与空间有关。
③ 应用：不确定性原理与显微镜
图 2. 不确定性原理和显微镜
○ 波长为 λ 的光子动量为 h/λ，因此减小 λ 会增加光子的动量
○ 动量越大，电子的Δp越大
○ 结论：减小 λ 以提高显微镜分辨率会增加 Δp，从而更难了解动量
⑷ 同时准确地知道能量和时间是不可能的
① 公式
②能量是由时间对称性衍生出来的概念，因此与时间有关。
⑸ 相速度
① 给定区域内受限经典粒子的量子力学概念
② 该区域内具有一定能量的粒子波函数解的线性组合
③群速度：多个波函数重叠时速度的概念
④色散关系
3。自由粒子 ： U = 0
⑴ 结论1： ψ 由波动方程推导出来
⑵ 结论2： 动量遵循德布罗意关系式
⑶ 结论3： 能量与经典力学中自由粒子的能量相同
4.盒子中的粒子（通常是一维盒子中的粒子）
⑴ 假设
① x < 0, x > L : 势能为 ∞
② 0 ≤ x ≤ L : 势能为 0
③ 粒子被认为是物质波，满足正规波条件，即nλ = 2L
④ 波函数与时间无关
⑵ 关键公式
①概率mas函数
② 能源
⑶ 例1： 在宽度为L的一维无限势阱中限制电子的波函数中，由概率归一化导出，将振幅记为A。如果势阱的宽度减半，则波函数的振幅是多少？
⑷ 例2： 如果ψn(x)是归一化的n阶本征态波函数，则具有以下状态函数的粒子的能量是多少？
> ① 想法： 给定粒子第一本征态的概率为 2/3，第二本征态的概率为 1/3
② 答案： E = (2/3) × E2 + (1/3) × E2 = 2E2
5.隧道效应
⑴ 定义： 粒子穿过如果被视为粒子则无法通过的障碍物的现象
⑵ 求解薛定谔方程表明有可能找到有限势阱外的粒子
⑶ 隧道效应问题
① 问题： 能量为 0.1 eV 的粒子入射到厚度为 2 nm、高度为 4 eV 的势垒上。粒子隧道穿过势垒的概率为 T0。相同条件下，如果将势垒厚度改为3 nm，粒子隧道穿过的概率是多少？
图 3. 隧道效应问题
② 答案： 粒子隧道穿过 6 nm 的概率是隧道穿过 2 nm 的概率的立方和隧道穿过 3 nm 的概率的平方
⑷ 应用： 扫描隧道显微镜（STM）
图。 4. 扫描隧道显微镜
① 探头位于 P 处时的势垒比位于 Q 处时的势垒更宽
② 当探针位于 P 时，电子在探针和样品之间移动的概率比探针位于 Q 时更低（ ∵ 由于势垒更宽）
③ 探针处于 P 时的电流比处于 Q 时的电流更弱（∵ 由于电子运动的概率较低）
④ 通过读取电流可以确定样品的表面结构
6.有效质量
7.物质波的反射
⑴【电磁波的反射】(https://jb243.github.io/pages/851)：反射率=（反射电场幅度）÷（入射电场幅度）（其中η是本征阻抗）。
⑵ 物质波的反射
图5. 物质波反射问题的情况
① 情况1： E > 0 的粒子束从左侧入射
② 情况2： 每个区域粒子动量守恒为ℏk
③ x = 0时的反射系数R如下
8.坐标系变换
⑴ r : 距原点的距离
⑵ θ ： 与 z 轴的角度（纬度）
⑶ φ : 绕z轴的角度（经度）
⑷ R(r)（径向波函数） : 确定轨道大小
⑸ Y(θ, φ) (角波函数) : 确定轨道方向和分布形状
9.波动方程的解
⑴ 波函数只有在量子化变量（=量子数）确定后才能导出
⑵ 径向波函数的解
⑶ 角波函数的解
⑷ 角动量关系
① 角动量毕达哥拉斯法则
② 原子中的电子角动量：对于角动量量子数ℓ，
③角动量z分量的确定：塞曼效应和拉莫尔进动
输入： 2019-09-08 21:04
修改： 2020-02-08 23:45