① 【制服问题示例分布](https://blog.kakaocdn.net/dn/bW64At/btsLK2kduoI/UYGuCu9Qq3rJWkScbVfMxk/%E1%84%80%E1%85%B2%E1%86%AB%E1%8 4%8B%E1%85%B5%E1%86%AF%E1%84%87%E1%85%AE%E1%86%AB%E1%84%91%E1%85%A9%2016%E1%84%8C%E1%85%A6.pdf?attach=1&knm=tfile.pdf)

② 【联合制服问题示例分布](https://blog.kakaocdn.net/dn/bjacE2/btsLKb91CRK/T6xKqoHCrhydQK1kMtnURK/%E1%84%80%E1%85%A7%E1%86%AF%E1%84%92%E1%85%A1%E1%86%B8%E1%8 4%80%E1%85%B2%E1%86%AB%E1%84%8B%E1%85%B5%E1%86%AF%E1%84%87%E1%85%AE%E1%8 6%AB%E1%84%91%E1%85%A9%2010%E1%84%8C%E1%85%A6.pdf?attach=1&knm=tfile.pdf)

2.伯努利分布

⑴伯努利试验：执行，执行结果是成功（X = 1）或失败（X = 0）

⑵ 伯努利分布：伯努利执行一次时的概率分布

⑶ 概率质量函数： p(x) = θ I｛x = 1｝+ (1 - θ) I｛x = 0｝

图 2. θ = 0.6 时伯努利分布的概率质量函数

① Python编程： Bokeh用于网页可视化

受保护_1

⑷ 统计数据

①力矩生成函数

② 平均值： E(X) = θ

③ 方差： VAR(X) = E(X²) - E(X)² = θ - θ² = θ (1 - θ)

3。二项分布

⑴定义：伯努利试验重复n次时成功次数的概率分布

① 试验次数和实施概率是固定的

⑵ 概率质量函数

① p(x) = _nC_x θ^x (1 - θ)^n-x

② p(x) : n 次中仅成功 x 次的概率

③ _nC_x ：数字1、2、···、n之间的x数组合的个数

④ θ^x ：当有上述x个数字组合时成功的概率

⑤ (1 - θ)^n-x : 如果不是上述 x 数组合则失败的概率

图 3. n = 30、p = 0.6 时二项式分布的概率质量函数

⑥ Python编程： Bokeh用于网页可视化

受保护_2

⑶统计数据

①想法：由于第i次伯努利试验遵循伯努利分布，

②力矩生成函数

③ 平均值： E(X) = nθ

④ 方差： VAR(X) = nθ(1 - θ)

⑷ 【二项式的示例问题分布](https://blog.kakaocdn.net/dn/xoGDj/btsLJFqbXkR/3pTMI86mh3ZMusLfhVRnv1/%E1%84%8B%E1%85%B5%E1%84%92% E1%85%A1%E1%86%BC%E1%84%87%E1%85%AE%E1%86%AB%E1%84%91%E1%85%A9%2039%E1%84%8C%E1%85%A6.pdf?attach=1&knm=tfile.pdf)

4。多项分布

⑴多项试验：如果有结果，将伯努利试验延长三个或更多

⑵ 多项分布：重复多项试验n次时的概率分布。

⑶概率质量函数

①前提 : x₁ + x₂ + ··· + x_k = n

② p(x₁, x₂, ··· , x_k) = _nC_x1 × _n-x1C_x2 ×···× _xkC_xk × θ₁^x1 θ₂^x2 … θ_k^xk

5。超几何分布

⑴定义：若成功数为N中的M，则提取n个时成功数的概率分布不放回

⑵ 概率质量函数

或者如下图

图 4. [M, n, N] = [20, 7, 12] 处超几何分布的概率质量函数

① Python编程： Bokeh用于网页可视化

受保护_3

⑶统计数据

①平均值： E(X) = nM / N

○ 类似于二元分布 E(X) = nθ = nM / N

② 方差： VAR(X) = ［(N-n) / (N-1)］ × ［nM / N］ × ［1 - M / N］

⑷ 与二项式分布的关系

①二项分布的条件分布：超几何分布 > ② 超几何分布的极限 (n → ∞) : 二项分布 (n → ∞)

③ 二进制分发基于with-replacement

6。几何分布

⑴定义：为提取成功概率θ，直到成功的试验次数的概率分布。

① 执行概率固定，执行次数变化

⑵ 概率质量函数： p(x) = θ (1 - θ)^x-1 I｛x = 1, 2, ···｝

图 5. θ = 0.5 时的几何分布

① Python编程： Bokeh用于网页可视化

受保护_4

⑶统计数据

①力矩生成函数

② 平均值： E(X) = 1 / θ

○ 含义：直观上来说，平均试验次数×成功概率=1成立

③ 方差： VAR(X) = (1 - θ) / θ²

7.负二项分布

⑴定义：如果成功概率为θ，则直到第r次成功为止的尝试次数的概率分布

①二项分布中，试验次数和执行概率是固定的，成功次数是变化的

② 负二项分布中，成功次数和执行概率固定，试验次数变化

⑵ 概率质量函数

① type 1. 用 r 修复成功次数

○ x: 试验次数

○ r: 成功次数

○ θ: 成功概率

○ _x-1C_r-1 : 第 x-1 次成功，且之前的 x-1 次试验中只有 r-1 次试验成功的情况数。

② type 2. 用 r* 修复失败次数

○ k: 成功次数

○ r*: 失败次数

○ p: 成功概率

○ _{k+r-1</sub>C_k : 第 k+rth 次失败，且前一次 k+r-1 次试验中只有 r-1 次失败的情况数}

③ 类型3. 固定r次成功次数并分析失败次数

○ x: 故障次数

○ r：成功次数、大小、1/过度离散

○ p：成功概率

④图表

图 6. r = 5、θ = 0.6 时负二项式分布的概率质量函数

⑤ Python编程： Bokeh用于网页可视化

受保护_5

⑶统计数据

① 类型1的统计

○ 想法： X = ΣX_i

○ X_i ： i-1 次成功后第 i 次成功的尝试次数。遵循几何分布

○ 力矩生成函数

○ 平均： E(X) = r / θ

○ 方差: VAR(X) = r(1-θ) / θ²

② 类型2的统计

○ 平均： E(X) = r*p / (1-p)

○ 方差: VAR(X) = r*p / (1-p)²

③ 类型3的统计

○ 平均值：E(X) = r(1 - p) / p

方差：VAR(X) = r(1 - p) / p²

○ r 和 p 可以用均值和方差来表示。

○ 均值与方差的关系：方差 = σ² = 均值 + 过离散 ×mean² = μ + μ² / r

⑷ 示例

①情况：每局游戏会随机提供n种人物中的一种

② X : 收集完所有数字之前要观看的比赛数量

③问题： E(X)

④想法： X = X₁ + ··· + X_n

⑤ X_i : 在收集到第 i 个新人物之前您必须观看的游戏数量。遵循几何分布

⑥ E(X)

⑸ 应用1. ZINB（零膨胀负二项分布）

① π：观察到0的概率

② NB(y; μ, θ)：平均值为 μ、离散参数为 θ 的负二项分布的概率质量函数

⑹【负二项式的示例问题分布](https://blog.kakaocdn.net/dn/mQA1J/btsLLRPYSNk/uYqz9JmpdlstsjpAKkMVH0/%E1%84%8B%E1%85%B3%E1%86%B7%E1%84%8B%E1%85%B5%E1%8 4%92%E1%85%A1%E1%86%BC%E1%84%87%E1%85%AE%E1%86%AB%E1%84%91%E1%85%A9 %20%E1%84%8B%E1%85%A8%E1%84%8C%E1%85%A6.pdf?attach=1&knm=tfile.pdf)